Курсач

Этап №1. Дифференциальные уравнения движения точки.

Задача №1. Прямолинейное движение точки

Дано:

α=30ᴼ, X=5м, f=0,3, V1=?, T=?

Y

M₀

N̅

M

F̅

G̅

M_к

α

Х

Запишем основное уравнение динамики для точки М, находящейся между начальной и конечной точками:

mW̅ = F̅ + G̅ + N̅

По условию задачи точка не двигается по оси y, следовательно:

mŸ = N - mg = 0

N = mg

Спроектируем все силы на ось х и запишем основное уравнение динамики для этой оси:

mẌ = -F + mg , откуда Ẍ = -

Решаем это уравнение, если учитывать, что F = fmg

Получаем уравнение:

Ẍ = -g(f- )

Ẍ = 2,35 м/с²

Проинтегрируем это уравнение дважды и получим систему уравнений:

Подставим в эти уравнения начальные условия для нахождения констант интегрирования C₁ и С₂:

V₀ = 0 t₀ = 0 Х₀ = 0

С₁ = 0 С₂ = 0.

Далее подставим конечные условия в предыдущую систему уравнений:

t_к = T V_к = V Х_к = 5

Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, которая имеет единственное решение. Решив её, получим:

T = 4,24c

V = 9,98 м/с

Задача №2. Криволинейное движение точки.

Дано:

α=45^о v0=10м/c y=2м t=?

Y

Выпишем

начальные условия:

t₀ = 0

M_к

X₀ = 0

Y₀ = 0

M

Ẋ₀ = V₀*cos α

8

Ẏ₀ = V₀*sin α

V₀

G̅

2м

α

M₀

30

X

Запишем основное уравнение динамики (Второй закон Ньютона):

mW̅ = F̅_i

Спроектируем это уравнение на оси x и y и перепишем для нашей конкретной задачи:

mẌ = 0

mŸ = -mg откуда Ÿ = -g

Проинтегрируем полученные формулы и получим закон движения точки:

Ẋ = С₁ Ẏ = -gt + C₃

X = C₁t + C₂ Y = -+ C₃t + C₄

Подставим в полученные уравнения начальные условия для определения констант интегрирования:

V₀*cos α = C₁ V₀*sin α = C₃

X₀ = C₁t + C₂ => C₂ = 0 C₄ = 0

Подставим полученные значения констант в уравнение для Y и получим:

(1)

Подставим конечные условия в уравнение (1):

При t_к=T X_к = 30м Y_к = 2м

Имеем уравнение, которое имеет единственное решение. Решив её, получим

T = 4,54с.

Ответ: необходимое время полета составляет 4,54 секунды.

Этап №2. Применение основных теорем динамики. Принцип Даламбера.

Задача №3.

Дано:

m = 0,3 кг

0,2 c

V₀ = 4 м/с

N̅

F_тр

Ф_п

R = 4 м

D

C

B

xx

V

ф_т

V

f = 0,1

А

V₀

N̅

G̅

F_упрр

G̅

G̅

N̅

α = 30^o

M₀

G̅

β = 20^o

β

F_тр

G̅

λ = 0,3 м

α

с = 200 Н/м

Найти:

V_B, V_C, V_D, N_c.

Рассмотрим участок BC и применим для него теорему об изменении кинетической энергии (Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на систему)

– сумма работ внешних сил, где h – высота подъема шарика, а Fтр – сила трения.

Следовательно,

Для нахождения применим принцип Даламбера (В любой момент времени векторная сумма всех активных сил, всех реакций связей и мысленно приложенной силы инерции равна нулю):

F̅ + R̅ + φ̅ = 0

Сила инерции по модулю равна массе тела, умноженной на её ускорение, а по знаку – противоположна.

φ̅ = - mw̅

Также, она состоит из касательной и центробежной составляющих.

φ̅ = φ̅_n +φ̅_τ

|φ̅_τ| = |φ_n| = , где ρ = R = 4.

Рассмотрим участок BC и применим для него теорему об изменении кинетической энергии (Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на систему):

Запишем теорему об изменении импульса (Разность импульсов в конечной и начальной точках движения равна сумме всех сил, действующих на точку, умноженную на время прохождения точкой этого участка):

mV̅_D – mV̅_B =

Рассмотрим участок BD и применим для него теорему об изменении импульса:

Из этого уравнения мы находим Vd

Этап №3. Определение скоростей точек системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Дано:

m₁ = 200 кг m₂ = 40 кг m₃ = 70 кг m₄ = 50 m₅ = 100 r₂ = 19 см R₂ = 24 см

i₂ = 22 см r₃ = 22 см R₃ = 28 см i₃ = 25 см R₄ = 11 см M_C2 = 90 Нм M_C3 = 100 Нм

S = 2,1 м

C₂

V̅_C2

Найти:

V₁ = ?

A₁

B₁

V̅_В1

3

ω₃

2

B₂

A₂

ω₂

A₁

V̅_A1

V̅_С

ω₄

C

P

4

1

V̅₁

V̅₅

5

Эта задача на данном этапе решается с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы (Разность начальной и конечной кинетической энергии системы равна сумме работ внешних сил).

Для применения этой теоремы необходимо будет найти суммарную кинетическую энергию системы в начальном и конечном положении. Т.к. в начальном положении система находилась в покое, то кинетическая энергия в этот момент равна нулю.

