TR_1_Algebra_i_analiticheskaya_geometria

ТР: “АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”

Задача 1. Вычислить определитель.

Задача 2. Даны матрицы A и B . Найти матрицу C . Задача 3. Найти произведение матриц A B . Существует ли

произведение B A ? Почему?

Задача 4. Найти обратную матрицу для матрицы A . Сделать проверку. Задача 5. Решить матричное уравнение.

Задача 6. Найти ранг матрицы.

Задача 7. Решить систему линейных уравнений:

1)по формулам Крамера;

2)с помощью обратной матрицы;

3)методом Гаусса.

Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений.

Задача 9. Написать разложение вектора x по векторам p , q и r .

Задача 10-16. Условия приведены в задании.

ВАРИАНТ 1

−1

6

5 1

−7

4

−2 8 6 2

−4 5 1

T

1.

B = 10 −5 ,

2 16

7 3

2. A =

,

C =B −2A

2 −3 8

−3

9

3 4

3 16

1

2

−2

3

1

1 2

3 5

3 6

3. A =(1 −1 2 3), B =

4. A = 3 6 2

5.

5

−

X =

1

2

3 4

5 9

1

−

1

1

3

1 1 1 1

2x

− y−z= 4

x1 − 2x2 + 3x3 −4x4 = 0

1 2 1 2

2x1−4x2+ 5x3 +7x4 = 0

6.

3 1 3 1

7. 3x

+ 4y − 2z = 11

8.

6x1−12x2+17x3 −9x4 = 0

− 2y + 4z = 11

3x

+18x3+17x4= 0

0 1 1 0

7x1−14x2

9.

={−2 ;4;7},

={0;1;2},

={1;0;1} и

={−1;2;4

}

x

p

q

r

10. Вычислить проекцию вектора

={−3;1;3 } на направление вектора

,

AB

a

где A(7;3;−2) ; B(8;2;−2) .

11. Векторы

и

образуют угол в 30o,

=6 ,

=1. Найти длину

a

b

a

b

вектора

, если

=(7

−2

)×(2

+3

) .

p

p

a

b

a

b

12. Лежат ли точки A(5;7;−2) , B(3;1;−1) , C(9;4;−4) и D(1;5;0) в одной

плоскости?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

A(3;−4) и уравнения двух высот: 7x −2y −1=0 и 2x −7y −6 =0 .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку

M(0;−2;3) .

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M(1;−2;3)

перпендикулярно к вектору

={9;−3;−1} и пересекает прямую

a

x +1

=

y −1

=

z

.

3

1

2

x −13

y −1

z −4

16. Принадлежит ли прямая

=

=

плоскости

x +2y −4z+1=0 ?

8

2

3

ВАРИАНТ 2

5

62

−79

4

4 1 3

1 −1 3

1.

0 2

3

0

0 −1 2

C =(3A)T −B

2. A =

,

B =

2 1 0 ,

6 183

201

5

1 1

0

3

4

0

2 1 −1

−1

1

−1 1

5 −1 2 1

2 2 −1

3 −2

−1 2

2 1 0

3. A =

, B =

2 2 0 1 4. A =

2 −1 2

5. X

5 −

=

−5 6

5 7 1

−

1 2 2

4

1

1 −1 5 4

4 3

2 −1 3 −2 4

x + y +2z =−1

2x1 +3x2 − x3 −5x4 =0

4x

+6x

+2x

− x

=0

4 −2 5 1 7

2

4

6.

7. 2x − y +2z =−4

8.

1

3

2 −1 1 8 2

=−2

2x1 +3x2 −5x3 −14x4 =0

4x + y + 4z

10x1 +15x2 +3x3 −7x4 =0

9.

={6;12;−1},

={1;3;0},

={2;−1;1} и

={0;−1;2}

x

p

q

r

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам

a =i + j +2

и

k

=2i + j +

.

b

k

11. Сила

={2;−4;5}

приложена к точке A( 4;−2;3) . Определить момент

F

этой силы относительно точки B(3;2;−1) .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы a =7i −3 j +2

,

k

=3i −7 j +8

и

=i − j +

?

b

k

k

c

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B( 2;−7) , а также уравнения высоты 3x + y +11=0 и медианы x +2y +7 =0 ,

проведенных из различных вершин.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;7;−5 ) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости yOz , проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой

		x +3	=	y −1	=	z +1	.
		−1
			2		1			x + y + z −2 =0
	16. Найти угол между прямой								и плоскостью, проходящей
								2x + y −z −1=0

через точки A( 2;3;−1) , B( 1;1; 0 ) , C(0;−2;1) .

