- •Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора. Определение емкости конденсатора
- •Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора. Определение емкости конденсатора
- •Электроёмкость.
- •Конденсаторы.
- •Соединение конденсаторов.
- •Энергия конденсатора.
- •Квазистационарные токи. Процессы зарядки и разрядки конденсатора.
- •Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора. Определение емкости конденсатора
- •690091, Г. Владивосток, ул. Суханова, 8
- •690091, Г. Владивосток, ул. Суханова, 8
-
Конденсаторы.
Емкостью обладают не только отдельные проводники, но и системы проводников. Система, состоящая из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, называется конденсатором. Проводники в этом случае называются обкладками конденсатора. Заряды на обкладках имеют противоположные знаки, но по модулю – одинаковы. Практически все поле конденсатора сосредоточено между обкладками и.
Емкостью конденсатора называется величина
С= , (1)
где q – абсолютная величина заряда одной из обкладок, U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками.
В зависимости от формы обкладок, конденсаторы бывают плоскими, сферическими, цилиндрическими.
Найдем емкость плоского конденсатора, обкладки которого имеют площадь S, расположены на расстоянии d, а пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε.
Если поверхностная плотность заряда на обкладках равна σ (σ= ), то напряженность поля конденсатора (поле считается однородным) равна:
Е= =
Разность потенциалов между обкладками связана с напряженностью поля: Е = , откуда получим U=Ed = =
Используя формулу ( 1 ), получим для емкости плоского конденсатора выражение:
С = (2)
-
Соединение конденсаторов.
Используются два основных вида соединения: последовательное и параллельное.
При параллельном соединении (рис 1), общая емкость батареи равна сумме емкостей всех конденсаторов:
Собщ.= С1 +С2+С3+…=ΣСi . (3)
При последовательном соединении (рис.2) величина, обратная общей емкости, равна сумме величин, обратных емкостям всех конденсаторов:
. (4)
Если последовательно соединены n конденсаторов с одинаковой емкостью С, то общая емкость: Собщ.=
Рис. 1.Параллельное соединение. Рис. 2.Последовательное соединение
-
Энергия конденсатора.
Если процесс зарядки конденсатора является медленным (квазистационарным), то можно считать, что в каждый момент времени потенциал любой из обкладок конденсатора во всех точках одинаков. При увеличении заряда на величину dq совершается работа , где u – мгновенное значение напряжения между обкладками конденсатора. Учитывая, что , получаем: . Если емкость не зависит от напряжения, то эта работа идет на увеличение энергии конденсатора. Интегрируя данное выражение, получим:
,
где W – энергия конденсатора, U – напряжение между обкладками заряженного конденсатора.
Используя связь между зарядом, емкостью конденсатора и напряжением, можно представить выражение для энергии заряженного конденсатора в других видах:
. (5)
-
Квазистационарные токи. Процессы зарядки и разрядки конденсатора.
При зарядке или разрядке конденсатора в цепи конденсатора течет ток. Если изменения тока происходят очень медленно, то есть за время установления электрического равновесия в цепи изменения токов и э.д.с. малы, то для определения их мгновенных значений можно использовать законы постоянного тока. Такие медленно меняющиеся токи называют квазистационарными.
Так как скорость установления электрического равновесия велика, под понятие квазистационарных токов подпадают и довольно быстрые в обычном понимании процессы: переменный ток, многие электрические колебания, используемые в радиотехнике. Квазистационарными являются и токи зарядки или разрядки конденсатора.
Рассмотрим электрическую цепь, общее сопротивление которой обозначим R. Цепь содержит конденсатор емкостью C, подключенный к источнику питания с э.д.с. ε (рис. 3).
Рис. 3. Процессы зарядки и разрядки конденсатора.
Зарядка конденсатора. Применяя к контуру εRC1ε второе правило Кирхгофа, получим: ,
где I, U – мгновенные значения силы тока и напряжения на конденсаторе (направление обхода контура указано стрелкой).
