Лекция 22. Методы интегрирования
.docЛекция 22. Методы интегрирования.
22.1. Метод замены переменных.
Основную роль в интегральном исчислении играет метод замены переменной (или метод подстановки):
. (22.1)
Предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения t, а – непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси x.
Докажем (22.1):
.
Следовательно, если ввести подстановку , то получится первообразная от функции . Две первообразные отличаются на некоторую постоянную C. (22.1) доказана. ■
Формулу (22.1) перепишем в удобном виде:
. (22.1а)
Пример 22.1.
1) .
2)
.
3) а) .
б) .
в)
(доказательство формулы 8 таблицы интегралов лекции 21).
г)
(доказательство формулы 12 таблицы интегралов лекции 21).
4) а) При .
б) При , ,
.
в) При , ,
. (22.2)
г) .
д) При
,
где последний интеграл вычисляется по (22.2).
Пример 22.2. Вычислить заменой переменных интегралы
1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,
6) , 7) , 8) , 9) ,
10) , 11) , 12) , 13) .
22.2. Метод интегрирования по частям.
♦ Теорема 22.1 (формула интегрирования по частям). Пусть и – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда
. (22.3)
Доказательство. Имеем , следовательно и после интегрирования получаем: . Окончательно:
.
Постоянную C обычно опускают, так как в правой части формулы интегрирования по частям стоит неопределённый интеграл. ■
Интеграл может оказаться более простым, чем . Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на 3 группы:
1) , , , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо за принять (обратную тригонометрическую функцию или логарифм) и положить .
2) , , , где – многочлен степени m. При вычислении интегралов этой группы, необходимо принять , . Необходимо применить интегрирование по частям m раз.
3) , . Здесь необходимо применить двукратное интегрирование по частям, после чего искомый интеграл выражается сам через себя и находится из получающегося линейного уравнения 1‑го порядка.
Пример 22.3. 1) .
2) .
3)
,
откуда .
Пример 22.4. 1)
.
2) , – алгебраический многочлен. Применяем n-кратное интегрирование по частям. Так как характер первообразной легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять методом неопределённых коэффициентов.
Например, для первообразная имеет вид:
, где .
Коэффициенты находим из условия
.
3) ; ,
, .
Пример 22.5. 1)
.
Здесь можно было поступить наоборот и принять . Далее имеем:
,
, ,
.
2) Тем же самым способом можно получить, что
,
а можно найти по связи с .
22.3. Некоторые рекуррентные1 формулы.
1) Метод интегрирования по частям для интеграла , , приводит к рекуррентному выражению , где
,
и окончательно:
,
.
Используя это выражение, можем понизить индекс на единицу, двойку и т.д., что приводит к цепочке формул:
,
, ,
приводящей к .
Пример 22.6. 1)
.
2) Рассмотрим также интеграл :
,
то есть
.
Применяя тот же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в знаменателе подынтегральной дроби, придём к .
Таким образом, при и интеграл берётся в элементарных функциях.
1 От лат. recurrens – возвращающийся.