46. Корреляционная функция. Корреляционный анализ случайных сигналов.

Автокорреляционная функция сигнала.

Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещенной во времени копии u(t-r) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u(t), равную скалярному произведению сигнала и копии:

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.15) заведомо существует.

Непосредственно видно, что при r=0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:

Действительно, если в интеграле (3.15) сделать замену переменных x=t-r, то

Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига r модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши — Буняковского (см. гл. 1):

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала u(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.