ODU2

Глава 2.Теорема Коши. Понятие о численном решении дифференциальных уравнений.

§6. Принцип сжимающих отображений.

В этом параграфе излагаются вспомогательные понятия и факты, которые пригодятся при доказательстве теоремы Коши.

1˚. Понятие метрического пространства.

Метрические пространства напоминают таблицы из некоторых транспортных справочников, в которых указываются попарные расстояния между городами.

Определение 1. Метрическим пространством называется пара X , d , где X −

множество, а d d x, y − числовая функция двух переменных x, y X , обладающая следующими свойствами (они называются аксиомами метрики):

1. d x, y 0 , d x, y 0 x y − положительная определённость;

2. d x, y d y, x − симметричность;

3. d x, z d x, y d y, z − неравенство треугольника.

Функция d x, y со свойствами 1 − 3 называется расстоянием между элементами x и y ( d − от слова distance). Для сокращения письма вместо X , d пишут просто X .

Простейшими примерами метрических пространств являются числовая прямая		,
множество рациональных чисел	и n-мерное координатное пространство	n ,

а аксиомы метрики “списаны” со свойств обычного расстояния в этих пространствах. Упражнение. Доказать неравенство d a, y d a, z d y, z для любых y, z, a из X .

Следствие. Величина d a, x непрерывно зависит от x .

Определение 2. Последовательность элементов xn

метрического пространства

X

называется сходящейся, если существует элемент x0 X , такой что

d xn , x0 0

при n ; x называют пределом этой последовательности и пишут

lim x

x .

0

n

n

0

Определение 3. Последовательность элементов xn

метрического пространства

X

называется фундаментальной, если d xn , xm 0 при

m, n .

Всякая

сходящаяся

последовательность

является

фундаментальной,

так

как

d xn , xm d xn , x0 d x0 , xm . Обратное

утверждение,

вообще говоря,

не

верно.

n

Например, последовательность рациональных чисел Sn 1

1

сходится

в

к чис-

k 1 k !

1

лу 1

e и, следовательно, является фундаментальной. В то же время,

в

у неё

k 1 k !

нет предела, так как e .

Определение 3. Метрическое пространство

X называется полным метрическим про-

странством (ПМП), если в X всякая фундаментальная последовательность является

сходящейся.

Мы видим, что

не обладает свойством полноты, а

и

n , согласно критерию

Коши, − полные пространства.

20

2˚. Принцип сжимающих отображений.

Определение 4. Элемент x называется неподвижной точкой отображения : X X ,

если x x .
Определение 5. Отображение : X X	называется сжимающим, если существует
неотрицательное число q 1 такое, что	d x1 , x2 qd x1, x2 , x1, x2 X (число
q называют коэффициент сжатия).

Теорема 1. Пусть − сжимающее отображение с коэффициентом сжатия q , действующее в полном метрическом пространстве (ПМП) X . В таком случае

1.	отображение − имеет единственную неподвижную точку	x ;
2.	для любого начального элемента x0 последовательность,	определяемая рекур-
	рентной формулой xn 1 xn , сходится к x ;
3.	справедлива оценка скорости сходимости: d xn , x Cqn	(константа C 0 за-
	висит от начального элемента x0 ).
Доказательство будет разбито на несколько шагов.
1. Сжимающее отображение , очевидно, непрерывно всюду в X .
2. У сжимающего отображения не может быть более одной неподвижной точки.
Предположим противное. Пусть отображение имеет, по крайней мере, две различные
неподвижные точки, скажем, x1 и x2 , т.е. x1 x1 , x2 x2 и d d x1 , x2 0 .
Так как d x1 , x2 d x1 , x2 qd x1 , x2 , то будет иметь 1 q d x1 , x2 0 . Но это

невозможно, так как 1 q 0 и d 0 . Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

