матан2сем краткий конспект

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АБАЯ

«УТВЕРЖДАЮ» Заведующий кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии

____________ Коксалов К.К.

«____»____________2011 г.

Учебно-методический комплекс для обучающегося

AG 2207 «Алгебра и геометрия»

«050703 - Информационные системы»

Алматы

2011

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

1

Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося составлен на основании:

Государственного общеобязательного стандарта высшего профессионального образования по специальности «050703 - Информационные системы»

Типовой программы дисциплины «алгебра и геометрия», утвержденной «___»____________200_ г, приказом МОН РК №___ от «___» _______200_

Рабочего учебного плана по специальности «050703 - Информационные системы»

утвержденного «__»______________ 201_г.

Рецензенты: 1) Нурпейис Ж.М., к.ф.м.н., доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии КазНПУ им.Абая; 2) Сарсекеева А.С., к.ф.м.н., и.о. доцента кафедры математического анализа, алгебры и геометрии КазНПУ им.Абая;

Составители:
к.ф.-м.н., ст.преп.	Искакова Н.Б.
Заведующий кафедрой	Коксалов К.К.
«____» _________________ 2011 г.

Рецензенты: 1) Нурпейис Ж.М., к.ф.м.н., доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии КазНПУ им.Абая; 2) Сарсекеева А.С., к.ф.м.н., и.о. доцента кафедры математического анализа, алгебры и геометрии КазНПУ им.Абая;

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

2

		С О Д Е Р Ж А Н И Е
		Стр.
1.	Силлабус ...................................................................................	4
2.	Тезисы лекций ..........................................................................	8
3.	Практические занятия..............................................................	22

4.Самостоятельная работа студентов под руководством преподавателя

	(СРСП) .............................................................	33
5.	Самостоятельная работа студентов ........................................	38
6.	Задания для самопроверки и подготовки к экзамену, тесты	76
7.	Литература .................................................................................	85
8.	Глоссарий ...................................................................................	86

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

3

СИЛЛАБУС

1. Информация о дисциплине

Наименование		Код дисциплины	Количество кредитов		Курс, семестр
дисциплины
Алгебра и		AG 2207	3		2, 3
геометрия
Наименование		Шифр специальности	Кафедра матема-		Факультет
специальности	050703		тического анализа,
Информационные			алгебры и геометрии		ФМФ
системы
Форма обучения – дневная (ВО)			Язык обучения – русский
Время и место проведения дисциплины – согласно расписанию
		Время консультации - согласно расписанию
		Расписание рубежного контроля
		8 и 15 недели семестра
К.ф.-м.н., ст.преп.		Контактная информация (телефон, е-mail)
Искакова			[e-mail]
Наркеш Билаловна
_________________		Заведующий кафедрой ________________ Коксалов К.К.

2.Краткое описание дисциплины.

Алгебра и геометрия занимает особое место. Его изучение предполагает у студентов знание

программы школьного курса математики.

После прохождения курса студенты должны свободно ориентироваться в основных понятиях предмета, знать основные положения теории и уметь применять их в решении задач. На семинарских занятиях раскрывается смысл основных понятий предмета и наиболее важных теорем, имеющих прикладное значение, как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях. Данная программа составлена для курса объемом в 3 кредита.

Цель курса - изучение элементов линейной алгебры и аналитической геометрии и основ теории комплексного числа.

3.Пререквизиты дисциплины: школьный курс математики (арифметические и алгебраические операции, решение уравнений первого и второго порядка системы, построение прямых линий и кривых второго порядка (окружность, гипербола)).

4.Постреквизиты дисциплины: математический анализ, теория функции комплексного переменного, векторный анализ. дискретная математика, криптография, теория кодирования, теория алгоритмов, топология, квантовая механика, теория кристаллов, экономикоматематическое моделирование.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

4

5. Календарно-тематический план.

									Аудиторные		Вид занятия
								недели	занятия				Всего
№	Наименование тем дисциплины
									Лекц. (ч)	Прак	СРСП	СРС
										(ч)
1	Определения,			операции		сложения,		1	2	1	3	3	9
	умножения на число, умножения двух
	согласованных матриц. Ранг. Обратная
	матрица.
2	Определители первого, второго, n-го							2	2	1	3	3	9
	порядков.		Свойства		определителей.
	Миноры, алгебраические дополнения.
	Вычисление			определителей		методом
	алгебраических дополнений.
3	Совместные,			несовместные		системы.		3	2	1	3	3	9
	Квадратные системы. Правило Крамера.
4	Метод исключения неизвестных. Теорема							4	2	1	3	3	9
	Кронекера Капели.
5	Сложение,			вычитание,		скалярное		5	2	1	3	3	9
	произведение.
6	Векторное			произведение,		свойства.		6	2	1	3	3	9
	Смешанное произведение, свойства.
7	Система на плоскости и пространстве.							7	1	0,5	3	3	7,5
	Основные задачи, длина отрезка. Деление
	отрезка.
8	Различные уравнения прямой в аффинной и							7	1	0,5	3	3	7,5
	прямоугольной			декартовой		системах
	координат.
9	Условия	пересечения,			параллельности			8	1	0,5	3	3	7,5
	прямых. Пучок прямых.
10	Нормальное			уравнение		прямой.		8,9	2	1	3	3	9
	Метрические задачи: угол между прямыми,
	расстояние от точки до прямой.
11	Эллипс,	гипербола, парабола. Диаметры,						9,1	2	1	3	3	9
	касательные, директрисы.							0
	Метод координат в пространстве. Длина							10,	2	1	3	3	9
12	отрезка, деление отрезка. Уравнения							11
	поверхности,			различные		уравнения
	плоскости.
13	Различные			уравнения	прямой		в	11,	2	1	3	3	9
								12
	пространстве.			Взаимное	расположение
	прямой и плоскости.
Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося													5

