Элементарная математика / Ponarin-I

Часть I

Планиметрия

§1. Измерение углов, ассоциированных

сокружностью

Вспомним, что с окружностью ассоциированы (связаны) центральные и вписанные в нее углы. Центральный угол измеряется соответствующей ему дугой окружности, а вписанный — половиной дуги, высекаемой на окружности сторонами угла и заключенной внутри угла. Рассмотрим еще три случая взаимного расположения угла и окружности.

1.1. Угол с вершиной внутри окружности. Пусть вершина S угла

ASB лежит внутри окружности, а его стороны пересекают окружность в точках A и B (рис. 1). Пусть лучи, дополнительные к лучам SA и SB, пересекают окружность в точках C и D. Найдем зависимость между градусной мерой угла ASB и градусными мерами дуг AB и CD. Угол ASB является внешним углом треугольника SBC. По теореме о внешнем угле треугольника ASB = ACB + DBC. А эти

углы измеряются соответственно половинами дуг AB и CD. Поэтому

ASB = 12 (`AB + `CD).

Таким образом, угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями.

Другое доказательство этой теоремы получим, если проведем хорду BE, параллельную хорде AC (рис. 2). Тогда ASB = DBE =

= 12 `DE = 12 (`DC + `CE). Дуги AB и CE равны, поскольку они симметричны относительно диаметра окружности, перпендикулярного хордам AC и BE.

A D

D A

S S

C

	C
B	B
	E
Рис. 1	Рис. 2

1.2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности. Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.

13

Действительно, пусть стороны угла ASB пересекают данную окружность вторично в точках C и D (рис. 3). Тогда для внешнего угла CBD треугольника SBC имеем CBD = ASB + ACB, откуда, переходя к дугам CD и AB, на которые опираются вписанные углы CBD и ACB,

получаем доказываемое соотношение: ASB = 12 (`CD − `AB).

В этом можно убедиться с помощью хорды BE, параллельной хорде AC (рис. 4):

ASB = DBE = 12 `DE = 12 (`DC − `CE) = 12 (`DC − `AB).

CC

	A		E	A
S	B	D	D	B	S
	Рис. 3			Рис. 4

1.3. Угол между секущей и касательной может иметь вершину на окружности (рис. 5) или же вне ее (рис. 6). В первом случае, если этот угол ASB острый, то он равен разности прямого угла BSD и вписанно-

го угла ASD. Следовательно, ASB = 90◦ − 12 `DA = 12 `SD − 12 `DA =

= 12 `SA. Если угол ASB тупой, то аналогичными рассуждениями получаем тот же результат. Итак, доказано, что угол с вершиной на окружности между ее хордой и касательной измеряется половиной дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла.

D

	A
			A
O
S	B	C	B	S
Рис. 5			Рис. 6

Используя доказанный факт SAB = 12 `AB , для второго случая (рис. 6) получаем:

ASB = ABC − SAB = 12 `AC − 12 `AB = 12 (`AC − `AB).

14

Итак, если секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.

З а д а ч а 1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол между прямыми AB и CD равен a, а угол между прямыми AD и BC равен b. Найти углы данного четырехугольника.

Р е ш е н и е. Обозначим градусные меры дуг AB, BC, CD и DA через x, y, z и t соответственно. Пусть g — угол между диагоналями AC и

BD (рис. 7). Тогда x + y + z + t = 360◦. На основании доказанных те-

орем имеем: a = 12 (t − y), b = 12 (x − z), g = 12 (y + t). Сложением либо вычитанием этих равенств находим: t = a + g, y = g − a, x = 180◦ + b − g,

z = 180◦ − b − g. Далее получаем окончательно:

BAD = 12 (y + z) = 12 (180◦ − a − b),ABC = 12 (z + t) = 12 (180◦ + a − b),BCD = 12 (x + t) = 12 (180◦ + a + b),ADC = 12 (x + y) = 12 (180◦ − a + b).

З а д а ч а 2. В треугольнике ABC отрезок A1B1, соединяющий основания высот AA1 и BB1, виден из середины стороны AB под углом a. Найти величину угла C этого треугольника.

Р е ш е н и е. Так как из точек A1 и B1 отрезок AB виден под пря-

мыми углами, то они лежат на окружности с диаметром AB (рис. 8). Поэтому C = 12 (`AB − `A1B1) = 12 (180◦ − a) = 90◦ − a2 .

				a		C
		B		y		B1
	x			C		A1
						a
			g	z	A	B
				b		O
A				D
			t
			Рис. 7			Рис. 8

15

Упражнения

1.1.Не пользуясь формулами площади треугольника, докажите, что высота треугольника равна произведению не соответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной около этого треугольника окружности.

