L06-Тепловое излучение [Режим совместимости]

31.05.2012

Лекция № 6 Тепловое излучение

Санкт-Петербург

2Тепловое излучение и люминесценция

•Самым распространенным является свечение тел,

обусловленное их нагреванием. Этот вид свечения называется тепловым (или температурным) излучением.

•Если распределение энергии между телом и излучением

остается неизменным для каждой

длины волны, то состояние

системы тело – излучение будет

равновесным.

1

31.05.2012

3Закон Кирхгофа

•Для характеристики теплового излучения мы будем

пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в

ваттах.

•Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах

телесного угла 2π), называется энергетической

светимостью тела Rэ

•Обозначим поток энергии, испускаемый единицей

поверхности тела в интервале частот dω, через dRω (далее опустим индекс «э» при R). При малой величине

интервала dω поток dRω будет пропорционален dω:

dR r d .

(3.84)

4Закон Кирхгофа

•Величина rω называется испускательной способностью

тела

•Зная испускательную способность rω, можно вычислить энергетическую светимость:

RэТ dR T r T d	(3.85)
0

•Определяющие один и тот же участок величины dω и dλ связаны соотношением, вытекающим из формулы:

c / 2 c / .

•Дифференцирование дает:

2

31.05.2012

5 Закон Кирхгофа

	d	2 c	d	2	d . (3.86)
		2		2 c

• Доля энергетической светимости, приходящаяся на

интервал dλ, может быть по аналогии с (3.84)

представлена в виде:

dR r d .

(3.87)

• Если интервалы dω и dλ, входящие в выражения (3.84)

и (3.87), связаны соотношением (3.86), т. е. относятся к

одному и тому же участку спектра, то величины dRω и
dRλ должны совпадать:	r d r d .

6Закон Кирхгофа

•Заменив в последнем равенстве dλ согласно (3.86),

получим:

r d r 2 2c d r 2 2c d ,

r	r	2 c	r	2	.	(3.88)
		2
			2 c

•Пусть на элементарную площадку поверхности тела

падает поток лучистой энергии dΦω, обусловленный электромагнитными волнами, частота которых

заключена в интервале dω. Часть этого потока dΦω'

будет поглощена телом.

3

31.05.2012

7 Закон Кирхгофа

T	d '
	(3.89)
	d

• называется поглощательной способностью тела.

• Для тела, полностью поглощающего упавшее не него

излучение всех частот, αωT ≡ 1. Такое тело называют

абсолютно черным.

• Тело, для которого αωT ≡ const < 1, называется серым.

• Можно показать, что чем больше испускательная

способность тела rωT, тем больше и его поглощательная способность αωT.

8

Закон Кирхгофа

r T

r T

r T

...,

T

T

T

2

3

1

• где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам.

• Кирхгоф сформулировал следующий закон:

отношение испускательной и поглощательной

способностей не зависит от природы тела, оно

является для всех тел одной и той же универсальной

функцией частоты и температуры:

r T

f ,T .

(3.90)

T

4

31.05.2012

9Закон Кирхгофа

•Для абсолютно черного тела по определению αωT ≡ 1.

Следовательно, из формулы (3.90) вытекает, что rωT

для такого тела равна f(ω, T).

•Таким образом, универсальная функция Кирхгофа f(ω, T) есть не что иное, как испускательная

способность абсолютно черного тела.

•Функции f(ω, T) и φ(λ, Т) связаны друг с другом

формулой:

	f ( ,T )	2 c	( ,T )	2	( ,T ),	(3.91)
		2		2 c

• аналогично формуле (3.88).

