функциональные последовательности
.docxФункциональные последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Множество называется областью определения последовательности .
Определение. сходится в точке , если числовая последовательность сходится. Множество всех точек в которых сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности .
- область сходимости . Пусть - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве . Эта функция называется предельной функцией последовательности .
Замечание. Точечная сходимость на некотором множестве не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
Теорема. сходится равномерно на тогда и только тогда, когда .
Доказательство. () сходится равномерно на функция определенная на такая что на .
Фиксируется . для .
.
() Имеем: .
Критерий Коши выполнени (фиксированного). фиксированного числовая последовательность сходится в фиксированному числу. функциональная последовательность сходится к некоторой функции на . Докажем на .
Имеем по условию: . Для любого фиксированного переходим в неравенстве к . функциональная последовательность на .