ВАРИАНТ 3

−5

6 10

6

5

−2

−9 8 8 5

−4 −1 5

T

1.

2. A = 4 3 ,

C = A

−8 5 9 5

B =

2 3

,

+B

−1

−11 7 7

4

0

2

2

0

1

−3

−1

−2 3 0 1

1

1 2

3 0

−1

, B =

3. A =

1 1 2

−1 2

4. A = −2 7 2 5.

X

=

−1

2

3 4

7 2

1

3

3

−4

2 1 4 5

3x + 2y +

z = 5

14x1 + 35x2 − 7x3 − 63x4 = 0

6.

7.

z = 1

8.

1 0 1 2

2x + 3y +

−10x1 − 25x2 + 5x3 + 45x4 = 0

1 2

4 0

+ 3z = 11

+ 65x2 −13x3 −117x4 = 0

2x + y

26x1

9.

={3;1;3 },

={2;1;0},

={1;0;1} и

={4;2;1}

x

r

p

q

10. При каком t векторы

={6;0;12 } и

={-8;13;t}

будут взаимно

a

b

перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 3

−

и

b

a

2

−

, если

=3,

=4 , угол между векторами

и

равен 150o .

b

a

a

b

a

b

12. Компланарны ли векторы

={12;14;−21},

={−9;36;8}

и

={9;−36;−8} ?

b

a

c

13. Через точку пересечения прямых 2x +5y −8 =0 и x −3y + 4 =0 провести прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;

2)параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;

4)проходит через точку (4;3) .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору a =(3; 0; 1).

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпен-

дикулярно к прямой

x +1

=

y

=

z −2

и расположенной в плоскости xOy .

2

−1

3

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения

плоскости x −3y +2z +1=0 с прямыми

x −5

=

y +1

=

z −3

и

−2

x −3

y +4

z −5

5

−1

=

=

.

4

−6

2

ВАРИАНТ 4

9

7

9

7

2 3 5

1 −2

−1

8 6 8 6

1.

2. A =

C =2A +3B

−9

−7 9 7

, B =

,

−1 2 − 4

4 3 2

−8 −6

8

6

−1 1 1

1 1

2 1 −1

3 2

−1 2

3. A = 1 0 1

, B = 1 3

4. A = 3 1 −2 5. X

=

−2

−1

−1 1

0 1

−1

1 2

1 0 1

1

3

5

−1

x

+ 2y

+ 4z = 31

2

−1 −3 4

9x1 + 21x2

−15x3 + 5x4 = 0

6.

+ 2z = 29 8.

5 1 −1 7

7. 5x + y

− 20x3 + 7x4 = 0

12x1 + 28x2

7

7

9

1

3x − y + z = 10

r

={2; 5; -3}

9.

={11; 5; -3},

={1; 0; 2},

={-1; 0; 1} и

x

p

q

10. Доказать ,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.

11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).

12. При каком значении k точки А(1; 0; 3), B(-1; 3; 4), C(1; 2; 1), и D( k ; 2; 5)

лежат в одной плоскости?

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

2x − y +3 =0 и 3x +5y +11=0 и через точку A(2; 1).

14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),

D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.

15. При каком значении λ прямые

x

+

2

=

y

−

1

=

z

x + y −z =0

и

−5z −8 =0

параллельны?

λ

−2 1

x − y

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и

пересекающей две данные прямые

x −1

=

y +3

=

z −5

и

x

=

y −2

=

z +1

.