3. Пусть x0 , x1, x2 ,..., xn ,... − последовательность, получаемая с помощью рекуррентного
соотношения xn 1 xn				из начального элемента x0 . Докажем, что это − сходящаяся
последовательность.		что d xk , xk 1 d xk 1 , xk qd xk 1, xk . Поэтому
Заметим сначала,
d xk , xk 1 qk d x0, x1 . Отсюда следует, что при m n будет
d x x	d x x		d x x			... d x	x		qn qn 1 ... qm-1 d x , x .
n m	n n 1				n 1 n 2	m 1 m				0 1
Мы видим, что					d xn , xm Cqn ,
											(1)
где C C x0	d x0 ,	x0				0 q 1, то			d xn xm 0 , когда	m, n .
					. Так как
	1 q
Таким образом,	xn	− фундаментальная последовательность, а так как								X − полное
пространство, то эта последовательность сходится, т.е. существует элемент										x lim x .
										n	n
4). Докажем, что x −		неподвижная точка отображения . Действительно, из непре-
рывности следует, x lim xn lim							xn	lim xn 1 x .
					n	n			n

21

5). Осталось оценить скорость сходимости x к x . Для этого достаточно в неравенстве

при m

n

(1) перейти к пределу

и воспользоваться

непрерывностью функции

d a, x . Это даст d xn , x Cqn .

Теорема 1 полностью доказана.

Снова рассмотрим отображение : X X . Обозначим

2 композицию

.

Это означает, что 2

. Точно так же 3

т.е. 3

x

x

,

x

x

.

Вообще, мы будем обозначать n

n-ю (композиционную) степень отображения .

Теорема 2. Пусть X − полное метрическое пространство, − непрерывное отображе-

ние, действующее в X , и пусть существует натуральное число k такое, что k являет-

ся сжимающим отображением. В таком случае имеет единственную неподвижную
точку x . При этом x lim n x0 , x0 X .
	n
Доказательство. Любое натуральное число			n может быть	представлено в виде
n mk i, m,i − целые, неотрицательные числа,			i k . Поэтому
	xn n x0 mk i x0 k m xi .
Когда n , m также стремится к бесконечности. Так как k				− сжимающий опера-
тор, то по теореме 1 при каждом i 0,1,..., k 1 существует предел				lim k m xi xi .
				m
По той же теореме все эти пределы x		совпадают, следовательно, существует общий
	i
предел lim x x . Так как по условию		− непрерывное отображение, то x − непо-
n	n

движная точка . Наконец, любая неподвижная точка − является также неподвижной точкой k . Отсюда следует единственность неподвижной точки.

22

§7.Примеры сжимающих отображений.

Пример 1. Отрезок X a,b с расстоянием между точками d x, y			x y				представ-
ляет собой полное метрическое пространство. Рассмотрим дифференцируемую функ-
цию , удовлетворяющую на этом отрезке неравенствам	a x b и				' x					q 1 .
По теореме Лагранжа x y x y ' c , где c	лежит между x и y .								Отсюда

следует, что x y q x y , т.е. можно рассматривать как сжимающее отоб-
ражение отрезка a, b в себя.
Пусть требуется решить уравнение x x . Решение этого уравнения	x −

неподвижная точка функции . Согласно теореме 1 для нахождения x можно выбрать

начальное приближение x , построить последовательные приближения								x , x , x ,... к x
0								1	2	3
с помощью рекуррентного соотношения. xn 1 xn . Тогда будет x lim xn . В каче-
стве приближенного решения уравнения с назначенной точностью								n
						можно взять xn с
таким номером n , для которого Cqn	d x0 , x1	qn .
	1 q
				1			1
В качестве примера найдём решение уравнения			x		arctg x				с точностью
				2			2

10 5 . В данном случае функция x

1

1

равна

arctg x

. Она переводит отрезок

2

2

0,1 в себя.

Так

как

' x

1

1

,

то

0 ' x 0.4 на 0,1 , q 0.4 и

2 1 x

1/ 2 2

d x0 , x1

C

1

5

.

Поэтому для

достижения

нужной

точности должно быть

1 q

3/ 5

3

6 lg 6

5

0.4 n 10 5

или n

13.1222 . Можно считать, что

x x .

3

1 lg 4

14

Если x0 0 ,

x1

0.23182 ,

x2

0.31588 ,

x3

0.34218 ,

x4

0.34997 ,

x5

0.35224 ,

x6

0.35290 ,

x7

0.35307 ,

x8

0.35314 ,

x9

0.35316 ,

x10 0.35316

x11 x12 x13

x14 0.35316 .

