Sem_2 / Sem_2

что матрица этого оператора в некотором базисе e = (e1, . . . , en) равна BA−1, где столб- цы матриц A è B состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе

e.

145. Найти общий вид матрицы линейного оператора ϕ в базисе, первые k векторов
которого составляют:
а) базис ядра оператора ϕ;
б) базис образа оператора ϕ.								4	3	. Оператор
146. Оператор ϕ в базисе a1 = (1, 2), a2 = (2, 3) имеет матрицу
				.				3	5
ψ в базисе b1 = (3, 1), b2 = (4, 2) имеет матрицу		6	9
		4	6
Найти матрицу оператора ϕ + ψ в базисе b1, b2.				−							5	−3
−
147. Оператор ϕ в базисе a1 = ( 3, 7), a2	=		(1,		2) имеет матрицу						2	−1 .
Оператор ψ в базисе b1 = (6, −7), b2 = (−5, 6) имеет матрицу						2	7	.
						1	3

Найти матрицу оператора ϕψ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

8.Собственные векторы

Найти собственные векторы и собственные значения операторов:

148.Оператор дифференцирования в пространстве Rn[x].

149.Оператор X 7→XT в пространстве Mn(R).

d

150. Оператор xdx в пространстве Rn[x].

x

151. Оператор 1 Z

x

f(t)dt в пространстве Rn[x].

0

152. Доказать, что в пространстве Rn[x] линейный оператор f 7→f(ax + b) имеет следующие собственные значения: 1, a, . . . , an.

153. Доказать, что собственный вектор линейного оператора ϕ с собственным зна- чением λ является собственным вектором оператора f(ϕ), где f(x) многочлен, с собственным значением f(λ).

154. Доказать, что если оператор ϕ невырожденный, то операторы ϕ и ϕ−1 имеют одни и те же собственные векторы.

155. Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора ϕ тогда и только тогда, когда ϕ оператор подобия x 7→αx, где

α некоторый фиксированный скаляр.

156. Доказать, что если линейный оператор ϕ â n-мерном пространстве имеет n

различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с ϕ, имеет базис, состоящий из его собственных векторов.

157.Доказать, что если оператор ϕ2 имеет собственное значение λ2, то одно из чисел

λè −λ является собственным значением оператора ϕ.

158.Доказать, что всякий многочлен степени n со старшим коэффициентом (−1)n

является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка n.

11

159.Доказать, что если A è B квадратные матрицы одинакового порядка, то матрицы AB è BA имеют совпадающие характеристические многочлены.

160.Найти характеристические числа матрицы AT · A, ãäå A матрица-строка

(a1, . . . , an).

161. Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырождена.

Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

162.

165.

	2	−1	2
	5	3	3		.
	−1	−0	−2

7 −12 6

10 −19 10 .

12 −24 13

163.

166.

−4	4	0	.	164.		5	−7	3	.
0	1	0				4	−5	2
−2	1	2			6		−9	4

	1	−4	9 .		167.		1	−1		0	0	.
	4	5	7				3		1	0	0
							3		0	5	3
	4	−0	5				4		1	3	−1
	−
								−			−

Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису над полем R или над полем C:

168.		−1	3 −1			.	169.			4	7	−5	.
		−3	5	−1						−4	5	0
		−3	3		1					1	9	−4
		4	2	5					1		1	1	1	.
170.												−1	−1
		6	4	−9 .			171.		1		1
		5 3		−7					1	−1		1	−1
				−
										−		−

9.Инвариантные подпространства

172. Найти инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в

n[x].

173.Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного оператора ϕ инвариантна относительно ϕ.

174.Доказать, что ядро и образ линейного оператора ϕ инвариантны относительно

ϕ.

175.Всякое подпространство, содержащее образ оператора ϕ, инвариантно относительно ϕ. Доказать.

176.Доказать, что если подпространство L инвариантно относительно ϕ, то его образ

èполный прообраз инвариантны относительно ϕ.

177.Доказать, что если линейный оператор ϕ невырожден, то всякое подпространство, инвариантное относительно ϕ, инвариантно относительно ϕ−1.

178.Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности n − 1.

179.Пусть линейный оператор ϕ в n-мерном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпро-

странства, инвариантные относительно ϕ.

180. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариант-

12

скалярное умножение:

ные относительно линейного оператора с матрицей

	2	−0	2	.
	4	2	2
−1		1	1

181. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариант-
ные одновременно относительно двух линейных операторов, заданных матрицами
		−1	−5		−1 ,		−2	3	6 .
		5		1	−1		6	2	3
		−1	−1		5		3	−6	2
182. Â Rn[x] найти все подпространства, инвариантные относительно оператора
à) ϕ(f) = xdx			x	f(t)dt.
		; á) ϕ(f) = x Z0
	df	1

183. Доказать, что если для операторов ϕ, ψ конечномерного векторного пространства V над полем C выполняются равенства ϕ2 = ψ2 = ε, то в V существует одномерное

или двумерное подпространство, инвариантное относительно ϕ è ψ.

184. Доказать, что комплексное векторное пространство, содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора ϕ, неразложимо в прямую

сумму ненулевых подпространств, инвариантных относительно ϕ.

ГЛАВА 3.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

10.Скалярное произведение

185. Пусть x = (x1, x2), y = (y1, y2). Доказать, что каждое из перечисленных ниже правил задает на R2

à) (x, y) = x1y1 + x2y2, á) (x, y) = 2x1y1 + 5x2y2,

â) (x, y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2.

Вычислить скалярное произведение векторов x = (1, 1), y = (−3, 2) в каждом случае. 186. Доказать, что в евклидовом пространстве |x| = |y| тогда и только тогда, когда

векторы x − y è x + y ортогональны.

187. В пространстве Mn(R) со скалярным произведением (X, Y ) = tr XY T найти ортогональное дополнение к подпространству:

а) матриц с нулевым следом; б) симметрических матриц; в) кососимметрических матриц; г) верхнетреугольных матриц.

Дополнить до ортогонального базиса систему векторов евклидова пространства:

188. (1, −2, 2, −3), (2, −3, 2, 4). 189. (1, 1, 1, 2), (1, 2, 3, −3).

Дополнить до ортонормированного базиса систему векторов евклидова пространства:

13

190.		3,		3,	3	,		3,	3	, −3	. 191.			2,	2,	2,		2	,		2,	2, −	2, −			2	.
		2		1	2			1	2	2				1	1	1		1			1	1	1			1
192.	Найти ортогональную проекцию вектора x евклидова пространства на линей-
ную оболочку ортонормированной системы векторов e1																					, . . . , ek.
193.	Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова пространства мож-
но выбрать ортонормированные базисы														e1, . . . , ek è f1, . . . , fl таким образом, чтобы
(ei, fj) = 0 ïðè i 6= j è (ei, fj) > 0
194.	Пусть e1, . . . , ek								è f1, . . . , fl			ортонормированные базисы подпространств L и
M евклидова пространства,												f		матрица порядка k											×	l. Доказать, что все
											A = ((ei, Tj))
характеристические числа матрицы A													· A принадлежит отрезку [0, 1] и не зависят от
выбора базисов в подпространствах L è M.
195.	Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонормиро-

ванного базиса евклидова пространства на k-мерное подпространство равна k.

11.Процесс ортогонализации

С помощью процесса ортогонализации построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов евклидова пространства:

196. (1, 2, 2, −1), (1, 1, −5, 3), (3, 2, 8, −7). 197. (1, 1, −1, −2), (5, 8, −2, −3), (3, 9, 3, 8).

198. (2, 1, 3, −1), (7, 4, 3, −3), (1, 1, −6, 0), (5, 7, 7, 8).

199. Пусть L подпространство евклидова пространства V , L ортогональное дополнение к L. Доказать следующие свойства ортогонального дополнения:

à) V = L L ; á) (L ) = L; â) (L1 + L2) = L1 ∩ L2 ;

ã) (L1 ∩ L2) = L1 + L2 ; ä) V = 0, 0 = V .

Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов евклидова пространства:

200. (1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 3), (0, 1, −2, 1).

201. (1, 1, 1, 1), (−1, 1, −1, 1), (2, 0, 2, 0).

202. Доказать, что системы линейных уравнений, задающих линейное подпростран-

ñòâî â Rn и его ортогональное дополнение, связаны следующим образом: коэффициенты линейно независимой системы, задающей одно из этих подпространств, являются координатами векторов базиса другого подпространства.

