- •Пределы. Непрерывность функций Числовая последовательность и ее свойства
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции Предел функции в бесконечности
- •Бесконечно малые и большие величины
- •Признаки существования и основные свойства пределов
- •Основные свойства пределов
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Свойства непрерывных функций
Пределы. Непрерывность функций 1
Числовая последовательность и ее свойства 1
Предел числовой последовательности 2
Предел функции 3
Предел функции в бесконечности 3
Бесконечно малые и большие величины 6
Признаки существования и основные свойства пределов 8
Основные свойства пределов 11
Замечательные пределы 12
Первый замечательный предел 12
Второй замечательный предел 12
Непрерывность функции 13
Свойства непрерывных функций 16
Пределы. Непрерывность функций Числовая последовательность и ее свойства
Если каждому натуральному числу nпо некоторому закону поставлено в соответствие вполне определенное число аn, то говорят, что заданачисловая последовательность{аn}:a1,a2, …an, …
Можно сказать, что числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел аn=f(n),nN.
При этом числа a1,a2, … называют членами последовательности, а
an– ее общим членом.
Примеры числовых последовательностей:
100, 200, 100*n,...;
5, -5, 5, -5, …;
0, 3/2, 2/3, 5/4, …, (1 + (-1)n/n), …
Для числовых последовательностей можно сформулировать свойства монотонности так же, как и для функций. Например, в первом из рассмотренных примеров последовательность является возрастающей и неограниченной. В остальных двух примерах последовательности монотонными не являются. Вторая последовательность является ограниченной (ее общий член по модулю не превышает 5). В последнем примере последовательность также ограничена – снизу нулем, а сверху числом 1,5.
Рассмотрим последний пример (на рисунке 2.1 члены этой последовательности изображены на числовой оси). В этой последовательности первый член равен нулю, а в остальных членах в знаменателе стоит номер члена, а числитель на единицу больше номера, если номер четный, или на единицу меньше номера, если номер нечетный. При этом легко заметить, что все нечетные члены меньше единицы, а четные – больше единицы, но с ростом номера расстояние до единицы на числовой оси становится все меньше. Действительно: |a1- 1| = 1, |a2- 1| = 1/2, |a3- 1| = 1/3,..., |an- 1| = 1/n,... Таким образом, с ростомn|an- 1| будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.
Рисунок 2.1 – Члены
числовой последовательности (пример)
на числовой оси
Предел числовой последовательности
Число А называется пределом числовой последовательности{аn}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такой номер N (зависящий от, т.е. N= N()), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство |an- А| <.
Предел числовой последовательности обозначается илиanА приn(говорят, что последовательность стремится к А при стремленииnк бесконечности).
Если последовательность имеет предел, ее называют сходящейся, а в противном случае -расходящейся.
Итак, .
Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших nчлены последовательности как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине меньше, чем на число, каким бы малым оно ни было).
Можно доказать, что последний пример последовательности сходится к единице, т.е. что (1 + (-1)n/n)1 приn. Рассмотрим |(1 + (-1)n/n) - 1| = |(-1)n/n| = 1/n. Для> 0 1/n<приn> 1/. Определим N= N(), как целую часть от 1/. Таким образом, для. Утверждение доказано.
Если вспомнить, что множество точек anна числовой прямой таких, что неравенство |an- А| <(где> 0) называется-окрестностью точки А, то можно определить предел последовательности по-другому, геометрически (см. рисунок 2.2). Число А есть предел числовой последовательности {аn}, если для любого> 0 найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в-окрестности точки А. Вне этой-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.
Рисунок 2.2 –
Геометрический смысл предела
последовательности