1.2.Две окружности касаются внешне в точке A. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается их в точках M и N. Докажите, что угол MAN прямой.

1.3.Две окружности касаются внутренним образом в точке S. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке P . Докажите, что луч SP делит угол ASB пополам.

1.4.В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB и AC в точках D и E. Докажите, что центр окружности, вписанной

втреугольник ADE, принадлежит первой окружности.

1.5.В окружность вписан четырехугольник ABCD. Точки A1, B1, C1, D1 являются соответственно серединами дуг AB, BC, CD, DA. Докажите, что прямые A1C1 и B1D1 перпендикулярны.

1.6.Около треугольника ABC описана окружность. Биссектрисы его углов A, B, C пересекают эту окружность соответственно в точках A1, B1, C1. Докажите, что прямые AA1, BB1, CC1 перпендикулярны сторонам треугольника A1B1C1.

1.7.Прямые AA1, BB1, CC1, содержащие высоты остроугольного треугольника ABC, пересекают описанную около него окружность в точках A1, B1, C1. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы углов треугольника A1B1C1.

1.8.Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке I. Биссектриса угла C вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D. Докажите, что AD = DI.

§2. Пропорциональные отрезки

2.1.Свойство ряда равных отношений. Если имеем ряд равных от-

ношений
a1 = a2 = . . . = an = k,
b1	b2	bn

то ai = kbi (i = 1, 2, . . . , n). Пусть t1, t2, . . . , tn — л ю б ы е действительные числа, при которых t1b1 + t2b2 + . . . + tnbn 6= 0. Тогда t1a1 = t1kb1, t2a2 = t2kb2, . . . , tnan = tnkbn. Сложив эти равенства, получим: t1a1 + + t2a2 + . . . + tnan = k(t1b1 + t2b2 + . . . + tnbn), откуда

t1a1 + t2a2 + . . . + tnan	= k =	ai	, где i = 1, 2, . . . , n.	(2.1)
t1b1 + t2b2 + . . . + tnbn
		bi

16

Это свойство можно эффективно использовать в задачах. В частно-
сти, при t1 = t2 = . . . = tn = 1 имеем
	a1 + a2 + . . . + an = ai ,			где i = 1, 2, . . . , n.
	b1 + b2 + . . . + bn		bi
Например, если ai и bi — длины соответственных сторон двух подобных
многоугольников, то это равенство означает, что их периметры отно-
сятся как соответственные стороны.
2.2. Пропорциональные отрезки на сторонах угла. Если сторо-
ны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсека-
емые ими на одной стороне этого уг-
ла, пропорциональны соответственным								C
отрезкам, отсекаемым ими на другой
его стороне (рис. 9):							B	C2
OA	AB	BC
						A	B2
OA1 = A1B1 = B1C1 = . . .
Для доказательства построим отрез-					O	A1	B1	C1
ки AB2, BC2, . . . , параллельные стороне
OA1 данного угла с вершиной O. Тре-							Рис. 9
угольники OAA1, ABB2, BCC2, . . . по-
добны в силу равенства соответственных углов при параллельных пря-
мых OA1, AB2, BC2, . . . и соответственных углов при параллельных
прямых AA1, BB1, CC1, . . . Отсюда следует:

OA = AB = BC = . . .

OA1 AB2 BC2

Поскольку AB2 = A1B1, BC2 = B1C1, . . . , то сформулированное предложение доказано.

В частности, если OA = AB = BC = . . ., то и OA1 = A1B1 = B1C1 = . . .

Следовательно, если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла, то на ней отсекаются также равные отрезки

(т е о р е м а Ф а л е с а).

Обратная теорема. Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, . . . и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA1, A1B1, B1C1, . . . (рис. 9):

OA = AB = BC = . . . ,

OA1 A1B1 B1C1

то прямые AA1, BB1, CC1, . . . параллельны.

17

Действительно, на основе предыдущего свойства ряда равных от-

ношений	OB	=	OA + AB	=	OA	, т. е.	OB	=	OA	. Следовательно,
			OA1 + A1B1
	OB1				OA1		OB1		OA1

треугольники OAA1 и OBB1 гомотетичны и поэтому AA1 k BB1. Аналогично AA1 k CC1.

В частности, если OA = AB = BC = . . . и OA1 = A1B1 = B1C1 = . . . , то прямые AA1, BB1, CC1, . . . параллельны. (О б р а т н а я т е о р е м а Ф а л е с а.)

2.3. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых. Если

две параллельные прямые пересечены прямыми, проходящими через

одну точку, то на данных параллель-

O

ных прямых отсекаются пропорциональ-

ные отрезки (рис. 10):

AB

=

BC

=

CD

= . . .