2

5

−1

4

3

2

															ВАРИАНТ 5
		6		8	−9	−12										3	0						4	1
1.		4 6 −6 −9																,							,		C = AT −BT
													2. A =			−2 1				B =			−3 1
	−3			−4	6	8										1							2
	−2			−3	4	6											3							1
				1	2				3 2 1							2			2			3				1 3									2 11
3. A =															4. A = 1				−1 0					5.						X		=
				1 1 , B =																															2 6
				0					5 1 1								−1		2							0 2
					1																	1
	1 3 −1 2											x +5y −4z +5 = 0												x + 4x				+2x				−3x					=0
6.		2 −1 3 5							7.				−3y +z −2 = 0											1			2				3					5
												2x								8. 2x1 +9x2 +5x3 +2x4 + x5 =0
		1 10 −6 1										4x + y −3z +4 = 0										x		+3x	2	+ x			3	−2x			4	−9x				5	=0
																							1
9.			={13; 2; 7},					={5; 1; 0},							={2; -1; 3} и							={1; 0; -1}
	x						p							q						r

10. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны 60o и 90o , а длина гипотенузы равна 2. Вычислить (AB +CB ) AC.

11. Найти вектор d , зная, что он перпендикулярен векторам a ={0; -1; 2} и b ={1; 3; 3} и удовлетворяет условию d (3i − j +2k ) = 8 .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10 , и уравнение одной из его диагоналей: y = x + 2 .

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1) параллельно прямой , определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).

15. При каком значении D прямая			2x − y +3z +D =0		проходит через	начало
				+3y −z =0
координат?			x
16. Найти точку , симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой
2x −2y +z −3 = 0		.
	= 0
2x + y −2z +3

											ВАРИАНТ 6
		2	−5	1		2					2 −4
		−3 7 −1 4										4 0 1
																								T
1.									2. A =		3 7 ,
		5	−9 2 7									B =				,			C =2A −B
												6 1 −3
		4	−6	1		2					6 −1
			2	0										1	2	−3
									−2 3 0 1
			1 −1
3. A =												4. A =		0 1 2
			−1 2			, B =
									1 1 2 −1					1	0	4
			1	3
		−1		2			−1		2
5.		X				=
			3	−5				11	−19
	1 1 −1 2								x −2y +4z = 3				3x		+ 4x				+3x			+2x					=0
														1			2			3		+3x			4
6.		2 −										8.		5x +7x			2		+ 4x	3			4			=0
			1 1 5					7. 2x −4y +3z =1						4x	1												=0
																+5x		2	+5x		3	+3x		4
														1
		1 10 −6 1							3x −y		+5z = 2			5x	+6x			2	+7x		3	+ 4x		4			=0
														1

9. x ={2; 7; 5}, p ={1; 0; 1}, q ={1; -2; 0} и r ={0; 3; 1}

10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное

произведение векторов 3AB −2BC и CB +BA.

11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).

12. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы a =i − j +k ,

b =i + j +k и c =2i +3 j + 4k ?

13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.

15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t , y = 3t, z = 2-t.

16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0), и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.

																			ВАРИАНТ 7
		−3				9	3	6										3 1 0					0 −1 3
1.		−5 8 2 7																						2 −1 4					C			=(2B)T + A
														2. A =			−2 −1 4 ,				B =							,
			4 −5 −3 −2														7		2					4	6	2
			7			−8 −4		−5												1
															−1		3		0						4		−8		−5
					5 −1 3 1
														−2 1 1
3. A =																						4. A = −4 7 −1
												, B =
						2 0	−	1 4							3 0 −2										−3			5
															4		1		2												1
		−3 1							−8 −5
5.							X
								=
		2				−1			5					3
	3 −1 3 2 5														2x −y +z = 2										x		+3x		2		+2x		3		=0
			5		−3 2 3 4																					1
6.														7.										8.		2x1− x2 +3x3 =0
			1 −3 −5 0 −7												3x +2y +2z = −2										3x			−5x		2		+ 4x		3	=0
			7		−5 1 4 1													x −2y +z =1								1						+ 4x			=0
																									x		+17x			2				3
																										1
9.				={-9; 5; 5},						={4; 1; 1},								={2; 0; -3} и					={-1; 2; 1}
			x						p							q					r

10. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0) и С(3; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине В.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение: i ×( j +k ) − j ×(i +k ) +k ×(i + j +k ) .

12. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах

a = p −3q +r , b = 2p +q −3r , c = p +2q +r , где p,q и r - взаимно

перпендикулярные орты.