14				12,	2	1	3	3	9
	Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды,			13
	конусы, цилиндры.
15				13,	3	1,5	2	2	8,5
	Понятие комплексного числа. Операции			14
	над комплексными числами.
16	Линейные	пространства.	Евклидовые	15	2	1	1	1	5
	пространства.
		Всего часов			30	15	45	45	135

6. Основная литература.

1.Атанасян Л.С., Гуревич Г.В. Геометрия, часть 1. М., Просвещение, 1976.

2.БазылевВ.Т., Дуничев К.И. Геометрия, часть 1. М., Провещение, 1975.

3.Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. М., Физматгиз, 1963.

4.Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М., Наука, 1989.

5.Проскуряков И.В. сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1984.

6.Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Высшая школа, 1972. Дополнительная литература.

7.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1975.

8.Данко П.Е. и др. высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа, часть 1, 1979.

9.Щипачев В.С. Основы высшей математики. М., Высшая математика, 1989.

7. Критерии оценки.

№	Вид работы		Оценка	(max	Количество	Сумма
			балл)
1	Домашние работы, успеваемость на		4 б.		15	60
	занятии, посещаемость
2	Контрольная работа		17 б.		2	34
3	Коллоквиум		20 б.		2	40
4	СРСП		33 б.		2	66
5	Итоговый экзамен		100 б.		1	100
	Итого					300

Максимальный показатель успеваемости за 7 недель составляет 30%, за 15 недель – 60%. Сдача экзамена является обязательным условием окончания семестра и получения кредита.

8. Требования преподавателя.

Задания для СРСП выдают лектор и преподаватель практических занятий. Рубежные задания принимает преподаватель практических занятий. Посещение занятий является обязательным. Если студент пропустил (по неуважительным причинам) больше трех занятий, то он не допускается к сдаче экзамена, и автоматически кредит по данной дисциплине не зачитывается. Одно опоздание на занятие и/или уход до окончания занятий по любым причинам будут считаться как одно пропущенное занятие. Недопустимо: опоздание и уход с занятия, пользование сотовыми телефонами во время занятия, обман и плагиат, несвоевременная сдача заданий и др. несоблюдение этих правил является нарушением требований. Выдача СРСП на 1-2 неделях, 8-9

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

6

неделях. Прием СРСП не позднее 7 недели и не позднее 15 недель. Задания, сдаваемые студентами после установленного срока, не принимаются.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

7

ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ

Лекции 1, 2.

Тема. Матрицы. Ранг матрицы. Матрица, обратная данной.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Матрицы бывают квадратные, диагональные, треугольные, единичные. Равенство определяется покомпонентно.

Сложение и умножение на число вычисляются покомпонентно. Транспонирование состоит в замене строк на столбцы.

Элемент произведения АВ равен сумме произведений соответствующих элементов выбранной строки из А и выбранного столбца из В. В общем случае умножение матриц некоммутативно.

Рассмотрим m х n чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

		а	а	...	а
		11	12		1n
А=	а21		а22	...	а2n
	.............................
		аm1	аm2	...
					аmn
Такая таблица называется матрицей. Числа аi j -				элементы матрицы, i –номер строки, j –

номер столбца. Сокращенно матрица обозначается А=( аi j).

Если все аi j = 0, матрица нулевая. Две матрицы равны, если элементы, стоящие на одинаковых местах равны.

Если строки и столбцы поменять местами, получим транспонированную матрицу, она обозначается А/=( аi j).

При m = n получим квадратную матрицу, если m n , тогда матрица прямоугольная и имеет порядок (m . n). Матрицы одного порядка можно складывать. Пусть А=( аi j), В=( bi j), тогда А+В = (аi j+ bi j) = С, где С- матрица того же порядка.

Сложение подчиняется свойствам:

1.А+В = В+А

2.А+0 = А

3.А+(В+С) = (А+В)+С.

Если все элементы матрицы А умножим на число , получим новую матрицу А, элементы которой аi j, т.е. А = ( аi j).

Произведение матрицы на число отвечает свойствам:

1. 1 . А = А . 1 = А	2. ( А) = ( )А
3. (А+В) = А+ В	4. ( + )А = А + А.

