Признак Даламбера

Признак Даламбера.

Теорема 7: Пусть дан ряд

с положительными членами и существует предел

. Тогда а) при

ряд сходится; b) при

ряд расходится.

Доказательство.

a) Пусть

и . Докажем, что ряд

сходится. По определению предела числовой последовательности для любого

существует номер N такой, что при

выполняется неравенство

. Отсюда следует, что

.

(8)

Т.к. , то

можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство

. Полагая , на

основании правого из неравенств (8) имеем

, или для n=N,

N+1, N+2, . Придавая n эти значения, из последнего неравенства

получаем

т.е. члены ряда (9)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической

прогрессии:

(10)

Т.к. , то ряд (10)

сходится. Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9)

получен из данного ряда

в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по

теореме 1 ряд

сходится.

b) Пусть теперь.

Докажем, что ряд

расходится. Возьмем

настолько малым, чтобы

. Тогда при в силу

левого из неравенств (8) выполняется неравенство

или . Таким образом,

члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их

номеров, т.е. общий член ряда

не стремится к нулю при

. Следовательно, согласно теореме 4, ряд

расходится.

Замечание. При ряд

может, как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное

исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример: Ряд сходится, так как

Пример: Ряд расходится, так как