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и

x – 2y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти уравнение сторон CD и AD.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1) параллельно векторам a =(−3;2;−1) и b =(1;2;3) .

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 3; 2) на плоскость 2x – y + z + 3 = 0.

									ВАРИАНТ 8
	2	−5		4	3				3 −4 2			−2	4
	3 −4 7 5
															T
1.											B =	6 6 ,
								2. A =		,				C = A −B
	4	−9 8			5				7 5 1			−3
	−3		2	−5	3								1
			1						1	2	1			2 −3 7 −12
3. A =			2 , B =(3 2 1)					4. A = 4 3 −2
												5. X			=	−4 7
										−4				−1 2
			3						−5		−1

0		−3	3	−3
	1	1	0	3
6.
	−2	2	−4
				−2

x +3y + 4z =6 7. 2x − y −z =1x +2y +3z =5

x		−2x		2	+ x		3		+ x		4	− x		5	=0
	1				− x			− x
2x + x			2			3				4	+ x		5	=0
8.		1															=0
x		+7x		2	−5x			3	−5x			4	+5x			5
	1

3x1 − x2 −2x3 + x4 − x5 =0

9. x ={-5; -5; 5}, p ={-2; 0; 1}, q ={1; 3; -1} и r ={0; 4; 1}

10. Найти координаты вектора p , коллинеарного вектору q ={3; -4; 0}, если известно, что вектор p образует с осью Ox тупой угол и p =10.

11. a ={3; 1; -1}, b ={-2; 1; 4}. Вычислить b ×(a −2i ).

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2).

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y – 15 = 0 и через точку N(1; -2).

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 5; 3) параллельно

плоскости x + 2y - 3z + 2= 0 .

15. При каком значении λ прямые

x

=

y −1

=

z

и

3x + y −5z +1 = 0

1

3

перпендикулярны?

λ

2x +3y −8z +3 = 0

y − 2

y − 2

16. Проверить, что прямые

x

=

=

z +1

и

x + 3

=

=

z

0

1

2

3

1

−1

пересекаются.

Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.

ВАРИАНТ 9

3

−5

2

−4

7

−

4

−

1 4

1.

−3 4 −5 3

0

−

3

−

1 2

,

C =3B −2A

2. A =

,

B =

−5

7

−7

5

1

2

6

3

8

−8

5

−6

1 5

3

1

1

1

1 2 3 4

6 8 2

3

−2

4

−5

4.

A =

2

−3 1

3. A=

, B =

5.

X=

2 1

−1 1

−2 3

−2 3

1 2 −1

4

1

−5

3 0

1

1 2 3

4

5

x

+ y

+ z −3

=0

x

+ x

−3x

− x

=0

2 3 1

−1 −1

1

2

4

5

x1− x2 +2x3 − x4 =0

6.

1 3 8 13 16

7. 2x +3y −z =0 8.

4x

−

2x

2

+

6x

3

+

3x

4

−4x

5

=

0

1 0 −7

−14 −17

x − y

+3z −7 =0

1

+

−

+

−

=

4x

2x

4x

7x

0

2x

2

3

4

5

1

9.

={13; 2; 7},

={5; 1; 0},

={2; -1; 3} и

x

p

q

r

={1; 0; -1}

10. По координатам вершин треугольника АВС A(1; 1; -1), B(2; 4; -1) и

C(8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или

тупоугольным.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

(a +

+c) ×c +(a +

+c) ×

+(

−c) ×a .

b

b

b

b

12. При каком m векторы

,

= j +i +(m +1)

=i + j +mk

b

k

и c = i

− j + mk

a

компланарны?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение высоты BM: x + 2y = 4 , уравнение высоты АМ: 4x + y = 6, где М - точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС и ВС.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 3; -1) и В (1; 5; 3) перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z + 15 = 0 .

15. Через точку М(2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой

x −y +2z −1 = 03x +2y −z +2 = 0 .

16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку М(3; -2; -4) параллельно плоскости 3x – 2y – 3z – 7=0 и пересекает прямую x −3 2 = y−+24 = z 2−1.

