23
ˆ+		ˆ
1	=1;
Iˆ+ (x)			= Iˆ (x);
ˆ+			ˆ	(2.88)
				(x);
Tε		(x)=T−ε
Ω		(x)= Ω(x).
ˆ +			ˆ

В заключение снова вернемся к представлению операторов. Как было показано в §3, в пространстве с базисом, оператор задается в виде бесконечной матрицы (непрерывной для непрерывного базиса и обычной – для дискретного), а его действие на представители кет-векторов (столб-

цы) сводится к матричному умножению матрицы на столбец. Эрмитово сопряжение оператора ˆ

L

означает, что оператор действует на бра-векторы, т.е. перемножается строка (представители бра-

ˆ

векторов) на эрмитово сопряженную матрицу оператора L , что в результате снова дает строку – представитель бра-вектора La , сопряженный кет-вектору La . Это видно, если взять комплексное сопряжение от обеих частей равенства (2.63)

		∞	ˆ		*		*
		∫				x ' a		dx ' = x La
			x L x '
		−∞
	Учитывая (1.8) и (2.85), получаем
		∞				ˆ+
		∫	a x '						La x .		(2.89)
				x ' L x dx ' =
	ˆ+	−∞
		действует на кет-вектор, т.e. перемножается матрица оператора на стол-
	Если оператор L
	бец	∞
			ˆ+
		∫		x '		x ' a dx ' =			+	,	(2.90)
			x L						x L a
		−∞
	то получается новый столбец, прямо не связанный с кет-вектором										La .

Упражнения 2

ˆ ( )

1. Расписать операторы L x

а) (xˆ +∂ˆ x )2 ;

		∂ˆ x +	ˆ	3
	б)		1	.
			x		ˆ
	Решение. a) Определить оператор
					L(x) – это значит показать, как он действует на любые

функции Ψ(x) . Учитывая определения (2.14) и (2.15) алгебры операторов, получаем

ˆ

+∂ˆ

x )

2

Ψ

(x)

=

ˆ

+∂ˆ

(x

Ψ + Ψ′

)

=

x

2Ψ + Ψ +

Ψ′+Ψ′′

(x

(x

x )

2x

Таким образом, оператор

ˆ

=

ˆ

+∂ˆ

x )

2

=

x

2

+

2x

∂ˆ

x

+∂ˆ 2

+ˆ

L (x)

(x

x

1 .

2.Доказать линейность операторов (2.4) - (2.9).

Решение. Докажем линейность, например, оператора инверсии Iˆ(x). Линейная комбина-

ция функций ∑Ck Ψk (x)= f (x) является функцией. Поэтому

k

Iˆ(x) f (x)= f (−x)= ∑k Ck Ψk (−x), т.е. Iˆ(x) ∑k Ck Ψk (x) = ∑k Ck Iˆ (x)Ψk (x)

и выполняется условие линейности (2.12).

24

3.

Доказать свойства (2.21), (2.22), (2.24) для коммутаторов.

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

= λ ˆ

ˆ ˆ

= ˆ

4.

Найти коммутатор операторов b

и c , если [c, a]

a ; a,b

c .

Указание: воспользоваться равенством (2.24)

ˆ

ˆ

Ответ: b, cˆ

= λb +γaˆ , где γ - любое число.

5.

Пусть коммутаторы операторов

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(εijk – полностью ан-

Li (i = 1,2,3) равны

Li

, Lj

= i εijk Lk

тисимметричный тензор Леви-Чивиты, по повторяющимся индексам идет суммирование).

Показать,

что оператор

ˆ2

ˆ2

,

коммутирует с любым оператором

ˆ

L

= Lk

Li . (Воспользоваться

равенством (2.23) и свойством εijk = −εijk ).

6.

Записать в явном виде оператор sin (a∂ˆ x ).

∞

(−1)k

2k +1

∑

x

Указание: sin(x) =

k =0 (2k

+1)!

.

7.

Выразить оператор трансляции

ˆ

(2.8) через дифференциальный оператор.

Tε (x)

Решение. По определению оператора

ˆ

Tε (x) (2.8)

ˆ ( )Ψ( )= Ψ( +ε)

Tε x x x .

Правую часть этого равенства разложим в ряд Тейлора по ε в окрестности точки x.

