ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика). 1999

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

Точки безубыточности у*р и у™ определяются из условия

равенства прибыли нулю, а максимальное ее значение достига­ ется в точке у, которая удовлетворяет уравнению

П'(у) = 0 или R'(y) - С'(у) = 0.

Таким образом, оптимальный объем производства характери­ зуется тем, что в этом состоянии маргинальный валовой доход (R'iy)) в точности равен маргинальным издержкам С'(у).

В самом деле, если у < у, то R(y) > С'(у), и тогда следует увеличить выпуск продукции, поскольку ожидаемый дополни­ тельный доход превысит ожидаемые дополнительные издерж­ ки. Если же у > у, то R'(y) < С'(у), и всякое увеличение объ­ ема уменьшит прибыль, поэтому естественно рекомендовать уменьшить объем производства и придти в состояние у = у (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Точка максимума прибыли и зона безубыточности

		1
		А -	1	(*)
К	bh )

Нетрудно видеть, что при увеличении цены (р) оптимальный выпуск, а также прибыль увеличиваются, т.е.

dp >0.

90

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

Это верно также и в общем случае, так как

Ф С'(у)

Пример. Фирма производит сельскохозяйственные машины в количестве у штук, причем объем производства в принципе мо­ жет изменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естествен­ но увеличение объема производства потребует увеличения за­ трат как пропорциональных, так и сверхпропорциональных (не­ линейных), поскольку потребуется приобрести новое оборудо­ вание и расширить производственные площади.

В конкретном примере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) на производство продукции в количе­ стве у изделий выражаются формулой

С(у) = 1000 + 20у + 0,1у2 (тыс. руб.). Это означает, что постоянные издержки

С0 = 1000 (т. руб.), пропорциональные затраты

Q = 20у9

т.е. обобщенный показатель этих затрат в расчете на одно изде­

лие равен:			а = 20 тыс. руб., а нелинейные затраты составягг
2	= ОЛу	2	(Ь = 0,1).
С
	Приведенная выше формула для издержек является частным
случаем общей формулы, где показатель h = 2.
	Для нахождения оптимального объема производства восполь­

зуемся формулой точки максимума прибыли (*), согласно кото­ рой имеем:

Совершенно очевидно, что объем производства, при котором достигается максимальная прибыль, весьма существенно опре­ деляется рыночной ценой изделия р.

91

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

Втабл. 4.1 представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значениях цены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.

Впервом столбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у, второй столбец содержит данные о полных издерж­ ках С (у), в третьем столбце представлена себестоимость в рас­ чете на одно изделие:

						У
								Т а б л и ц а 4.1
		Данные об объемах выпуска, затратах и прибыли
	Объемы и затраты						Цены и прибыли
	Y	С	АС	МС	40	42	44	50	54	60
1		2250	45	33	-250	-150	-50	250	450	740
1 50				30
1 80		3240	40,5	36	-40	+ 120	280	760	1080	1560
1	юо 4000			38
			40	40	0	200	400	1000	1400	2000
				41
	ПО	4410	40,1	42	-10	210	430	1090	1530	2190
				43
	120	4840	40,3	44	-40	200	440	1160	1640	2360
				47
	150	6250	41,7	50	-250	50	350	1250	1850	2750
				52						2910J
	170	7290	42,9	54	-490	-150	190	1210	1890
				57
	200	9000	45	60	-1000	-600	-200	1000	1800	3000
				62						2960 J
|	220	10240	46,5	64	-1440	-1000	-560	760	1640

92

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

Четвертый столбец характеризует значения указанных выше маргинальных издержек Л/С, которые показывают, во сколько обходится производство одного дополнительного изделия в данной ситуации. Нетрудно заметить, что маргинальные из­ держки возрастают по мере роста производства, что хорошо согласуется с положением, высказанным в начале этого пара­ графа. При рассмотрении таблицы следует обратить внимание на то, что оптимальные объемы находятся точно на пересече­ нии строки (маргинальные издержки — MQ и столбца (цена — р) с равными их значениями, что совершенно аккуратно соот­ носится с правилом оптимальности, установленным выше.

Проведенный выше анализ относится к обстановке совершен­ ной конкуренции, когда производитель не может повлиять свои­ ми действиями на систему цен, и поэтому цена р на товар у вы­ ступает в модели производителя как экзогенная величина.

В случае же несовершенной конкуренции производитель мо­ жет оказывать непосредственное влияние на цену. В особенно­ сти это относится к монопольному производителю товара, кото­ рый формирует цену из соображения разумной рентабельности.