Точно так же, если x0 1 ,

x1

0.49140 ,

x2

0.39054 ,

x3

0.36378 ,

x4

0.35622 ,

x5

0.35405 ,

x6

0.35342 ,

x7

0.35324 ,

x8

0.35319 ,

x9

0.35317 ,

x10 0.35317

x11 x12 x13

x14 0.35316

Оба процесса вычислений приводят к одному и тому же результату: x 0.35316 .

23

Далее дано графическое изображение того же уравнения, переписанного в виде x tg 2x 12 .

Приведенный рисунок показывает, что в случае, когда производная

функции x больше

единицы, вместо последовательных приближений к точному решению уравне-

ния x x можно полу-

чить “последовательные отдаления” от этого решения.

Пример 2. Пусть

f x, y

− функция, непрерывная вместе со своей частной производ-

ной

f y x, y

в

прямоугольнике

b, y0

Обозначим

Q x0

a, x0 a

y0

b .

M

max

f x, y

,

N

max

f

x, y

, и пусть h min

a,

b

,

x

h, x

h .

x, y Q

x, y Q

y

M

0

0

Рассмотрим класс функций X y | y C ,

max

y x y0

b .

Расстояние между

x

элементами

y1, y2 X определим по формуле

d y1, y2 max

y1 x y2 x

. Теоремы

x

о равномерной сходимости последовательностей непрерывных функций показывают, что X − полное метрическое пространство (ПМП).

24

Введём в рассмотрение

интегральный

оператор

A ,

определённый для

любой

0

x

функции y X следующим образом:

Ay z , где

z

x

y

f

s, y

s

ds .

x0

x

z Ay , то

0

Если

y X

и

z

x

y

f

s, y

s

ds

Mh b . Кроме

того,

x0

z C1 . Поэтому A − оператор, действующий из X в X .

Докажем, что существует натуральное число k

такое, что Ak

− сжимающее отоб-

ражение. Мы имеем при x

x

x

Ay1 x Ay2 x

f

s, y1 s

f

s, y2 s ds

N

y1 s y2 s

ds

Nd y1, y2

x x0

.

x0

x0

Поэтому

x

f

s, Ay1 s f s, Ay2 s ds

x

A2 y1 x A2 y2 x

N

Ay1

s Ay2 s

ds

x

x0

N

2

x x0

2

x0

N

Nd y1, y2

s x0

ds

d y1, y2 .

2!

x0

Продолжая это рассуждение, получаем с помощью математической индукции, что

An y1 x An y2 x

N

x x0

n

d y1, y2

Nh n

d

y1, y2 , n , x .

n!

n!

Nh n

Каковы бы ни были N и h , числовая последовательность

стремится к нулю, ко-

n!

Nh

n

гда n

(более того, ряд

n!

eNh

сходится). Поэтому найдётся натуральное

n 0

число k такое, что q

Nh k

1 . Но тогда будет

k !

d Ak y1, Ak y2

qd y1, y2 , y1, y2 X .

25

§8. Задача Коши для уравнения y' f x, y .

1˚. Теорема существования и единственности решения. Рассмотрим задачу Коши:

y '

f

x, y

,

(1)

y x0 y0

где

f x, y − функция,

непрерывная вместе со своей производной

f y x, y в прямо-

угольнике Q x

a, x

a

y

b, y

b . Как и в предыдущем параграфе, обозна-

0

0

0

0

M

f x, y

b

чим

max

,

h min a,

и

h, x0

x0

h . В таком случае существует

x, y Q

M

y y x , являю-

единственная непрерывно дифференцируемая на отрезке функция

щаяся решением задачи Коши (1).

Доказательство (Пикар – Линделёф). ) В предыдущем параграфе было доказано, что

0

x

некоторая степень интегрального оператора

Ay

x

y

f

s, y

s

ds

является сжи-

x0

мающим отображением, действующим в ПМП

X y | x C ,

max

y x

y0 , с

x

расстоянием d y1, y2	max		y1 x y2 x		. По теореме 2 из §6 отображение A имеет
	x

единственную неподвижную точку. Докажем, что задача о неподвижной точке оператора A равносильна задаче (1). Отсюда будет следовать существование и единственность решения задачи Коши, а также его гладкость.