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству, заданно-
му системой уравнений:		204. 2x1 + 3x2 + 4x3 − 3x4
203. 2x1 + x2 + 3x3 − x4	= 0,		= 0,
3x1 + 2x2 − 2x4= 0,		3x1 − x2 + 11x3 − 13x4= 0,
3x1 + x2 + 4x3 − x4= 0.		4x1 + x2 + 18x3 − 23x4= 0.

Найти проекцию вектора x на подпространство L = ha1, . . . , ani, и ортогональную составляющую вектора x:

205. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 2, −1), a3 = (1, 0, 0, 3); x = (4, −1, −3, 4). 206. a1 = (2, 1, 1, −1), a2 = (1, 1, 3, 0), a3 = (1, 2, 8, 1); x = (5, 2, −2, 2).

207. Найти проекцию вектора x на подпространство L и ортогональную составляю-

14

щую вектора x, åñëè x = (7, −4, −1, 2) è L задано системой уравнений

2x1 + x2 + x3 + 3x4= 0, 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4= 0, x1 + 2x2 + 2x3 − 4x4= 0.

12.Геометрия евклидовых пространств

Найти расстояние от вектора x до подпространства, заданного системой уравнений:

208.	x = (2,	4, 0, −1);	209. x = (3, 3, −4, 2);
	2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0,		x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0,
	2x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 = 0.		x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = 0.
210.	x = (3,	3, −1, 1, −1);	211. x = (3, 3, −1, 1, −1);
	2x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 + 2x5 = 0.		x1 − 3x2 + 2x4 − x5 = 0.

212. (Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.) Пусть e1, . . . , ek ортонорми-

рованная система векторов n-мерного евклидова пространства V . Доказать, что для любого вектора x выполняется неравенство

k

X

|(x, ei)|2 6 |x|2,

i=1

причем равенство достигается для любого x тогда и только тогда, когда k = n, то есть данная система векторов является ортонормированным базисом пространства V

(равенство Парсеваля).

213. Доказать, что определитель Грама любой системы векторов в процессе ортогонализации не меняется.

214. Доказать, что определитель Грама системы векторов равен нулю тогда и только тогда, когда система линейно зависима, и положителен, если она линейно независима.

215. Доказать, что определитель Грама системы векторов не превосходит произведения квадратов длин векторов системы, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны или один из них нулевой.

216. С помощью скалярного произведения векторов доказать, что а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон;

б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

217. (n-мерная теорема Пифагора). Доказать, что квадрат диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины.

218.Найти число диагоналей n-мерного куба, ортогональных данной диагонали.

219.Найти длину диагонали n-мерного куба с ребром a и углы между диагоналями куба и его ребрами.

220.Найти радиус шара R, описанного около n-мерного куба с ребром a, и решить

неравенство R < a.

221. Доказать, что длина ортогональной проекции ребра n-мерного куба на любую его диагональ равна 1/n длины диагонали.

Вычислить объем n-мерного параллелепипеда со сторонами:

222. (1, −1, 1, −1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1).

15

223. (1, 1, 1, 1), (1, −1, −1, 1), (2, 1, 1, 3), (0, 1, −1, 0).

224. (1, 1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 1, −2), (2, 1, −1, 0, 2), (0, 7, 3, −4, −2), (39, −37, 51, −29, 5).

225. Доказать, что для объема параллелепипеда выполняется неравенство

V (a1, . . . , ak, b1, . . . , bl) 6 V (a1, . . . , ak) · V (b1, . . . , bl),

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда (ai, bj) = 0 ïðè âñåõ i è j.

Найти угол между вектором x и подпространством L = ha1, . . . , ani:

226. a1 = (3, 4, −4, −1), a2 = (0, 1, −1, 2); x = (2, 2, 1, 1).

227. a1 = (5, 3, 4, −3), a2 = (1, 1, 4, 5), a3 = (2, −1, 1, 2); x = (1, 0, 3, 0). 228. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 2, 0, 0), a3 = (1, 3, 1, 1); x = (1, 1, 0, 0).

229. Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова пространства V образуют между собой угол π3 , òî k 6 dim V .

