2.2. Поверхности и кривые в пространстве.

Поверхностью в системе координат называется некоторое множество точекпространства, координаты которых и только они удовлетворяют уравнению. Уравнениеназывается при этомобщим уравнением поверхности .

Кривая в пространстве определяется в общем случае как линия пересечения двух поверхностей и, т.е. заданием системы двух уравнений.

Алгебраической поверхностью второго порядка в системе координат называется поверхность, общее уравнение которой имеет вид

,

где числа не равны нулю одновременно.

Может оказаться, что общее уравнение определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей). Если поверхность невырожденная, то преобразованиями системы координат её общее уравнение всегда можно привести к одному из уравнений канонического вида, в новой, канонической системе координат. Графики поверхностей, заданных каноническими уравнениями, имеют вид изображённый на рисунках 5-9 (Приложение 2).

Одним из основных методов исследования формы поверхности по её уравнению является метод сечений. Информации, полученной в результате изучения сечений поверхности плоскостями параллельными координатным плоскостям ,,, достаточно для построения эскиза поверхности.

Сферой называется поверхность, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Сфера - частный случай эллипсоида при .

Число называетсярадиусом сферы, точка , являющаяся началом канонической системы координат называетсяцентром сферы.

Уравнение называется нормальным уравнением сферы. Оно определяет сферу с центром в точке и радиусом.

Уравнение сферы, заданное общим уравнением в системе координат , всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к каноническому уравнениюв новой, канонической системе координат.

3.96. Установить, какие геометрические образы определяются заданными уравнениями:

а) ;б); в);

г) ;д) ;

е) ;ж);з) .

3.97 Найти уравнение поверхности, разность квадратов расстояний от каждой точки которой до точек иравна 13.

3.98 Найти уравнение поверхности, сумма расстояний от каждой точки которой до точек иравна 10.

3.99 Найти уравнение поверхности, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек иравен 6.

3.100 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет сферу, найти ее центр и радиус :

а)б)

3.101 Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев (- центр сферы;- радиус;- точки на сфере):

а); б) ;

в) -концы диаметра сферы;

г) , плоскостькасается сферы.

3.102 Установить, какие кривые определяются уравнениями:

а) ; б) ;

в) ; г) .

В задачах 3.103-3.111 установить тип поверхностей и построить их:

3.103 .3.104 .

3.105 3.106 .

3.107 .3.108 .

3.109 .3.110 .3.111.

3.112 Найти точки пересечения поверхности и прямой:

а) и ;

б) и ;

в) и .

В задачах 3.113-3.116 написать каноническое уравнение поверхности второго порядка, определить её тип и найти каноническую систему координат.

3.113. .

3.114. .

3.115 .

3.116 .

73