Лекция2
.docЛекция 2. Основные уравнения математической физики и постановка начально-краевых задач.
Рассмотрение математических моделей различных физических процессов приводит дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка:
.
В этой лекции мы рассмотрим различные математические модели, приводящие к уравнениям такого типа.
1. Уравнение колебаний. Различные задачи о колебаниях струн, стержней, мембран и трёхмерных объёмов, а также электромагнитных колебаниях приводят к уравнению колебаний вида
, (1)
где неизвестная функция зависит от пространственных переменных координат и времени , коэффициенты и определяются свойствами среды, а выражает интенсивность внешнего возбуждения. Используя определение операторов и , получим
.
Так в частности уравнение малых поперечных колебаний струны имеет вид
,
где обозначает линейную плотность струны, - сила натяжения нити, в рассматриваемом приближении постоянная величина приближении, а величина отклонения струны от положения равновесия. Если и плотность постоянна, то уравнение колебаний струны принимает вид
, ,
которое носит название одномерного волнового уравнения. Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний струны необходимо дополнительно задать величины смещения и скорости струны в начальный момент времени (начальные условия) и условия на концах струны, например: закреплённый конец струны, свободный конец струны.
Уравнения вида (1) также описывает малые продольные колебания упругого стержня
площадь поперечного сечения стержня, а - модуль Юнга в точке.
Уравнение малых поперечных колебаний мембраны
Трёхмерное волновое уравнение
описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной не проводящей среде. В качестве может выступать плотность газа, его давление либо потенциал скоростей, а в случае электромагнитных колебаний напряжённости электрического и магнитных полей, либо соответствующие им потенциалы.
2. Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описывается следующим общим уравнение диффузии
Если среда изотропная и однородная, то процесс распространения тепла описывается уравнением теплопроводности
Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры (начальное условие) и условие на границе , которое может иметь следующий вид
а) , если на границе поддерживается заданное распределение температуры
б) , если на поддерживается заданный поток тепла
в) , если на происходит теплообмен согласно закону Ньютона.
3. В стационарном случае, когда , то есть, нет зависимости от времени и , , уравнение колебаний и диффузии принимает вид
.
Отметим некоторые важные частные случаи.
Уравнение Пуассона
Уравнение Лапласа
Уравнение Гельмгольца
4. Постановка граничных условий
Мы в нашем курсе будем рассматривать следующие задачи с условиями на границе вида
Причём будем различать следующие случаи:
Условия Дирихле (граничное условие первого рода):
Условия Немана (граничное условие второго рода):
Если же граничное условие не является условием Дирихле и Немана, то будем говорить, что задано условие третьего рода.
Если , то мы будем говорить, что заданы однородные граничные условия.
5. Классификация уравнений второго порядка, линейного относительно старших производны (случай двух независимых переменных).
Рассмотрим уравнение
(2)
Определение. Если в точке выражение , то уравнение (2) называется уравнением гиперболического типа в точке , если , то уравнение (2) называется уравнением эллиптического типа, если же , то уравнение (2) называется уравнение параболического типа.
Замечание. Заметим, что эта классификация инвариантна относительно невырожденной замены переменной
, .