230.Доказать, что если каждые два различных из k векторов евклидова пространства образуют тупой угол, то k 6 1 + dim V .

231.Найти угол между диагональю n-мерного куба и его k-мерной гранью.

232.Найти угол между двумя подпространствами L1 = h(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)i è L2 =

h(1, 1, 1, 1), (1, −1, 1, −1)i.

13.Линейные функции

233. Доказать, что для каждого базиса сопряженного пространства V существует

единственный базис пространства V , для которого данный базис является сопряженным.

234. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции f íà n-мерном пространстве V существует базис e1, . . . , en пространства V , такой, что

f(x1e1 + . . . + xnen) = x1

для любых коэффициентов x1, . . . , xn.

235.Доказать, что всякое k-мерное подпространство n-мерного пространства является пересечением ядер некоторых n − k линейных функций.

236.Пусть f ненулевая линейная функция на векторном пространстве V (не обязательно конечномерном), U = Ker f. Доказать, что

à) U максимальное подпространство V , то есть не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от V ;

á) V = U hai для любого a / U.

237. Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются скалярным множителем.

238. Доказать, что n линейных функций на n-мерном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство.

239. Доказать, что векторы e1, . . . , ek конечномерного пространства V линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют линейные функции f1, . . . , fk V

такие, что det(fi(ej)) 6= 0.

240. Пусть l1, l2 линейные функции на векторном пространстве V , причем l1(x)l2(x) = 0 äëÿ âñåõ x V . Доказать, что одна из функций нулевая.

16

14.Сопряженный оператор

241. Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному оператору в евклидовом пространстве:

à) ϕ = ϕ;	á) (ϕ + ψ) = ϕ + ψ ;
â) (ϕψ) = ψ ϕ ;	ã) (λϕ) = λϕ , λ			R;
ä) ϕ ϕ è ϕϕ симметрические
		операторы;

е) если оператор ϕ невырожден, то (ϕ−1) = (ϕ )−1.

242.Пусть e1, e2 ортонормированный базис евклидова пространства и оператор

ϕ имеет в базисе e1, e1 + e2 матрицу	1		2	. Найти матрицу оператора ϕ â ýòîì
базисе.	1	−1
243. Найти оператор, сопряженный к проектированию координатной плоскости на
ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей.
244. Пусть ϕ проектирование евклидова пространства V на подпространство V1
параллельно подпространству V2. Доказать, что
á) V = V1 V2 ;
à)
Доказать, что если подпространство
245.ϕ проектирование пространства V		íà
			евклидоваV параллельнопространстваV . инвариантно от-
				2	1

носительно линейного оператора ϕ, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора ϕ .

246. Доказать, что ядро и образ сопряженного оператора ϕ являются ортогональ- ными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора ϕ.

247. Доказать, что если x собственный вектор операторов ϕ è ϕ в евклидовом пространстве с собственными значениями λ è µ, òî µ = λ.

15.Симметрический оператор

248.Доказать, что собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

249.Доказать, что если ϕ è ψ симметрические операторы в евклидовом простран-

ñòâå V è (ϕx, x) = (ψx, x) äëÿ âñåõ x V , òî ϕ = ψ.
250. Доказать, что произведение двух симметрических операторов в евклидовом
пространстве является симметрическим оператором тогда и только тогда, когда эти
операторы перестановочны.
251. Доказать, что проектирование евклидова пространства L1 L2 на подпростран-
ñòâî L1 параллельно L2 является симметрическим оператором тогда и только тогда,
когда L1 è L2 ортогональны.
Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора,
заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:																		−4		.					0 1 0	.
252.		1 2 .			253.			2 2		10	.		254.			8	17						255.
		2 1						11 2		−8	0					17	−8		4	1					0 0 1
								8 10		5						−4	4 11								1 0 0
								−		0		0	1	.			−	1				1	1
256.		1	−5		−1 .			257.		0	0	1	0			258.		1		1	−1		−1	.
		5		1	1					0	1	0	0					1		1		1	1
		−1	−	1	−5					1	0	0	0					1	−1			1	−1
		−
																			−		−

17

259.Доказать, что симметрические операторы евклидова пространства перестановочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис.

260.Симметрический оператор ϕ евклидова пространства V называется неотрица-

тельным (положительным), если (ϕx, x) > 0 ((ϕx, x) > 0) äëÿ âñåõ x V .

