2.2. Классы сложности

Для формальных определений классов сложности обычно рассматривают не произвольные алгоритмы, а алгоритмы для так называемых задач разрешения (переборных задач), когда требуется определить, принадлежит или нет некоторый элемент некоторому множеству.

Учитывая необходимость кодирования данных, подаваемых на вход машине Тьюринга, эти задачи абсолютно эквивалентны задачам распознавания языков, когда на некотором алфавите Σ рассматривается подмножество слов , и для произвольного слованужно определить, принадлежит ли оно языку L.

Суть подхода к определению наиболее сложных задач, называемых универсальными, состоит в сведении к ним любой переборной задачи. Решение универсальной задачи в этом смысле дает решение любой переборной задачи и поэтому универсальная задача оказывается не проще любой из переборных задач.

Определение 10. Говорят, что неотрицательная функция не превосходит по порядку функцию и пишут, если существует такая константаC, что для любого.

Выражение «трудоемкость (сложность) алгоритма составляет », «решение задачи требует порядкаопераций» или «алгоритм решает задачу за время» обычно придается именно этот смысл.

Например, трудоемкость означает, что время работы соответствующего алгоритмане зависит от длины входного слова ().

Алгоритмы с трудоемкостью называютсялинейными.

Алгоритм, сложность которого равна , гдеc – константа, называется полиномиальным.

Встречаются алгоритмы сложность которых оценивается .

Для алгоритма со сложностью (или)говорят, что он имеетэкспоненциальную сложность.

Лекция 6

2.2.1. Полиномиальность и эффективность

Определение 11. Алгоритм называется полиномиальным, если его сложность t(n) в наихудшем случае ограничена сверху некоторым полиномом (многочленом) от n.

В теории алгоритмов в основном рассматриваются переборные или «распознавательные» (задачи, решение которых сводится к получению ответа «да» или «нет») массовые задачи. Произвольные задачи обычно легко сводятся к переборным или «распознавательным» задачам.

Алгоритмы, решающие переборные задачи с полиномиальной сложностью, часто называю эффективными.

Может ли неполиномиальный алгоритм быть эффективным? Ответ утвердительный.

Во-первых, может случиться так, что в реальных задачах, на которых время работы алгоритма велико, является на практике редким событием. Во-вторых, многие псевдополиномиальные алгоритмы являются эффективными, когда возникающие на практике числовые параметры не слишком велики.

Подчеркнем, что примеров задач, на которых нарушается основополагающее равенство

«полиномиальность»=«эффективность»

крайне мало по сравнению с числом примеров, на которых оно блестяще подтверждается.

Класс всех переборных задач с полиномиальной сложностью обозначается P.

Однако возможно, что класс всех переборных («распознавательных»)задач шире класса P . Поэтому всех переборных задач обозначают через NP и называют NP-полными задачами.

С другой стороны, алгоритмическая задача называется труднорешаемой (NP-полной), если для нее не существует полиномиального алгоритма.

По этой причине задачи решаемые с экспоненциальной сложность относя к классу NP-полных задач.

Историю современной теории сложности вычислений принято отсчитывать с работ С.А.Кука (1975 года), в которых были заложены основы теории NP-полноты и доказано существование вначале одной, а затем достаточно большого числа (а именно, 21) естественных NP-полных задач. К 1979 году было известно уже более 300 наименований. К настоящему времени количество известных NP-полных задач выражается четырехзначным числом, и постоянно появляются новые, возникающие как в самой математике и теории сложности, так и в таких дисциплинах, как биология, социология, военное дело, теория расписаний, теория игр и т.д.

Более того, как для подавляющего большинства задач из класса NP в конечном итоге удается либо установить их принадлежность классу P (т.е. найти полиномиальный алгоритм), либо доказать NP-полноту.

Одним из наиболее важных исключений являются задачи типа дискретного логарифма и факторизации, на которых основаны многие современные криптопротоколы.

Тот факт, что большинство «естественных» массовых задач входят в класс NP свидетельствует о чрезвычайной важности вопроса о совпадении классов P и NP. Безуспешным попыткам построения полиномиальных алгоритмов для NP-полных задач были посвящены усилия огромного числа выдающихся специалистов в данной области. Ввиду этого можно считать, что NP-полные задачи являются труднорешаемыми со всех практических точек зрения, хотя, повторяем, строгое доказательство этого составляет одну из центральных открытых проблем современной математики.