5.6.2 Выполнение основной теоремы двойственности

Сравним полученный результат с оптимальной симплексной таблицей для прямой задачи (см. таблица 19).

Как и следовало ожидать в соответствии с основной теоремой двойственности, получено то же самое значение оптимума – 7,378.

Из таблицы 20 базисные переменные у₃= 0,122; у₅` = 4; у<sub>8</sub>= 29,889. Небазисные переменные у<sub>1</sub>= у<sub>2</sub>= у<sub>4</sub>= у<sub>5</sub>``= у<sub>6</sub>= у<sub>7</sub>= 0. Так как у<sub>5</sub>= у<sub>5</sub>`- у₅``, у₅= 4 – 0 = 4. Таким образом, оптимальный планY^*= (0; 0;0,122; 0; 4; 0; 0; 29,889).

Если рассмотреть критериальную строку таблицы 19, можно заметить, что₃ = 29,889 = у₈. В самом деле, переменной х₃соответствует третье ограничение двойственной задачи, в котором дополнительной переменной является как раз переменная у₈. Коэффициент₆ = 0,122= у₃. В самом деле, дополнительная переменная х₆прямой задачи стоит как раз в ее третьем ограничении, которому соответствует двойственная переменная у₃.

Коэффициенты при основных переменных х₁и х₂₁ = ₂ = 0, так как дополнительные переменные двойственной задачи в ее первых двух ограничениях соответственно у₆= у₇= 0. Коэффициенты при дополнительных переменных х₄, х₅и х₇₄ = ₅ = ₇ = 0, так как основные переменные двойственной задачи, которые соответствуют первому, второму и четвертому ограничениям у₁= у₂= у₄= 0.

Мы убедились в том, что оптимальный план двойственной задачи находится в критериальной строке оптимальной симплексной таблицы для прямой задачи^*.

Теперь сравним столбец В таблицы 19 (из которого следовало, что Х^*= (0,011; 0,489; 0; 0,711; 1,289; 0; 15,222), с последней строкой в таблице 20 (критериальной строкой оптимальной симплексной таблицы для двойственной задачи). Здесь₁ = 0,711 = х₄ (поскольку переменной у₁ соответствует первое ограничение прямой задачи, в котором дополнительной была переменная х₄). Аналогично можно объяснить, почему ₂ = 1,289 = х₅, ₃ = 0 = х₆, а ₄ = 15,222 = х₇. Поскольку пятое ограничение прямой задачи – уравнение, и разность между его частями всегда равна нулю, ₅`=₅``= 0.

Рассмотрим коэффициенты при дополнительных переменных двойственной задачи. Поскольку эти переменные у₆, у₇и у₈стоят в трех ограничениях двойственной задачи, которым соответствуют три основные переменные прямой задачи х₁, х₂и х₃, оказывается, что₆ = 0,0111 = х₁, ₇ = 0,489 = х₂, а₈ = 0 = х₃.

Мы убедились в том, что оптимальный план прямой задачи находится в критериальной строке оптимальной симплексной таблицы для двойственной задачи (так и должно было оказаться, поскольку двойственность взаимна).

5.6.3 Выполнение теоремы о равновесии

Теперь убедимся в том, что выполняется вторая теорема двойственности. Для этого установим соответствие между переменными сопряженных задач в виде таблицы 21. В каждой строке этой таблицы записаны соответствующие друг другу переменные и ограничения сопряженных задач (и оптимальные значения переменных). В пятом ограничении прямой задачи дополнительной переменной нет, но в графе «значение» все равно указан ноль, так как разность между частями уравнения равна нулю. При перемножении двух значений во всех восьми строках получается ноль (х₁*y₆= 0,011*0 = 0; х₂*y₇= 0,489*0 = 0; …; х₇*y₄= 15,222*0 = 0; 0*y₅= 0*4 = 0).

Таблица 21 – Соответствие между переменными сопряженных задач

Прямая задача			Двойственная задача
Основная переменная		Значение	Номер ограни-чения	Дополнитель-ная пере-менная	Значение
х1		0,011	1	y6	0
х2		0,489	2	y7	0
х3		0	3	y8	29,889
Номер ограни- чения	Дополнитель- ная пере- менная	Значение	Основная переменная		Значение
1	х4	0,711	y1		0
2	х5	1,289	y2		0
3	х6	0	y3		0,122
4	х7	15,222	y4		0
5	-	0	y5		4