II.18.8. Предельное состояние статически определимых систем при изгибе

Для систем, работающих преимущественно на изгиб, разрушение сечения определяется в основном величиной изгибающего момента.

Рассмотрим предельное состояние балки с двумя шарнирно опертыми концами, от действия силы P, приложенной в середине пролета. В статически определимой балке (рис.18.3), как известно, нормальные напряжения в поперечных сечениях в упругой стадии, изменяются по высоте сечения по линейному закону и пропорциональны величине изгибающего момента.

Рис. II.18.3

В опасном сечении при достижении напряжений в крайних волокнах величины , заканчивается упругий стадия работы и величина изгибающего момента по теории допускаемых напряжений будет определяться следующими известными соотношениями:

, (II.18.10)

откуда допускаемое значение внешней силы вычисляется по:

, (II.18.11)

где W-момент сопротивления поперечного сечения балки. Для прямоугольного сечениягдеb,h-размеры поперечного сечения (рис.II.18.3,б).

Таким образом, при расчете балки (рис. II.18.3,а) по теории допускаемых напряжений, допускаемое значение внешней силы, определяется по:

. (II.18.12)

Однако, очевидно, что при , вычисленной по формуле (II.18.12), заданная балка далеко не исчерпала свою несущую способность. При увеличении нагрузки, пластические деформации проникают вглубь сечения, вплоть до появления в немпластического шарнира, т.е. состояния сечения, при котором все ее точки перешли в пластическое состояние. В пластическом шарнире момент достигает предельной величины, когда эпюра нормальных напряжений во всех точках в опасном сечении принимает значение(рис.II.18.3,б).

Рис. II.18.4

Согласно диаграмме деформирования материала по Прандтлю, продольные волокна балки в этом сечении испытывают беспредельно возрастающие деформации. В этих условиях можно говорить о формировании пластического шарнира в сечении, который превращает данную балку в механизм (рис. II.18.4). Это означает, что с возникновением пластического шарнира происходит полное исчерпание несущей способности балки, т.е. заданная система разрушается. Величину силы, вызывающую образование в балке пластического шарнира, называютпредельной силой метода предельного состояния.

Значение предельной силы определяется из условия равенства моментов внутренних и внешних сил для опасного срединного сечения балки:

;, (II.18.13)

откуда получим:

. (II.18.14)

Величина называется пластическим моментом сопротивления, значения которого в случае прямоугольного сечения было определено в п.I.18.3.

Если сравнить величину предельной силы, определенной по методу допускаемых напряжений и по методу предельного равновесия, то получим, что .

Из приведенного примера следует, что для расчета изгибаемых элементов по методу предельного состояния, необходимо предварительно определить пластический момент сопротивления в сечениях пластических шарниров.

В таблице II.18.1 приведены значения отношениядля некоторых стандартных форм сечений.