0

x

0

0

Действительно, если,

y

x

y

f

s, y

s

ds ,

то,

прежде всего,

y

x

y

.

Далее,

x0

так как y X , то функция

y x , а вместе с ней и функция

f x, y x , непрерывна на

0

x

отрезке , а функция

y

f

s, y

s

ds

непрерывно дифференцируема на этом отрез-

x0

ке. Причём y '

x

d

x

f

s, y

s

ds

f

x, y

x

, т.е. y

x

− решение задачи Коши (1).

dx x

0

x

x

0

f

Наоборот,

пусть

y '

x

x, y

x

,

тогда

f

s, x

s

ds

y '

s

ds y

x

y

x

.

x0

x0

Если к тому же выполнено начальное условие

y x0

y0 ,

то

Ay y ,

т.е.

y

− непо-

движная точка оператора A .

__________________________________________________

) Пикар (Picard, Charles Emile) − французский математик: 1856 – 1941.

Линделёф (Lindelőf, Ernst Leonard) − финский математик: 1870 – 1946.

26

2˚. Пример. Применить метод последовательных приближений для построения при-

																																												2							2
	ближенного решения задачи Коши																																				y ' x									y									в области														x		,			y		1.
																																					y 0 0
	Решение. В обозначениях, введённых в примере 2 §7,																																																															a b 1, M N 2 ,																																		h					1				.
																																																																																																							2
																				1									1				X z |									z C ,																										x						b . Расстояние между
	В данном случае																									,				,																													max								z
																				2									2																														x
	элементами			z1, z2 X																				определим														по					формуле																d z1, z2 max																							z1 x z2 x																								.
																																																																												x
																																																																													x																		ds . Со-
	Интегральный оператор																					A для y X задаётся формулой																																															Ay x s2																y2 s
																																																																												0
	гласно предыдущему d A2 z1, A2 z2																																					Nh 2									d z1, z2 ,															для z1, z2 X . Поэтому A2																																						явля-
																																								2!
	ется сжимающим отображением в пространстве X .
																																																			x										x3															x				s3 2																		x3				x7
	Пусть y0 x 0 . В таком случае y1 x s2ds																																																																, y2 x											s2														ds														,
																																																			0											3														0				3															3							63
	x									3							7			2														x							6					10												14															3					7							11														15
	y3 x s2					x										x												ds							s2				s							2s											s							ds							x						x								2x													x							,
								3																																						189											3969													3															2079										59535
																63																						6																																						63
	0																																	0
	x		s3				s7							2s11															s15 2									x									s3														2																								x7							2x11									x15
	y4 x s2																																		ds					s2														s											ds ,						где x																																					.
	0			3			63							2079													59535											0												3																																			63							2079							50535
																													x		s3														2								s3						2												x									2s3
	Поэтому y4 x y2 x																																				s																									ds s																											s										ds .
																																	3																						3																									3
																													0																																									0
	Так как x x7									1						2x4														x8																1
																																		, а при								x								выражение в скобках меньше, чем 0.016 ,
								63								2079																														2
																													50535
				1/ 2																				3														1/ 2																					2s			3
	то d y , y						s											2s											s ds															0.016s7																					0.016s7 ds															5 10 7 . Отсюда
	2	4																		3																																						3
					0																																				0
	следует, что d y2 , y																	d y2 , A2 y2																				d y , y															2d y2 , y4 10 6 .
																																											2			4
																													1 q											1 q
	Таким образом, можно считать,																																					что на промежутке 0.5,																																						0.5				с точностью																					10 6
	решение рассматриваемой задачи Коши y совпадает с функцией																																																																y x											x3							x7				.
																																																																												2									3							63
	Некоторые интегральные кривые и изоклины уравнения																																																																	y ' x2 y2																		можно уви-
	деть в §2 на странице 5.

27

3˚. Дополнения.