																	ВАРИАНТ 10
	7				6	3	7										−3
	3 5 7 2													6 1						7 3 1										T					T
1.										2.
	5 4 3 5													A =			,	B =					,		C = A							+B
														2	−1 0					−5 1 4
	5				6	5	4
						3 2 1								1 2			2		−1		0				2 3											0 9
										B =				1 1	4. A = 5 3					−6
3. A =									,														5. X							−3				=
						5 1 1																			1											3 0
														0 1			−1		−2 3
	2				−1 3 −2 4									2x −4y +9z =28									x	+2x		2			+ 4x			3			−3x		4			=0
																							1												−					=0
6.			4		−2 5 1 7										7x +3y −6z =−1								3x	+5x			2			+6x			3			4x		4
														7.								8.	1																	=0
																							4x	+	5x			2		−2x				3	+3x				4
			2		−1 1 8 2										7x +9y −9z =5								1
																						3x1 +8x2 +24x3 −19x4 =0
9.				={-19; -1; 7},								={0; 1; 1},					={-2; 0; 1} и					={3; 1; 0}
		x									p					q				r
10. Проверить будет ли треугольник АВС (A(1; 2; 3),																							B(7; 10; 3),								C(-1; 3; 1))
		прямоугольным?
11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

(2a +b ) ×(c −a ) +(b +c )×(a +b ) .

12. Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках A(2; 2; 2), B(4; 3;3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

13. Дано уравнение 3x + 4y – 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD,

уравнение x + 12y - 12 = 0 диагонали АС и середина Е(−2;136 ) стороны ВС.

Найти уравнения сторон ВС, СD и AD.

14. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 5) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y - 2z + 1 = 0 и x + y + z –5 = 0 .

15. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую x 4−5 = y 3−2 = z−+21 .

16. При каком значении λ плоскость 5x – 3y + λ z + 1 = 0 будет параллельна

x −4z −1	= 0	?
прямой	= 0
y −3z +2

ВАРИАНТ 11

3

−3

−5

8

− 2 1 −5

5

1

−3 2 4 −6

T

1.

2. A =

B =

3 0 ,

2

−5

−7 5

,

C =2B − A

4 3 −2

−

4

−4

3

5

−6

−2

3

4

1

2

2

3 2 1 2

−2 2

−2

−10

2 1

4. A = 2 1 −2

5.

3. A =

, B =

−1 3

X =

1

−7

4 1 1 3

1 1

−2

2

2

1

3

3 2

−1 −3

x

+y +z −3 = 0

2x

−4x

+5x

+

3x

=0

6.

2

−1 3 0

7.

+y −2z −1= 0 8.

1

2

3

4

2x

3x1 −6x2 + 4x3 +2x4 =0

4 5

−5 −6

x +y −3z +1= 0

4x

−8x

2

+17x

3

+11x

4

=0

1

9.

={3; -3; 4},

={1; 0; 2},

x

p

q

={0; 1; 1} и r

={2; -1; 4}

10. Найти работу силы f

={4; -1; 1} на перемещении

s

={5; 3; -2}.

11. Вычислить координаты вектора

, перпендикулярного векторам

c

= 2 j −

и

= −i +2 j −3

и образующего тупой угол с осью Oy , если

k

b

k

a

= 7 .

c

12. Доказать, что точки A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) лежат в

одной плоскости.

13. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: AB: 3x + 4y - 12 = 0,

AD: 5x - 12y - 6 = 0 и середина Е(-2; 1) стороны BC. Найти уравнения двух

других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M 1 (1; 2; 0),

M 2 (2; 1; 1),

M 3 (3; 0; 1).

15. Через точку А(0; -2; 1) провести прямую так, чтобы она пересекала две

данные прямые

x +1

=

y −1

=

z

и

x

=

y +2

=

z

−1

3

2

1

−1

1

16. Найти расстояние от точки А(2; 3; -1)

до прямой

2x −2y +z +

3 = 0

.

+2z +17 = 0

3x −2y

ВАРИАНТ 12

3

2

2

2

−4 2 −1

0 −2 1

1.

9 −8 5 10

, C

=(2A)T −B

2. A =

−1 0 −2 ,

B =

5 1 3

5

−8

5

8

3 1 0

2 0

6

−5

4

7

−1

3 1 1

1 1

−1

2 1 1

3 4 5 6

3. A = 2 1 2 , B = 2 −1 1

4. A =

0 2 1

5. X

1 2

=

1 0 1

11 16

1 2 3

3 1 2

1 3 5 −1

2x

+2y +2z = 6

3x

+5x

+2x

=0

2

−1

−3 4

1

2

3

4x1+7x2 +5x3 =0

6.

