III. Исследование среднеквадратичного приближения функций.
3.1 Для двух функций, монотонной и имеющей экстремум на интервале приближения, решить задачу приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени; обратить внимание на изменение значения числа обусловленности матрицы нормальной системы уравнений от ее порядка; при двух различных порядках приближающего полинома исследовать зависимость погрешности решения (равномерной и среднеквадратичной) от величины массива исходных данных..
Монотонная функция.
Метод: Средних квадратов. Сетка: Равномерная. Интервал: [0;1]. Функция: Y=Sin(X)/X. Число точек дискретизации: 100.
|
Порядок полинома |
Обусловленность матрицы системы |
|
2 |
655.177845 |
|
3 |
15882.577565 |
|
4 |
575322.1656018 |
|
5 |
2.01848*107 |
|
6 |
Плохая обусловленность матрицы системы |
Порядок полинома: 3.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
1.032398*10-4 |
3.637437*10-5 |
|
150 |
1.053964*10-4 |
3.6336084*10-5 |
|
300 |
1.0758014*10-4 |
3.631785*10-5 |
Порядок полинома: 4.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
1.881954*10-6 |
6.888023*10-7 |
|
150 |
1.9444029*10-6 |
6.86567*10-7 |
|
300 |
2.00822*10-6 |
6.8502035*10-7 |
Функция, имеющая экстремум.
Метод: Средних квадратов. Сетка: Равномерная. Интервал: [-1;1]. Функция: Y=|X|. Число точек дискретизации: 100.
|
Порядок полинома |
Обусловленность матрицы системы |
|
2 |
14.560511 |
|
3 |
67.475215 |
|
4 |
391.788114 |
|
11 |
6.31704*107 |
|
12 |
Плохая обусловленность матрицы системы |
Порядок полинома: 3.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
0.189263 |
0.0726 |
|
150 |
0.1887 |
0.07257 |
|
300 |
0.18812 |
0.072552 |
Порядок полинома: 4.
|
Величина массива |
Равномерная погрешность (Модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
100 |
0.118185 |
0.036395 |
|
150 |
0.117891 |
0.036363 |
|
300 |
0.117558 |
0.036345 |
Вывод: 1) при увеличении порядка полинома число обусловленности матрицы системы растёт (обусловленность матрицы системы ухудшается). 2) При увеличении числа точек дискретизации для монотонной на интервале интерполирования функции при обоих порядках полинома модуль уклонения слабо растёт, а среднеквадратичное уклонение слабо уменьшается. 3) При увеличении числа точек дискретизации для функции, имеющей экстремум на интервале интерполирования, при обоих порядках полинома и модуль уклонения, и среднеквадратичное уклонение уменьшаются.
3.2 Исследовать устойчивость решения задачи среднеквадратичного приближения к погрешности исходных данных. Критерием может служить отличие величин погрешности аппроксимации (среднеквадратичной и равномерной), полученных при наличии и отсутствии возмущений.
Метод: Средних квадратов. Сетка: Равномерная. Порядок полинома: 3. Интервал: [-1;1]. Функция: Y=Sin(X)/X. Число точек дискретизации диапазона: 100.
|
Возмущение, % |
Равномерная погрешность (модуль уклонения) |
Среднеквадратичное уклонение |
|
0 |
0.001722 |
6.207975*10-4 |
|
10 |
0.0156072 |
0.010212 |
|
20 |
0.055877 |
0.027716 |
|
30 |
0.082346 |
0.036541 |
|
40 |
0.127593 |
0.042817 |
|
50 |
0.131987 |
0.045692 |
|
70 |
0.20767 |
0.079119 |
|
100 |
0.240194 |
0.115889 |
Вывод: при увеличении вносимого возмущения и равномерная, и среднеквадратичная погрешности растут. Равномерная погрешность растёт почти линейно. При внесении возмущения от 0 до 10% СКУ увеличивается на несколько порядков, при больших возмущениях рост СКУ замедляется.