книжка умняшкина по моцос

gn = (−1)	n+1 ~	~	~	= δk,0 . Поэтому
	h−n+1	, причем ∑hnhn+k = δk,0 и	∑gn gn+k
		n	n
для того	чтобы	определить биортогональное вейвлет-преобразование,
				~	и
необходимо задать два набора коэффициентов: {hn} и {hn} , или {gn}

{g~n} .

Таким образом, требования к коэффициентам фильтров декомпозиции (рис. 7.4) и реконструкции (рис. 7.6) ослабевают, соответствующие им базисы представляют собой более широкий класс функций и возможности выбора преобразований для разложения сигналов существенно расширяются. Недостатком биортогональных базисов является потеря возможности анализа ошибки представления сигнала в области преобразований при отбрасывании (или квантовании) коэффициентов вейв- лет-разложения, так как равенство Парсеваля в этом случае не выполня-

ется, и для представления (23), вообще говоря, < f , f >= f 2 ≠ ∑cm2 ,n .

m,n

7.6. Применение вейвлет-преобразований для сжатия данных

Сжатие сигналов с потерями информации является наиболее важной областью применения вейвлет-преобразований. Основная идея большинства алгоритмов вейвлет-компрессии состоит в следующем. Для исходного дискретного сигнала fM, заданного конечным набором (т.е. вектором) коэффициентов {aM,n}, сначала выполняется дискретное вейв- лет-преобразование по схеме рис. 7.1. Количество отсчетов в сглаженной проекции fK↔{aK,n} будет существенно меньшим, чем в исходном векторе {aM,n}, поскольку каждый шаг, соответствующий снижению уровня разрешения проекции fj, j=M-1,M-2,…,K, соответствует двукратному сокращению числа компонент вектора {aj,n} (см. раздел 7.4). Коэффициенты сглаженной проекции {aK,n} далее квантуются и статистически кодируются, обычно независимо друг от друга, поскольку представляют собой практически не коррелированные данные.

Вейвлет-коэффициенты {yK,n}, {yK+1,n}, … , {yM-2,n}, {yM-1,n} обрабатываются по схеме, которая основана на специфических свойствах лока-

лизации функциональных вейвлет-базисов. Базисы вейвлет-функций и соответствующие им коэффициенты разложения обрабатываемого сигнала удобно упорядочить в виде древовидной структуры, как показано на рис. 7.9.

171

				yK,n
			yK+1,2n			yK+1,2n+1
	yK+2,4n			yK+2,4n+1	yK+2,4n+2		yK+2,4n+3
	…	…	…	…	…	…	…	…
yM −2, 2M −2−K n …				…			…	yM −2, 2M −1−K n−1
yM −1, 2M −1−K n	yM −1, 2M −1−K n+1		…	…			… yM −1, 2M −K n−2 yM −1, 2 M −K n−1

Рисунок 7.9. Схема упорядочивания вейвлет-коэффициентов в виде древовидной структуры

172

При таком упорядочивании каждый узел yj,m дерева (за исключением листьев) имеет по два непосредственных (ближайших) потомка

{yj+1,2m, yj+1,2m+1}, причем носители ∆2j +m1 и ∆2j +m1+1 соответствующих им базисных функций ψj+1,2m(t) и ψj+1,2m+1(t) представляют собой области, лежащие внутри области носителя ∆mj базисной функции-родителя

ψj,m(t): ∆2j+m1 ∆mj , ∆2j +m1+1 ∆mj . Основное предположение, лежащее в основе многих алгоритмов вейвлет-кодирования, состоит в том, что если некоторый коэффициент yj,m=<f(t),ψj,m(t)> мал по абсолютной величине,

то в области аргумента t ∆mj сигнал f(t), скорее всего, обладает малой

энергией (и несет малую информацию) и все вейвлет-коэффициенты, которые являются прямыми (не только непосредственными) потомками узла yj,m, также малы по абсолютной величине. Тогда «ветвь дерева» Tj,m, выходящую из узла yj,m и включающую в себя всех его прямых потомков, можно «подрезать», не кодируя входящие в нее вейвлеткоэффициенты, а при декодировании заменить отброшенные коэффициенты нулевыми значениями. Если используемое вейвлет-преобразование является ортогональным, то евклидова норма ошибки, вносимая в дискретный сигнал fM↔{aM,n} при подрезании ветви Tj,m, может быть подсчитана в области преобразования:

~

2

= ∑

~

2

=

2

fM − fM

aM ,n −aM ,n

∑yk,l ,

где

~

~

n

yk ,l T j,m

- восстановленный после декодирования и обратного

fM

↔{aM ,n}

вейвлет-преобразования дискретный сигнал. Различные алгоритмы вейвлет-компрессии различаются, в основном, правилами, по которым принимается решение о подрезании ветвей, и способами кодирования структуры подрезанного дерева, а также процедурами квантования и статистического кодирования тех вейвлет-коэффициентов, которые остались после подрезания ветвей.

173

Рекомендуемая литература

Ахмед Н., Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ. - М.: Связь, 1980. - 248 с.

Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. - М.: Радио и связь, 1990. – 256 с.

Дмитриев В.И. Прикладная теория информации: Учеб. для студ. вузов. - М.: Высшая школа, 1989. – 320 с.

Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Ижевск: РХД, 2001. - 464 с.

Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М. Математический анализ

(специальные разделы). – М.: Высшая школа, 1980. Ч.1 и 2. – 279 и 295 с.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. – М.: Мир, 1989. – 376 с.

Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. – М.: Мир, 1983. Т.1. и Т2 - 312 и 256 с.

Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. – 132 с.

Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов М: Мир , 1978 - 848 с.

Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002.

– 608 с.

Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. М.: Мир, 1988. Ч. 1 и 2. – 336 и 360 с.

Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.

Чуи К. Введение в вейвлеты. – М.: Мир, 2001. – 412 с.

174

Учебное пособие

Умняшкин Сергей Владимирович

Математические основы цифровой обработки и кодирования сигналов.

В авторской редакции.

Подписано в печать с оригинал-макета 29.01.04. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 10,21. Уч.-изд. л. 8,8. Тираж 120 экз. Заказ 46.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.

124498, Москва, МИЭТ.