Найдем значение кинетической энергии системы в конечном положении, она равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

T = T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅ =

Исходя из схемы системы, выразим все неизвестные в этом выражении через скорость первого тела:

V₁ = V_A1 = ω₂R₂ , откуда ω₂ =

V_A2 = ω₂r₂ = ω₃R₃ , откуда ω₃ =

V_B2 = ω₃r₃ = , откуда ω₄ =

Момент инерции тел 2,3,4 вычисляется по формуле:

I_z =

I_z4 = =3

Если теперь подставить всё это в формулу кинетической энергии и вынести за скобку , то всё, что останется в скобке, обозначим за приведенную массу. В итоге получим:

M_пр = m₁ +

Рисунок 2. Силы и реакции опор в системе.

1

B₁

A₂

B₂

A₁

G₃

G₂

C

P

G₁

G₄

G₅

Для составления правой части уравнения теоремы об изменении кинетической энергии, потребуется найти сумму работ всех внешних сил. Выпишем все внешние силы, действующие на систему и работы, которые они совершают:

1. Работа силы тяжести первого тела:

A(G₁) = m₁gS₁=4116

2. Работа момента сопротивления второго тела:

A(M_c2) = -M_c2ϕ₂₌

3. Работа момента сопротивления третьего тела:

A(M_c3) = -M_c3ϕ₃ =

4. Работа силы тяжести четвертого тела:

A(G₄) =

Связи между перемещениями находим из связей между скоростями:

ϕ₂ =

Сумма работ всех внешних сил:

F_пр. = 2508,12

Запишем теорему об изменении импульса:

,откуда = = 5,3 м/с.

Этап №4. Исследование поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений тел при помощи дифференциальных уравнений движения.

m₁ = 200 кг m₂ = 40 кг m₃ = 70 кг m₄ = 50 m₅ = 100 r₂ = 19 см R₂ = 24 см

i₂ = 22 см r₃ = 22 см R₃ = 28 см i₃ = 25 см R₄ = 11 см M_C2 = 90 Нм M_C3 = 100 Нм

S = 2,1 м

Найти: W₁, ε₂, ε₃, ε₄, W₄, Т₂₃,T₃₄, T_45, T₄₀, I₄ = ?

3

2

4

1

5

2) Мысленно разрежем тела друг от друга для получения внешних сил из внутренних. Рассмотрим каждое тело в отдельности:

1. тело:

Т₁₂

G

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения.

m₁W₁ = m₁g – Т₁₂

200W₁ = 200 ˑ 9,8 – Т₁₂ (1)

2. тело:

Y̅_с

M_c2

Т₂₃

Х̅_с

ω₂

Т₂₁

G̅₂

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:

Т₂₁ = - Т₁₂

Y̅₃

Т₃₂

ω₃

3. тело:

X̅₃

M̅_c3

T̅₃₄

G̅₃

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:

J₃ε₃ = - M_c3 - T₃₄r₃ + Т₃₂R₃

J₃ = m₃i₃²

m₃i₃²ε₃ = - M_c3 - T₃₄r₃ + Т₃₂R₃

3,39ε₃ = -100 – 0,25T₃₄ – 0,28Т₂₃

(3)

4. тело:

Т₄₃

Т₄₀

ω₃

G̅₄

Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:

m₄W₄ = Т₄₅ - T₄₃ - T₄₀ (4)

ˑ ε₄ = (50 ˑ 9,8 + T₄₅) ˑ R₄ – T₄₃ ˑ 2R₄

Т₅₄

5. Тело

G̅₅

Составим уравнение

m₅W₅ = m₅g – Т₅₄

m₅W₅ = m₅g +Т₄₅

Составим уравнения кинематических связей:

V₁ = ω₂R₂ W₁ = ε₂R₂ (6)

ω₂r₂ = ω₃R₃ ε₂r₂ = ε₃R₃ (7)

ω₃r₃ = ω₄2R₄ ε₃r₃ = ε₄R₄ + r₄ (8)

V_c2 = ω₄R₄ W₄ = ε₄R₄ (9)

200W₁ = 200 ˑ 9,8 – Т₁₂ (1)

(2)3,39ε₃ = -100 – 0,25T₃₄ – 0,28Т₂₃ (3)

50W₄ = Т₄₅ + 50 ˑ 9,8 - T₄₃ - T₄₀ (4)

3,125 ε₄ = (50 ˑ 9,8 + T₄₅) ˑ 0,11 – T₄₃ ˑ 0,22 (5)

100W₄ = 980 +Т₄₅ (6)

W₁ = 0,24ε₂ (7)

0,19ε₂ = 0,28ε₃ (8)0,22ε₃ = 2ˑ0,11ε₄ (9)

W₄ = 0,11ε₄ (10)

Имеем систему из 9 уравнений с 9 неизвестными. Подставляем в (6) уравнение значение W₁ = 6,67 м/с (взятое из 5 этапа):

ε₂ = 27,5 рад/с²

Дальше по цепочке подставляем полученные значения.

Из (7): ε₃ = 18,7 рад/с²

Из (8): ε₄ = 18,7 рад/с²

Из (9): W₄ = 2,05 м/с²

Из (1): Т₁₂ = 640 H

Из (2): Т₃₂ = 1001,89 H

Из (2): Т₄₃ = 514,38 H

Из (2): Т₄₅ = 1070 H

Из (2): Т₄₀ = 943,12 H

Этап №5. Применение уравнений Лагранжа второго рода к механическим системам с одной степенью свободы.

Дано:

m₁ = 200 кг m₂ = 40 кг m₃ = 70 кг m₄ = 50 m₅ = 100 r₂ = 19 см R₂ = 24 см

i₂ = 22 см r₃ = 22 см R₃ = 28 см i₃ = 25 см R₄ = 11 см M_C2 = 90 Нм M_C3 = 100 Нм

S = 2,1 м

C₂

V̅_C2

Найти:

W₁ = ?

A₁

B₁

V̅_В1

3

ω₃

2

B₂

A₂

ω₂