Рангом матрицы называется наивысший порядок её минора, отличного от нуля. Элементарные преобразования не меняют ранга.

Векторы линейно независимы, если никакой из них не является линейной комбинацией других.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк или столбцов (теорема о ранге).

Минором k-го порядка называется определитель матрицы, расположенной на пересечении k строк и k столбцов матрицы.

Метод Гаусса вычисления ранга состоит в приведении матрицы к ступенчатому виду. Если А – квадратная невырожденная матрица, то обратная матрица вычисляется с помощью

присоединённой матрицы либо методом Гаусса. Особую роль играет квадратная матрица

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

8

	1		0	...	0
			1	...	0
Е=	0
		....................
		0	0	...	1

Для нее справедливо А . Е = Е . А = А, Е – единичная матрица.

Матрица В называется обратной к А, если выполняется А . В В . А = Е. Она обозначается

А-1.

Обратную матрицу можно найти с помощью элементарных преобразований:

1)перемена мест строк или столбцов;

2)умножение строки или столбца на число;

3)прибавление к строке или столбцу другой строки или столбца, умноженной на число.

Лекции 3, 4.

Тема. Определители. Свойства определителей.

Определителем квадратной матрицы называется число det A, полученное по заданным правилам (Саррюса, Лапласа и др.).

Миноры элемента получаются вычеркиванием выбранных строки и столбцы А. Алгебраическим дополнением называется минор с множителем «знак». При разложении по строке или столбцу определители предварительно можно упростить.

а

а

определителем называется число

Для матрицы А=

11

12

а21

а22

det A =а

а

22

а

а

21

. Обозначается так det A =

а11

а12

.

11

12

а21

а22

а

а

а

11

12

13

Для матрицы третьего порядка А= а21

а22

а23 определителем третьего порядка будет число

а31

а32

а33

а11

а12

а13

а11 а22

а33

а12 а23

а31

а13

а21

а32

det A=

а21

а22

а23

=

а31

а32

а33

а13

а22

а31

а12

а21

а33

а11

а22

а32

а

а ...

а

11

12

1n

Для

матрицы

n-го порядка

А=

а21

а22 ...

а2n

оопределитель n-го порядка есть

.............................

аn1

аn2 ...

аnn

алгебраическая сумма n! произведений вида a1 1 a2 2

...an 2

, взятых со знаком плюс или минус в

зависимости от

четности и

нечетности

подстановки

1

2 ...

n

. В подстановке вторая

2 ...

1

n

строка есть перестановка первой, четность или нечетность определяется числом инверсий второй строки, т.е. когда меньшее число стоит позже большего.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

9

Определители любого порядка обладают свойствами:

1.При транспонировании матриц определитель не меняется

2.Если элементы строки (столбца) равны 0, то Д=0

3.При перестановке строк или столбцов Д меняет знак

4.Если две строки (столбца) равны, Д=0

5.Если строка (столбец) есть линейная комбинация нескольких чисел, то и Д – линейная комбинация нескольких определителей.

6.При умножении строки (столбца) на число, Д умножается на него.

Если строка (столбец) есть линейная комбинация остальных, то Д=0.

Лекции 5, 6.

Тема. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид AX=B. Решением называется вектор – столбец , для которого A =B.

Системы бывают совместные определенные, совместные неопределенные и несовместные. Две равносильные системы имеют одинаковые решения. Множество решений не меняется

при элементарном преобразовании расширенной матрицы.

Алгоритм Гаусса – Жордана приводит систему к упрощенному виду, для которого новая матрица содержит фрагмент единичной матрицы Em , а именно первые r столбцов. Алгоритм применим к любой системе и позволяет найти общее решение с (n – r) свободными неизвестными. Рассмотрим систему линейных уравнений:

а11х1 а12 х2					... а1n xn				b1
а21х1 а22 х2						... а2n xn				b2
..............................................
а	m1	х а	m2	х	2	... а	mn	x	n	b
		1									m

Система n чисел 1, 2 ,..., n , обращающая каждое уравнение в тождество называется

решением системы.

Если система не имеет ни одного решения, она называется несовместной. Если решения есть – совместной, при этом, если решение одно – система определенная, если много – неопределенная.

Если m = n, то система квадратная.

а11х1 а12 х2 ...			а1n xn b1
а21х1 а22 х2 ...				а2n xn b2
..............................................
аm1х1 аm2 х2 ...				аmn xn bm
Составим определитель системы:
	а11	а12		...	а1n
D=	а21	а22		...	а2n
	.............................
	аn1	аn2		...	аnn

Если в определителе выберем элемент – аij , вычеркнем строку и столбец, получим определитель порядка (n - 1) это минор, если ему приписать знак (-1)i+j , получим алгебраическое дополнение.

Любой определитель можно разложить в виде произведения элементов строки (столбца) на их дополнения.

Ф КазНПУ 0703-12-09 Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося

10