Рассмотрим фирму с линейной функцией издержек, которая определяет цену таким образом, чтобы прибыль составляла оп­ ределенный процент (долю 0 < у < 1) от валового дохода, т.е.

П = ру - (С0	+ ау) = уру.
Отсюда имеем
= С0 + ау =	а |	С0
(1-у)д>	1-у	у '
Валовой доход
R = -2-у	+ С0
1-у

и производство оказывается безубыточным, начиная с самых малых объемов производства (yw» 0). Легко видеть, что цена зависит от объема, т.е. р = р(у)9 и при увеличении объема про­ изводства (у) цена товара уменьшается, т.е. р'(у) < 0. Это поло­ жение имеет место для монополиста и в общем случае.

93

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

Требование максимизации прибыли для монополиста имеет вид

П = р(у)у - С(у) -» max.

Предполагая по-прежнему, что С1{у) > О, С"(у) > О, имеем уравнение для нахождения оптимального выпуска (у):

Полезно заметить, что оптимальный выпуск монополиста (у), как правило, не превосходит оптимального выпуска кон­ курентного производителя у в формуле на с. 90, помеченной

звездочкой.

Более реалистичная (но также простая) модель фирмы ис­ пользуется для того, чтобы учесть ресурсные ограничения, ко­ торые играют очень большую роль в хозяйственной деятельно­ сти производителей. В модели выделяется один наиболее дефи­ цитный ресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий матери­ ал, энергия и т.п.) и предполагается, что фирма может его ис­ пользовать не более чем в количестве Q. Фирма может произво­ дить п различных продуктов. Пусть у\9 ..., yj9 ..., уп — искомые объемы производства этих продуктов; рь ...,/?/,..., рп — их цены. Пусть также q — цена единицы дефицитного ресурса. Тогда валовой доход фирмы равен

п

R(yi,...,yn)= ILpjyjy

а прибыль составит

niyb...,yn) = R(y\,...,yn)-qQ.

Легко видеть, что при фиксированных q и Q задача о макси­ мизации прибыли преобразуется в задачу максимизации вало­ вого дохода.

Предположим далее, что функция издержек ресурса для ка­ ждого продукта Cjiyj) обладает теми же свойствами, которые были высказаны выше для функции С (у). Таким образом,

C/(yj) > 0 и C/bj) > 0.

94

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

В окончательном виде модель оптимального поведения фир­ мы с одним ограниченным ресурсом следующая:

tCj(yj)<Q,

7=1

Нетрудно видеть, что в достаточно общем случае решение этой оптимизационной задачи находится путем исследования системы уравнений:

pj =A.C)(j?y)

О" = 1

л)

(**)

ZCytfy) = Q,

У = 1

где X — множитель Лагранжа. Заметим, что соотношение

Pj=XC'j(yj)

является по существу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке маргинального дохода и маргинальных из­ держек. В случае квадратичных функций издержек

из системы уравнений (**) имеем:

Pj	0 = 1 , . . . , л)
У] = 2аjX

/***\

*=Ф',Й

95

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

Заметим, что оптимальный выбор фирмы зависит от всей со­ вокупности цен на продукты (р\, ..., рп), причем этот выбор яв­ ляется однородной функцией системы цен, т.е. при одновре­ менном изменении цен в одинаковое число раз оптимальные выпуски у не изменяются. Нетрудно видеть также, что из уравнений, помеченных звездочками (***), следует, что при увеличении цены на продукт п (при неизменных ценах на дру­ гие продукты) его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, так как

dyj

а производство остальных товаров уменьшится, так как

dyj

дрп <0.

Эти соотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продукты являются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение

^ - > 0 (у = 1,...,л),

т.е. при увеличении объема ресурса (капиталовложений, рабо­ чей силы и т.п.) оптимальные выпуски увеличиваются.

В заключение параграфа приведем ряд простых примеров, которые помогут лучше понять правило оптимального выбора фирмы по принципу максимума прибыли:

1) пусть п-2\р\ = Р2 = 1; 01 = 02= U Q = 0>5; q = 0,5. Тогда из (***) имеем:

У\ =0,5; у2 = 0,5; П = 0,75; X = 1;

2) пусть теперь все условия остались прежними, но удвои­ лась цена на первый продукт: р\ = 2.

Тогда оптимальный по прибыли план фирмы: у\ = 0,6325; у2 = 0,3162.

