∞

x

n

x

2

x

3

x

n

ln (1+ x)= ∑(

−1)n+1

= x −

+

−... +(−1)n+1

+... .

n

n

n=1

2

3

Промежуток сходимости (−1; 1].

∞

x

n

x

2

x

3

x

n

ln (1− x)= −∑

= −x

−

−

−... −

−... .

Промежуток

n=1

n

2

3

n

сходимости [−1; 1).

∞

x

2n+1

x

3

x

5

x

2n+1

arctg x = ∑(−1)n

= x −

+

−K+(−1)n

+K.

2n +1

2n +1

n=0

3 5

Промежуток сходимости [−1; 1].

(1+ x)α =1+∑α (α −1)...(α −n +1)xn =

∞

n=1

n!

=1+αx +

α (α −1)

x2 +... +

α (α −1)...(α −n +1)

xn +...

2!

n!

(биномиальный ряд). Интервал сходимости (−1; 1),

α R ,

α N .

При α = n N

функция f (x)= (1+ x)n раскладывается по

биному Ньютона в многочлен и разложение является верным на всей числовой оси.

При α = −1 – частный случай биномиального ряда –

1

∞

геометрический ряд (1+ x)−1 =

= ∑(−1)n xn .

1+ x

n=0

Решение задачи 8

Так как f (x)= e2 x , то воспользуемся разложением

∞

x

n

x

x

2

x

n

ex = ∑

=1+

+

+... +

+... , (−∞ < x < +∞).

n!

n!

n=0

1!

2!

18

В этом разложении заменим x на 2x , получим

e2 x

= ∑(2x)

n

=1+ 2x

+ (2x)

2

(2x)

n

+... +

+... ,

∞

n=0

n!

1!

2!

n!

(−∞ < 2x < +∞) (−∞ < x < +∞).

f (2x

)= f

2

−

1

= f (−1)=1+ (−1)+ (−1)2

+ (−1)3

+... =

1

1!

2!

3!

2

=1−11 + 12 − 3!1 + 4!1 − 5!1 ... =1−1+ 12 − 16 + 241 −1201 +... ≈,

атак как n = 5 , то приближённое значение функции необходимо вычислить, взяв первые пять членов разложения

≈1−1+ 12 − 16 + 241 ≈ 0.37 .

Так как было взято пять слагаемых, то допускаемая при этом вычислении погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из

отброшенных членов по модулю равен 1201 . Нетрудно видеть,

что 1201 ≈ 0.0083 < 0.01. Итак, в результате получаем

fx1 = − 1 ≈ 0.37 ±0.01,

2

			1					1			1
действительно,		−			2		−			=		≈ 0.368 .
	f		2		= e			2			e

Задача 9.1

Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции, используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда,

обеспечивающее заданную точность: 4 e , ε = 0, 001.

19

Решение задачи 9.1

Требуется вычислить приближенно с заданной точностью

ε значение функции

f (x)= ex

в

точке

x =

1 .

Представим

4

функцию

ex

рядом

Маклорена

∞

n

x

x

2

x

n

1

ex = ∑

x

=1+

+

+... +

+... и положим x =

. Получим

n!

4

n=0 n!

1!

2!

1

1

1

1

1

1

1

e4

=1

+

+

+

+

+

+

+... =

4 1!

42 2!

43 3!

44 4!

45 5!

46 6!

=1+ 1

+

1

+

1

+K+

1

+r

,

32

4n n!

4

384

n

где rn

- остаток ряда после n -ого члена, оценим его:

rn

1

1

1

=

+

+

+... =

4n+1 (n +1)!

4n+2 (n +2)!

4n+3 (n +3)!

1

1

1

=

1+

+

+...

<

4n+1

4 (n +2)

42 (n +2)

(n +3)

(n +1)!

1

1

1

<

1+

+

+

... =

4n+1 (n +1)!

4 (n +2)

(n +2)2

42

Выражение в скобках представляет собой бесконечно

убывающую геометрическую прогрессию,

где первый член b1 =1,

а знаменатель геометрической прогрессии q =

1

, тогда

4 (n +2)

сумма прогрессии S =

b1

=

1

=

4n +8

.

1

1−q

1−

4n +7

4

(n +2)

20

Итак, =	1			4n +8
					.
	4n+1 (n +1)!			4n +7

Теперь, методом подбора, найдём значение N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

точность ε = 0, 001:
n = 2 :			1				8 +8 =			16			=		1		≈ 0.0028 > 0.001 ;
		43		3!					64 6 15					360
							8 +7
n = 3 :			1				12 +8	=			20				=		5		≈ 0.00017 < 0.001 .
		44		4!						256	24 19						29184
							12 +7
Тогда				с			точностью				ε :			4 e ≈1+ 1					+	1	+	1		≈1, 284 .
																						384
																	4		32

Наименьшее число членов ряда, начиная с n = 0 , которое обеспечивает заданную точность суммы ряда, N = 4 .

Задача 9.2

Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции, используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность:

3 130 , ε =10−3 .

Решение задачи 9.2

Так как 53 является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых 130 =53 +5 . Тогда

3 130 = 3 53 +5 = 53 1+ 251 = 5(1+0.04)13 .

21