Доказать, что симметрический оператор в евклидовом пространстве а) неотрицателен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотри-

цательны; б) положителен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положи-

тельны.

261.Доказать, что если ϕ оператор в евклидовом пространстве, то ϕ ϕ неотрицательный симметрический оператор и положителен тогда и только тогда, когда оператор

ϕобратим.

262.Доказать, что если два неотрицательных симметрических оператора в евклидовом пространстве перестановочны, то их произведение неотрицательный симметрический оператор.

263.Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных симметрических операторов в евклидовом пространстве, один из которых обратим, являются вещественными и неотрицательными.

16.Ортогональный оператор

264.Доказать: если оператор в евклидовом пространстве сохраняет длины векторов, то он ортогонален.

265.Доказать, что если векторы x è y евклидова пространства имеют одинаковую

длину, то существует ортогональный оператор, переводящий x â y.

266.Пусть x1, . . . , xk è y1, . . . , yk две системы векторов евклидова пространства. Доказать, что ортогональный оператор, переводящий xi â yi, i = 1, . . . , k, существует тогда и только тогда, когда (xi, xj) = (yi, yj) ïðè âñåõ i è j îò 1 äî k.

267.а) Пусть w ненулевой вектор евклидова пространства. Для любого вектора x положим Uw(x) = x − 2((w,x, ww))w. Доказать, что Uw(w) = −w è Uw(y) = y, åñëè y hwi .

б) Пусть x, y ненулевые векторы евклидова пространства, причем y / hxi. Äîêà-

|x|

зать, что найдется такой вектор w, ÷òî Uw(x) = |y|y.

Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, за-
данного в некотором ортонормированном базисе матрицåé:																																			3			2	−2	1	.
3					2			1	−2		.			269.		2				1					1		−√2				.			270.
268. 1					2			2		1						1				1					1			√2							1			2	1	2
				−1				−2		2								√				−√								0							−1		2	−2
																					2					2
4					1				3					.					2				1								−1			.
										−√6					272.											−√2
271. 1					3				1		√6								1				1				√2				1
				√			−√				2									√										√−
						6			6															2			0					2

18

273. 1				1				1	−1			−1				.	274. 1						1	1				−1			−1		.
				1				1	1			1											1	1				1				1
2				1		−1			1			−1							2				−1 1					−1				1
				1				1	1			1										1	1	1				1				1
3					2− 2				−		1	.						9					−	8 4				.			−				7				3	2	6	.
				−1				2		−2							276.					4	−4				7					277.							6	−3	−2
275. 1																		1																	1
					3			−1			2											−8		1 4															−2	6	3
					2							3				.
											−
278. 1					1			4				1					279. 1														√6				.
						2								2
				√				0				√											3					1
																															√
																							1					3					6
3																			4
				√2				√2			√2												√6				√6				−
					2				1			2											−
								−

ГЛАВА 4.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

17.Окружность

280.Составить уравнение окружности с центром в точке (a, 0) (a > 0), касающейся

îñè Oy.

281.Составить уравнение окружности радиуса r, касающейся осей координат.

Найти координаты центра и радиус следующих окружностей:

282.

x2

2+

y2

+ x = 0.

283. x2

y2

y

.

284. x2

y2

+ 2x

−

4y = 0.

285.

3x

2

+

+ 3 = 0

+

+ 3y

− 6x + 4y − 1 = 0.

Охарактеризовать геометрически множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют условиям:
286.	x	3)2 + (y			−	3)2 < 8, x > y. 287. x2	+ y2 + x + y > 0, y > 2x.
288.	( 2 −		2
	x + y			− 2x < 0, |y| < 1/4.

289. Составить уравнение окружности, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3).

290. Составить уравнение окружности, проходящей через точки M1 = (x1, y1) è M2 =

(x2, y2) и через начало координат при условии, что прямая M1M2 не проходит через начало координат.

291.Составить уравнение окружности, проходящей через точки (1, 1), (0, 2) и касающейся окружности (x − 5)2 + (y − 5)2 = 16.

292.Составить уравнение окружности, касающейся оси Ox в начале координат и касающейся окружности (x − 6)2 + (y − 13)2 = 25.