96

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

Ожидаемая максимальная прибыль заметно возрастает:

П- 1,3312; X = 1,58;

3)заметим, что в предыдущем примере 2 фирма должна из­ менить объемы производств, увеличив производство первого и уменьшив производство второго продукта. Предположим, одна­ ко, что фирма не гонится за максимальной прибылью и не ста­ нет менять налаженное производство, т.е. выберет программу

У\ = 0,5; у2 = 0,5.

Оказывается, что в этом случае прибыль составит П = 1,25. Это означает, что при повышении цен на рынке фирма может получить значительное увеличение прибыли без изменения плана выпуска.

§6. Методы учета научно-технического прогресса

Общепризнанным следует считать тот факт, что с течением времени на предприятии, сохраняющем фиксированную чис­ ленность работников и постоянный объем основных фондов, выпуск продукции увеличивается. Это означает, что помимо обычных производственных факторов, связанных с затратами ресурсов, существует фактор, который обычно называют науч­ но-техническим прогрессом (НТП). Этот фактор можно рассмат­ ривать как синтетическую характеристику, отражающую совме­ стное влияние на экономический рост многих существенных явлений, среди которых нужно отметить следующие:

а) улучшение со временем качества рабочей силы вследствие повышения квалификации работников и освоения ими методов использования более совершенной техники;

б) улучшение качества машин и оборудования приводит к тому, что определенная сумма капитальных вложений (в неиз­ менных ценах) позволяет по прошествии времени приобрести более эффективную машину;

в) улучшение многих сторон организации производства, в том числе снабжения и сбыта, банковских операций и других взаимных расчетов, развитие информационной базы, образова­ ние различного рода объединений, развитие международной специализации и торговли и т.п.

97

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

В связи с этим термин «научно-технический прогресс» мож­ но интерпретировать как совокупность всех явлений, которые при фиксированных количествах затрачиваемых производствен­ ных факторов дают возможность увеличить выпуск качествен­ ной, конкурентоспособной продукции. Весьма расплывчатый характер такого определения приводит к тому, что исследование влияния НТП проводится лишь как анализ того дополнитель­ ного увеличения продукции, которое не может быть объяснено чисто количественным ростом производственных факторов. Главный подход к учету НТП сводится к тому, что в совокуп­ ность характеристик выпуска или затрат вводится время (t) как независимый производственный фактор и рассматривается пре­ образование во времени либо производственной функции, либо технологического множества.

Остановимся на способах учета НТП путем преобразования производственной функции (ПФ), причем за основу примем двухфакторную ПФ:

У = f(K, L),

где в качестве производственных факторов выступают капитал

(К) и труд (L). Модифицированная ПФ в общем случае имеет вид

у = f(K, L, О,

причем выполняется условие

которое и отражает факт роста производства во времени при фиксированных затратах труда и капитала. Геометрическая ил­ люстрация такого процесса дана на рис. 4.13, где показано, что изокванта, соответствующая выпуску продукции в объеме Q, смещается с течением времени fa > t\) вниз и налево.

При разработке конкретных модифицированных ПФ обычно стремятся отразить характер НТП в наблюдаемой ситуации. При этом различают четыре случая:

а) существенное улучшение со временем качества рабочей силы позволяет добиться прежних результатов с меньшим ко-

98

Глава IV. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия

личеством занятых; подобный вид НТП часто называют тру­ досберегающим. Модифициро­ ванная ПФ имеет вид

у = f(K9 l(t)L),

где монотонная функция l(t) характеризует рост производи­ тельности труда;

б) преимущественное улуч­ шение качества машин и обо­ рудования повышает фондоот­ дачу, имеет место капиталосбе­ регающий НТП и соответст­ вующая ПФ:

Рис. 4.13. Рост производства во времени при фиксированных за­ тратах труда и капитала

у = f(k(t)K, L),

где возрастающая функция k(t) отражает изменение фондоотдачи; в) если имеет место значительное влияние обоих упомянутых

явлений, то используется ПФ в форме

у = f(k(t)K, /(/)£);

г) если же нет возможности выявить влияние НТП на произ­ водственные факторы, то применяется ПФ в виде

у = a(t) f(K, L),

где a{t) — возрастающая функция, выражающая рост продук­ ции при неизменных значениях затрат факторов. Для исследо­ вания свойств и особенностей НТП используются некоторые соотношения между результатами производства и затратами факторов. К их числу относятся:

а) средняя производительность труда

б) средняя фондоотдача

99