10 Закон Кирхгофа

• Согласно (3.91) для того, чтобы по известной функции f(ω, T) найти φ(λ, Т), нужно заменить в f(ω, T) частоту

ω через 2πс/λ и получившееся выражение умножить на

2πс/λ2:

	2 c			2 c
( ,T )			f		,T .	(3.92)
		2

• Для нахождения f(ω, T) по известной φ(λ, Т) нужно

воспользоваться соотношением:
	2 c			2 c
f ( ,T )					,T .	(3.93)
		2

5

31.05.2012

11 Закон Кирхгофа

12Закон Стефана – Больцмана и закон Вина

•Больцман, исходя из термодинамических соображений, получил теоретически для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее

значение:

Rэ* f ( ,T )d T 4 ,	(3.94)

0

• где σ –постоянная величина, Т – абсолютная

температура.

• Соотношение (3.94) между энергетической свети-

мостью абсолютно черного тела и его абсолютной

температурой получило название закона Стефана–

Больцмана. Константу σ называют постоянной

Стефана–Больцмана.

6

31.05.2012

13

Закон Стефана – Больцмана и

закон Вина

•

Вин, воспользовавшись, корме термодинамики,

электромагнитной теорией, показал, что функция

спектрального распределения должна иметь вид:

3

(3.95)

f ( ,T )

F

.

T

• где F – неизвестная функция отношения частоты к

температуре.

• Согласно формуле (3.92) для функции φ(λ,Т)

получается выражение:

2 c 2 c 3

2 c

1

( ,T )

F

y( T ), (3.96)

2

5

T

14Закон Стефана – Больцмана и закон Вина

•где y(λТ) – неизвестная функция произведения λТ.

•Соотношение (3.96) позволяет установить зависимость

между длиной волны λm, на которую приходится

максимум функции φ(λ,Т), и температурой.

Продифференцируем по λ:

d				1	Ty' ( T )		5	y( T )
d				5			6
	1				'				(3.97)
		6
			Ty			( T ) 5y( T ) .

7

31.05.2012

15 Закон Стефана – Больцмана и закон Вина

• Выражение в квадратных скобках представляет собой

некоторую функцию Ψ(λТ). При длине волны λm,

соответствующей максимуму функции φ(λ,Т),

выражение должно обращаться в нуль:

	d			1	T 0.
				6
					m
	d m			m

• Решение уравнения Ψ(λmT) = 0 относительно

неизвестного λmT дает для этого неизвестного

некоторое число, которое мы обозначим буквой b.

Таким образом, получается закон смещения Вина:

T m b,

(3.98)

16 Формула Планка

• С классической точки зрения функция f(ω, T)

описывается формулой Рэлей–Джинса:

	f ( ,T )	2	kT,	(3.99)
		4 2c2
	.	(3.100)
n n		(n 0, 1,		2, ...). (3.101)

8

31.05.2012

17			Формула Планка
			• Согласно закону Больцмана вероятность Рn того, что
			энергия излучения имеет величину εn, определяется
			выражением:
			P Ae n /kT Ae n /kT .		(3.102)
			n
			• Нормировочный множитель А можно найти, исходя из
			условия, что сумма всех Рn должна быть равна
			единице. Итак:
			Pn A e n /kT 1,
			n 0	n 0
	•		Откуда

18 Формула Планка

A	1	,
	e n /kT
	n 0

• Подставив найденное значение А в формулу (3.102)

	получим:		e n /kT
	P			.
	n
			e n /kT

n 0

9

31.05.2012

19Формула Планка

•Предположим, что мы имеем возможность измерить

значение энергии данной спектральной составляющей

излучения в любой промежуток времени. Произведем

через равные промежутки времени ∆t очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных

значений на число измерений N, мы найдем среднее

по времени значение

•При очень большом N количество измерений Nn,

которые дадут результат εn, будет равно NPn. Поэтому

			1		1
				Nn n		NPn n Pn n (3.103)
			N n 0		N n 0		n 0

20Формула Планка

•Таким образом, среднее значение энергии излучения

частоты ω определяется следующим выражением:

n e n /kT

n 0

.

(3.104)

e n /kT

n 0

ne nx

d

n 0

ln e

nx

.

(3.105)

dx

e nx

n 0

n 0

10