5 1

−1 7

7.

x

+2y +3z =1

8.

x

+ x

2

−4x

3

=0

1

7 7 9 1

x +3y +6z

= 2

2x

+9x

2

+6x

3

=0

1

9.

={8; 0; 5},

={2; 0; 1},

x

p

q

={1; 1; 0} и r

={4; 1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов

= 2

−

и q = 2

+

, если

b

b

p

a

a

= −i +3 j −7

и

= 2i − j +5

.

k

b

k

a

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах (a +3b ) и (3a +b ) , если a = b =1, а угол между векторамиa и b равен 30o .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы a = 2i + j −3k ,

b = i −4 j +k , c = 3i −2 j +2k ?

13. Даны вершины треугольника А(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2). Составить уравнение высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС.

14. Плоскость проходит через ось Oz и составляет с плоскостью

	2x + y -	5 z = 0 угол	π	. Найти её уравнение.
			3		4x +z −1= 0		3x +y −z +4 =		0
	15. Пересекаются или нет прямые					и				?
								y +2z −8 = 0
					x −2y +3 = 0

16. Найти проекцию точки М(0; 1; 2) на прямую x2−1 = y1 = z0+1 .

ВАРИАНТ 13

1

2

−1

1

−4

3

−7 1

−2

2 −1 0 1

T

1.

2. A =

2 1 , B =

−1 1

−2 2

1 3 2

, C = 3A +B

0

1

4

1

1

1

2

0

1

2

0

1 −4

−1 0

−3 2

3. A = (5 1 0 −3), B =

5.

4. A =

4 5 1

X =

3 1

3 −

3

1

2 3

1

0

1

−1

4

3

−5 2

3

8 6

−7 4 2

2x

−4y +z =3

2x1 − x2 +5x3 +7x4 = 0

6.

4 3

−8 2 7

7.

−5y +3z = −1

x

8. 4x1 −2x2 +7x3 +5x4 = 0

4 3 1 2 −5

x

−y +z =1

2x1 − x2 + x3 −5x4 = 0

8

6

−1 4 −6

9.

={3; 1; 8},

={0; 1; 3},

={2; 0; -1}

x

p

q

={1; 2; -1} и r

10. Найти угол между векторами

+

и

−

, если

=3i − j +2

и

b

b

k

a

a

a

= i + j −

.

b

k

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

={2; -1; 5} и

= {2; 3; 6} как на сторонах.

b

a

12. Проверить, компланарны ли векторы

= 2i + j −3

,

=i −4 j +

,

k

b

k

a

=3i −2 j +2

.

k

c

13. Найти проекцию точки М(1; 1) на прямую

x −2

=

y +1,5

.

1

−2

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oy и проходящей через точки А(-1; 2; 1) и В(3; 0; 2).

15. Проверить, пересекаются ли прямые x2−1 = y 1−7 = z −4 5 и

x 3− 6 = y−+21 = z1 .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x2−1 = y3 = z−+14 , перпендикулярно плоскости 3x + y – 2z + 5 = 0.

														ВАРИАНТ 14
	1				−1	2		1				−2 3 4
		3 4 −1 0																			7 1 0
1.
	2 1 3 1										2. A =					,	B =				, C=2A-3B
												−1 2			−5						−3 2 1
	−5				0	1		−2
					2 1 1						3 1				3	−4	5				5 4			8 6
								, B =			2 1		4. A =		2 −3 1
3. A =																					5. X		=
					3 0 1											−5					3 2			−1 −2
											1 0				3			−1
	3				1	1	4				x −y +z = 6					3x1 +2x2 + x3 +3x4 +5x5 = 0
6.			0 4 10 1							7.		+z = 3								+4x2 +3x3 +5x4 +7x5 = 0
			1		7 17		3				2x +y					8. 6x1
																				+6x2 +5x3 +7x4 +9x5 = 0
			2		2	4	3				x +y +2z = 5					9x1
9.				={8; 1; 12},						={1; 2; -1},				={3; 0; 2} и
		x							p				q				r		={-1; 1; 1}

10. Даны векторы a = mi +3 j +4k и b = 4i +mj −7k . При каком m векторы

a и b перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2; 2; 2), B(4; 0; 3) и C(0; 1; 0).