293.Составить уравнение окружности, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2), зная, что ее центр лежит на прямой Ax + By + C = 0.

294.Составить уравнение касательной к окружности (x − a)2 + (y − b)2 = r2 в точке

(x0, y0), лежащей на этой окружности.

295.Составить уравнения касательных к окружности (x − a)2 + (y − b)2 = r2, парал- лельных прямой Ax + By + C = 0.

296.Составить уравнение окружности, центр которой лежит на прямой x+2y+2 = 0

èкоторая пересекает ортогонально каждую из двух окружностей x2 + y2 − 6x = 0,

19

x2 + y2 + 8x = 0.

297. Составить уравнение окружности, пересекающей ортогонально три окружно-

ñòè: x2 + y2 + x + 2y = 0, x2 + y2 + 2x + 2y + 3 = 0, x2 + y2 + 3x + y − 1 = 0.

298. Составить уравнение окружности, проходящей через точку (1, −2) и точки пересечения прямой x − 7y + 10 = 0 с окружностью x2 + y2 − 2x + 4y − 20 = 0.

18.Преобразование координат на плоскости

299. Написать формулы перехода от одной системы координат к другой, если нача-

лом первой системы является вершина A параллелограмма ABCD, а базисом векто-
ðû AD, AB; началом второй системы является вершина C, а базисом CB, CD.
−−→ −→		−−→ −−→
300. Даны две системы координат: Oxy è O0x0y0. Относительно первой системы на-
чало второй системы находится в точке O0 = (−4, 2), îñü O0x0		пересекает ось Ox в точке
A = (2, 0), à îñü O0y0 пересекает ось Oy в точке B = (0, 8). Принимая за базисные век-
торы второй системы векторы	O0A è O0B, выразить координаты произвольной точки
	−−→ −−→
относительно первой системы через ее координаты во второй системе.
301. Даны две системы координат: Oxy è O0x0y0. Координаты x è y произвольной
точки относительно первой системы координат выражаются через ее координаты x0			è y0
относительно второй системы следующими формулами: x = 2x0−5y0+3, y = −x0+2y0			−2.
Найти координаты начала второй системы и единичных векторов ее осей относитель-
но первой системы.
302. Дан параллелограмм OACB. Рассмотрим две системы координат, принимая за

начало обеих систем вершину параллелограмма O, за единичные векторы осей Ox è Oy
первой системы соответственно стороны параллелограмма OA è OB, а за единичные
				−→	−−→
	Ox0		Oy0	второй системы соответственно векторы	−−→ −→
векторы осей		è			OK è OL (K è L
середины сторон AC è BC). Найти координаты вершин параллелограмма во второй
системе.
303. В треугольнике OAB проведены медианы AD è BE, пересекающиеся в точке

O0. Выразить координаты x è y произвольной точки относительно системы с началом
в точке	O	−→	−−→	0	, y	0	в системе с
		и базисными векторами OA è OB через ее координаты x
началом	O0	−−→	−−→
		и базисными векторами O0A è O0B.

304. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC; O точка пере-

сечения ее боковых сторон, O0 точка пересечения диагоналей. Выразить координаты

x

y

O

−−→

è

произвольной точки относительно системы с началом в точке

и базисом OB,

OC

O

0

−−→ −−→

−→

через ее координаты в системе с началом

и базисом O0B, O0C.

305. Написать формулы преобразования координат, принимая за новые оси

O0x0 è

O0y0

прямые 2x + y

−

4 = 0 è x

−

y + 2 = 0, а за единичную точку точку (3, 7).

306.Написать уравнение прямой x − y − 5 = 0 в системе координат, осями которой служат прямые 2x − y + 7 = 0 (îñü O0y0), x + y − 4 = 0 (îñü O0x0), а единичной точкой

точка (0, 0).

307.Написать формулы преобразования прямоугольных координат, если начало новой системы находится в точке O0 = (−4, 2), угол от положительного направления оси

Ox до положительного направления оси O0x0 равен 120o и обе системы одинаково ори- ентированы.

308. В системе Oxy дана точка (6, −2); найти ее координаты в системе O0x0y0, ïîëó- чающейся из системы Oxy переносом начала в точку O0 = (3, −4) и поворотом на угол

− arccos 12/13.

20