A

B

C

D

A1B1

B1C1

C1D1

Действительно, зададим гомотетию с

центром в точке O пересечения секущих

прямых и парой соответственных точек

A1 →A. Она отображает B1 на B, C1 на C,

A1

B1

C1

D1

D1 на D, . . . По свойству гомотетии рас-

Рис. 10

сматриваемые отношения отрезков равны

коэффициенту гомотетии.

Другое доказательство можно получить, рассматривая пары подобных треугольников OAB и OA1B1, OBC и OB1C1, OCD и OC1D1.

2.4. Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежа-

	щим сторонам треугольника.	E
	Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть CD — биссек-
	триса треугольника ABC (рис. 11). Построим	C
	BE k CD. Тогда ACD = AEB и BCD =
	= CBE, а так как ACD = BCD, то AEB =
	= CBE и поэтому BC = CE. По теореме п. 2.2

	AD	=	AC	, т.е.	AD	=	AC	, что и требовалось до-
	DB				DB
			CE			BC		A	D B
казать.
	Обратимся				теперь к			биссектрисе внешнего	Рис. 11
угла треугольника. В равнобедренном треуголь-

нике биссектриса внешнего угла при общей вершине равных сторон параллельна третьей стороне (основанию) треугольника. В остальных случаях биссектриса внешнего угла пересекает прямую, содержащую

18

Рис. 12

противоположную сторону. Точка пересечения обладает свойством, ана-
логичным доказанному выше:
Если биссектриса внешнего угла треугольника ABC пересекает
прямую, содержащую его противоположную сторону, то расстоя-
ния от точки пересечения до кон-
цов этой стороны	пропорциональны		C
прилежащим сторонам треугольника		E
(рис. 12):
DA = AC .
DB	BC	B	D
	A

Доказательство не отличается от доказательства предыдущей теоремы.

2.5. Секущие к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей к этой окружности.

Теорема. Если через данную точку, не принадлежащую данной окружности, проведена к ней произвольная секущая, то произведение отрезков секущей, соединяющих данную точку с точками ее пересечения с окружностью, не зависит от выбора секущей.

Для доказательства проведем через данную точку M две произвольные секущие AB и CD (рис. 13 и 14). Треугольники MAD и MCB подобны, так как B = D и A = C по свойству вписанных углов. В случае, когда точка M вне окружности, углы MAD и MBC являются

смежными к равным вписанным углам. Из подобия этих треугольников

следует MDMA = MBMC , или MA · MB = MC · MD, что и надо было доказать.

B

A	C
	M	A
	B
D
		M
	D	C
	Рис. 13	Рис. 14

2.6. Среднее геометрическое. Если имеет место пропорция a : x = x : b,

то величина x называется средним геометрическим (средним пропор-

циональным) величин a и b. Тогда

√

x2 = ab и x = ab.

19

	Рассмотрим наиболее распространенные случаи, когда один отрезок
является средним геометрическим двух других.
	В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CD к гипо-
тенузе AB (рис. 15). Используем общепринятые обозначения: BC = a,
CA = b, AB = c, CD = h, AD = b1, BD = a1. Прямоугольные треуголь-
ники ABC и ACD подобны (имеют общий острый угол A). Аналогично
					подобны треугольники ABC и BCD. Сле-
		C			довательно, подобны и треугольники ACD
					и BCD. Из подобия треугольников в этих
	b			a	парах имеем соответственно:
		h
					b = c,		a = c ,		b1	= h ,
		b1	a1		b1	b	a1	a	h	a1
					откуда
A		D	c	B
			Рис. 15		b2 = cb1,		a2 = ca1,		h2 = a1b1.

	C		Итак, в прямоугольном треугольнике
			высота, опущенная на гипотенузу, есть
	h		средняя	геометрическая величина проек-
			ций катетов на гипотенузу, а каждый из
	A	B	катетов есть средняя геометрическая ве-
	D	O	личина гипотенузы и его проекции на ги-
			потенузу.
			Вершина C прямого угла лежит на
		Рис. 16	окружности с диаметром AB. Поэтому это
			же свойство можно сформулировать еще
			так (рис. 16):
	Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на ее диаметр,
	есть средняя геометрическая величина отрезков, на которые он де-
	лит диаметр, а каждая хорда, соединяющая данную точку с концами
	этого диаметра, есть средняя геометрическая величина диаметра и
	проекции этой хорды на диаметр.
	Следствия. Складывая		равенства a2 = ca1 и b2 = cb1, получаем:
	a2 + b2 = (a1 + b1)c = c2. При почленном делении этих же равенств имеем:
			a2 = a1 .
			b2	b1
	Итак,	попутно с предыдущими		свойствами получены еще два:
	1) в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна
	квадрату гипотенузы, 2) квадраты катетов прямоугольного треуголь-
	ника относятся как их проекции на гипотенузу.

20