12. Проверить будут ли компланарны векторы a = (1;6;5) , b = (3;−2;4) и c = (7;−18;2) ?

13. Найти точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой x1−1 = y −+11,5 .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и точку

M(2; -1; 3).

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; 2), B(-2; 3; -1), C(3; -2; 4). Составить уравнение медианы из вершины В на сторону АС.

16. Через прямую x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t – 2 провести плоскость параллельную прямой −x1 = y 3−2 = z2+1 .

																ВАРИАНТ 15
		−1				3	1	2						−2			1					7					1
1.		−5 8 2						7							5 −7				B	=									,			C =2AT −BT
												2. A =						,				−2 −1
			3		−2		−2	0						4			3					3			0
			1			0	−1	1
					1 2 3								1 1 1 1															4 −8										−5
																							4. A =						−4 7
3. A =						−2 3 1			, B =				2 3 −2 3																									−1
													−2 −
						4 2 4								1 5 −2															−3 5 1
		2			1			2		5
5.
						X =
		4			3			6		9
	2				−4 3 −3 5								2x + y +z =6										5x +					6x					−2x					+7x					+ 4x			=0
6.			1		−2 1 5 3																				1					2						3					4				5
													7. x −y +z =5							8.					2x1 +3x2 − x3 + 4x4 +2x5 =0
			1		−2 4 −34 0								x + y +2z =4												5x +9x						2		−3x				3	+ x		4			+6x	5		=0
																									1
9.				={-9; -8; -3},							={1; 4; 1},					={-3; 2; 0} и
			x							p					q							r		={1; -1; 2}
10. Найти скалярное произведение векторов																						=					−2		и						= 2				+			, если
																												b												b
																					p					a								q				a

a = 2i −5 j −7k , b = 5i +2 j −5k .

11. Найти вектор c , зная, что он перпендикулярен векторам a =(2;3;−1) и

b =(1;−2;3) и удовлетворяет условию c (2i − j +k ) = −6 .

12. Заданы точки А(1; 2; -2), B(3; 2; -1) , C(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найти объем тетраэдра АBCD.

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а также уравнения высоты x – 2y + 1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0, проведенных из одной вершины.

14. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание М(1; 2; 4). Найти уравнение плоскости.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; -5; 3) и

образует с осями координат углы, соответственно равные 600 , 450 , 1200 . 16. Найдите точку В, симметричную точке А(2; 0; 1) относительно прямой

x3+1 = −y1 = z2−1 .

																						ВАРИАНТ 16
	1				2	3	4										4 −3 2									6 1 −2
1.	2 2 1 4																	1 0 3								4 3 2						C = A E +BT
													2. A =											,	B =						,
	3				1	3	3											9 7		−3						−8 −3 2
	4				4	3	4
																			1	1						2 7		3
					1 1 1 1														−3 5														2			−1						−14 9
																								4. A =		3 9 4 5. X
3. A =													, B =						3	−5																			=
					1 2 1 −2																					1 5		3					−5 3									1 −1
																			−1	1
	2					3	1						−1				x + y +z −1=0											3x +			4x		+ x				+2x					+3x		=0
																																2			3						4		5
6.			3 1 4 2																							8.				1
																	7. x +2y +3z −2 =0											5x1 +7x2 + x3 +3x4 + 4x5 =0
			1			2	3						−1																				+2x3 + x4									+5x5 =0
			1		−4		−7										x +3y +6z −1=0											4x1 +5x2
													5
9.				={-5; 9; -13},													={0; 1; -2},												={4; 1; 0}
		x													p						q		={3; -1; 1} и r
10. Векторы													и			образуют угол								π	. Найти длину вектора											−2				, если
														b																								b
												a																						a
																								3
					=2 ,						=1.
			a					b

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах (a +3b ) и (3a +b ) , если a = b =1, а угол между векторами a и b равен 30o .