Ψ(x +ε)= ∑∞ 1 Ψ(n) (x)εn .

n=0 n!

Производную n-порядка можно представить как результат действия оператора (∂ˆ x )n на

ˆ

∞

ε

n

d

n

∞

1

ˆ

n

ˆ

ε∂ˆ x

функцию Ψ(x). Тогда Tε (x)Ψ(x)= ∑

n! dx

n

Ψ(x)=∑

n!

(ε∂x )

Ψ(x), т.е. Tε (x)= e .

n=0

n=0

8. Пусть ˆ - неособенный оператор. Предполагая λ малой величиной, найти оператор

A

(ˆ −λ ˆ )−1

A B .

ˆ

ˆ

−1

∞

n ˆ n

.

Решение. Представим искомый оператор в виде (A −

λB)

= ∑λ C

n=0

ˆ

ˆ

слева. Тогда

Подействуем на обе части этого равенства оператором (A

−λB)

ˆ

ˆ

ˆ ∞

n ˆ

∞

n ˆ ˆ

∞

n+1 ˆ ˆ

ˆ ˆ

∞

n+1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

1

= (A −λB)∑λ Cn

= ∑λ

ACn

−∑λ

BCn

= AC0

+∑λ

( ACn+1

− BCn ) .

n=0

n=0

n=0

n=0

Приравняем члены при одинаковых степенях λ.

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ −1

ˆ

ˆ −1

ˆ ˆ

AC0

=1; ACn+1

− BCn

= 0 , т.е. C0

= A

; Cn+1

= A BCn .

ˆ

ˆ

−1

ˆ −1

ˆ

−1 ˆ ˆ −1

+λ

2

ˆ −1 ˆ

ˆ −1

ˆ ˆ −1

ˆ −1

∞

n

ˆ ˆ −1

)

n

.

Таким образом, (A

−λB)

= A

+λA

BA

A BA BA

+…= A

∑λ

(BA

n=0

9. Исходя из равенства (2.85), доказать свойства эрмитова сопряжения (2.77) – (2.79), (2.81).

ˆ ˆ

Решение. Докажем, например, свойство (2.78). По (2.85) для произведения операторов LM

25

ˆ ˆ

+

b

=

ˆ ˆ

*

ˆ

*

=

ˆ+

=

a (LM )

b LM a

= b L Ma

Ma L b

=

ˆ+

=

ˆ+

*

=

ˆ

+ ˆ+

=

ˆ + ˆ+

Ma L b

L b M a

a M L b

a M L b .

Так как кет – векторы

a

и b

ˆ ˆ

+

ˆ + ˆ+

– любые, то (LM )

= M L .

10.Найти операторы эрмитово сопряженные для

а) операторов (2.4) – (2.9),

б) оператора i ∂∂x ,

в) оператора Лапласа =

∂2

+

∂2

+

∂2

.

∂x2

∂y2

∂z2

Решение. а) найдем, например,

ˆ +

ˆ

будет равно δ

(x +ε − x '). То-

Tε

. Согласно (2.56), ядро Tε

гда

ядро

сопряженного

оператора

ˆ +

по

(2.86)

будет

равно

Tε

ˆ+

ˆ*

(x ', x)=δ (x '+ε − x);

Tε (x, x ')=Tε

Так как δ-функция четная, то

ˆ

+

(x, x ')=δ (x −ε − x ')

ˆ

Tε

=T−ε (x, x '),

ˆ+

ˆ

т.е. является ядром оператора трансляции на величину -ε. Таким образом, Tε

(x)=T−ε (x).

Указания для б) и в): воспользоваться свойствами эрмитова сопряжения (2.78) и (2.79), а

ˆ +

также значением ∂x (2.87).

)

)

ˆ −1

+

ˆ

+

−1

.

11. Доказать, что для неособенного оператора (A

= (A

Решение. По определению обратного оператора,

ˆ

−1

ˆ

ˆ

. Возьмем эрмитово сопряжение

A

A =1

от

обеих

частей

этого

ˆ −1

ˆ

+

=

ˆ

Учитывая свойство (2.78), получаем

равенства: (A

A)

1 .

ˆ +

ˆ −1

)

+

ˆ

ˆ −1

)

+

ˆ +

)

−1

.

A

(A

=1 или (A

= (A