1. Если в условиях теоремы 1 правая часть уравнения

f x, y

− функция класса Cr Q ,

то решение задачи Коши y x

принадлежит классу Cr 1 .

Действительно, как мы уже знаем,

y C1 , следовательно, композиция

f x, y x

0

x

также принадлежит классу C1

C2

, а так как

y

x

y

f

s, y

s

ds , то y

.

x0

Повторяя это рассуждение, приходи к тому, что y Cr 1 .

2. Рассмотрим задачу Коши с параметром ,

:

1

2

y ' x,

f x, y,

,

(2)

y x0 , y0

где функции f x, y,

и f y x, y, непрерывны на множестве Q . Пусть при этом

выполнены условия

f x, y,

M ,

f y x, y,

N

при всех x, y Q и .

В таком случае y x,

− решение задачи Коши (2) − непрерывно зависит от параметра

.

Это следует из того, что при сделанных предположениях последовательные при-

n

x

ближения, получаемые по формуле y

x,

y

f

s, y

s,

ds из начального

n 1

n

x0

приближения y x, y , непрерывно зависят от

и того, что

y

x, y x,

Cqn

0

0

n

равномерно на множестве x, . Остаётся применить теорему о пределе равномерно сходящихся последовательностях непрерывных функций.

Этот вывод можно распространить на случай задачи Коши, содержащей несколько параметров 1, 2 , 3,...

Решение задачи (2) зависит не только от , но и от x0 и y0 . При сделанных выше предположениях функция y x, , x0 , y0 непрерывно зависит также и от начальных

данных, т.е. от x0 и y0 . Для доказательства можно перейти к новой неизвестной функ-

ции: z x, y x x0 , , x0 , y0 y0 , являющейся решением следующей задачи Коши:

	, y0
z ' g x, z, , x0			, где g x, z, , x0	, y0	f x x0 , z y0 , , (3)
z 0 0

и применить к задаче (3) сформулированное ранее утверждение.

28

§9. Задача Коши для ДУ высшего порядка и для систем нормального вида.

1˚. Рассмотрим задачу Коши

	n				f x; y, y ',..., y	n 1
y
	x0 y
y
				0	0
y '			x		y

. . . . . . . . . .

y n 1 x0 y0n 1

для ДУ n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.

Эта задача равносильна следующей задаче для системы ДУ первого порядка:

y		y
	1			2
y		y
	2			3			,
. . . . . . .
y			y			n
	n 1						n 1
y		f				x; y ,..., y
	n					1

	x0 y1,0
y1
	x0 y2,0
y2
. . . . . . . . . . . . . ,
yn 1 x0 yn 1,0
	x0 yn,0
yn

где	y	y, y	y ',..., y	y n 1 и	y	y , y	y	,..., y	y n 1 .
	1	2	n		1,0	0 2,0	0	n,0	0

(1)

(2)

В свою очередь, задача (2) представляет собой частный случай задачи Коши для

системы ДУ нормального вида

y			f		x; y ,..., y		n
	1		1			1
. . . . . . . . . . . . . . . . . ,
y			f	n		x; y ,..., y		n
	n					1

y1 x0 y1,0

. . . . . . . . . . . . (3)yn x0 yn,0

При исследовании задачи (3) гораздо удобнее использовать векторные обозначения.

писать y1, y2 ,..., yn T y , y1,0 , y2,0 ,..., yn,0 T

y0

f1, f2 ,...,

fn T

Мы будем

и

f

.

В этих обозначениях система (3) приобретает вид:

y '

x; y , y x0 y0 .

(3’)

f

Теорема 1. Предположим,

что все функции

fi , а также все их производные

fi

не-

y j

n

прерывны

в n 1 -мерном

параллелепипеде

.

Q x0 a, x0

a

yi,0 b, yi,0 b

i 1

Mi

fi x, y

, M max Mi

b

Обозначим

max

и h min a,

. Утверждается, что суще-

x, y Q

i

M

x

h

ствует единственная непрерывно-дифференцируемая на отрезке

h, x

век-

0

0

тор-функция y x , являющаяся решением задачи Коши (3’). 29