12. Компланарны ли векторы a ={3;7;2}, b ={−2;0;−1}, c ={2;2;1} ?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x – 4y + 5 = 0, уравнение высоты АМ: x + 2y – 10 = 0 и высоты BN: 2x – 3y + 4 = 0. Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 1 = 0 и x + 5y – z +2 = 0 провести плоскость, проходящую через точку M(1; 1; 1).

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 0; 3) на прямую x3+1 = y2−1 = z1 .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x1−1 = y 2+1 = z +2 2 и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y – z = 4.

ВАРИАНТ 17

4

3

−1

2

3

−1

−2 1 0

2 1 2 −1

T

1.

2. A =

6 8 , B =

,

C = A −

3 1

−1 1

−7 1

2B

−2

−2

1

2

1

2

3

2 1 1

2

1 2 3

1

−3

7

−4

3. A =

1 2 1

, B =

−1

4. A = 2 3 4

5.

X =

−6 2

1

−1 2

1 1 2

1 4 3

3 1 1 4

x −2z −4 = 0

3x +

4x

−5x

+7x

=0

1

2

3

4

6.

2 4 10 1

7.

8.

2x1−3x2 +3x3 −2x4 =0

1 7 17 3

2y +z −3 = 0

4x +11x

2

−13x

3

+16x

4

=0

x −z = 6

1

2 2 4 3

7x −2x

2

+ x

3

+3x

4

=

0

p

={3; 1; 0}, q ={-1; 2; 1}

1

9.

={3; 3; -1},

={-1; 0; 2}

x

и r

10. Найти при каком t

векторы

=

+ t

b

и

=

− t

b

будут

p

a

q

a

взаимно перпендикулярны, если

= 6i

+ 2j − 3k ,

b

= 3i

− 4k .

a

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = {2;−1;5} и b = {2;3;6} как на сторонах.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3).

13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом 45o

к прямой x – 2y + 3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям: 2x – y + 5z + 3 = 0 и x + 3y – z – 7 = 0.

15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями (x1,y1,0) и (x2,0,z2 ) . Вычислить координаты точки пересечения этой же

прямой с третьей координатной плоскостью.

16. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(1; 0; -1) на прямую x 1+1 = y 2−1 = −z3 .

									ВАРИАНТ 18
	1	1	3	2				4	1 −3				−7 8 1
1.	2	−3 1 2						2	0 5		,			, C= 3A − B
							2. A =					B =	0 3 0
	2	2	4	4				0	−4 3
	−1	1	5	3									−2 1 1
		3	1				2 1 1		3		2	1		6 1 −2		−3
3. A = 2 1									4. A = 1 −2 1
				, B =									5. X		=	−6
							3 0 1				2			−4 −2 −28
		1	0						2			3

1		2	3
	2	−3	1
6.	1	9	8
	1	−12	−7

−2
−4
−2		7. −
−2

2x −y + z =4 x +3y −2z =−3 3x +2y −z =3

	x −2x		2		+ x		3		− x			4	+ x	5			=0
	1																	=0
	2x + x	2		− x		3		+2x		4			−3x		5
8.	1																	=0
	3x −2x			2	− x			3	+ x		4		−2x			5
	1
					+ x3				−2x4 +2x5 =0
2x1 −5x2

9. x ={2; -1; 11}, p ={1; 1; 0}, q ={0; 1; -2} и r ={1; 0; 3}

10. Заданы точки A(-2; 4; 0), B(1; 3; -5), C(0; -1; 1) и вектор a = 3i +10 j −5k .

Вычислить скалярное произведение векторов 2AB −3AC и a +2AC . 11. Найти орт e , перпендикулярный векторам a = {1;−1;0} и b = {2;1;−1} . 12. Заданы векторы a = {−3;3;3} , b = {2;1;1} и c = {19;11;17} . Какую тройку

(левую или правую) образуют векторы a , b и с ?

13. Даны две вершины треугольника А(5; -2) и B(-4; 1); его высоты пересекаются в точке N(3; 2). Найти координаты третьей вершины С.

14. Через точку M(-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось x , другая - ось y . Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

3y +2 = 0

15. Указать особенность в расположении прямой

x −3y +2z +1= 0

16. Найти точку В, симметричную точке А(1; 2; 0) относительно плоскости

2x – 3y + 5z = 5.