Учитывая, что , , можно привести уравнение к одной переменной:
.
Введем новую переменную: . Тогда уравнение запишется:
.
Разделив переменные и проинтегрировав, получим: .
Для определения постоянной А используем начальные условия:
t=0, U=0, u= - ε. Тогда получим: А= - ε. Возвращаясь к переменной , получим окончательно для напряжения на конденсаторе выражение:
. (6)
С течением времени напряжение на конденсаторе растет, асимптотически приближаясь к э.д.с. источника (рис.4, I.).
Разрядка конденсатора. Для контура CR2C по второму правилу Кирхгофа: RI=U. Используем также:
, и (ток течет в обратном направлении).
Приведя к переменной U, получим:
. Интегрируя, получим: .
Постоянную интегрирования B определим из начальных условий: t=0, U=ε. Тогда получим: В=ε.
Для напряжения на конденсаторе получим окончательно:
. (7)
С течением времени напряжение падает, приближаясь к 0 (рис. 4, II).
Рис. 4. Графики зарядки (I) и разрядки (II) конденсатора.
-
Постоянная времени. Характер протекания процессов зарядки и разрядки конденсатора (установление электрического равновесия) зависит от величины:
, (8)
которая имеет размерность времени и называется постоянной времени электрической цепи. Постоянная времени показывает, через какое время после начала разрядки конденсатора напряжение уменьшается в e раз (е=2,71).
Теория метода
Прологарифмируем выражение (7):
(учли, что RC=τ).
График зависимости lnU от t (линейная зависимость) выражается прямой линией (рис.5), пересекающей ось y (lnU) в точке с координатами (0; lnε). Угловой коэффициент К этого графика и будет определять постоянную времени цепи: , откуда:
. (9)
Рис. 5. Зависимость натурального логарифма напряжения от времени при разрядке конденсатора
Используя формулы: и , можно получить, что для одного и того же интервала времени : .
Отсюда: . (10)
Экспериментальная установка
Установка состоит из основного блока – измерительного модуля, имеющего клеммы для подключения дополнительных элементов, источника питания, цифрового мультиметра и набора минимодулей с различными значениями сопротивления и емкости.
Для выполнения работы собирается электрическая цепь в соответствии со схемой, изображенной на верхней панели модуля. В гнезда «R1» подключается минимодуль с номиналом 1Мом, в гнезда «R2» - минимодуль с номиналом 100Ом. Параметры исследуемого конденсатора, подключаемого в гнезда «С», задаются преподавателем. В гнезда подключения амперметра устанавливается перемычка. В гнезда вольтметра подключается цифровой мультиметр в режиме вольтметра.
Следует отметить, что сопротивления резисторов заряда-разряда (минимодулей) R и цифрового вольтметра RV образуют делитель напряжения, что приводит к тому, что фактически максимальное напряжение на конденсаторе будет равно не ε, а ,
где r0- сопротивление источника питания. Соответствующие поправки необходимо будет вносить и при вычислении постоянной времени. Однако, если входное сопротивление вольтметра (107Ом) значительно превышает сопротивление резисторов, и сопротивление источника мало, то данными поправками можно пренебречь.
Порядок выполнения работы
-
Собрать электрическую цепь с заданным преподавателем значением емкости. Тумблер (переключатель заряда-разряда) установить в среднее положение (стоп). Переключатель предела измерения цифрового мультиметра установить в положение «20В» (режим измерения постоянного напряжения).
-
Подключить модуль к сети переменного тока (клавиша включения на задней панели модуля) и установить выходное напряжение , заданное преподавателем (6,5В-15В). Включить цифровой мультиметр. Нажатием кнопки «Сброс» подготовить модуль к началу измерений.
-
Тумблер перевести в положение «Заряд». При этом запускается секундомер, и начинает меняться напряжение на конденсаторе (показания вольтметра). Довести напряжение на конденсаторе до значения примерно 0,8ε.
-
Сбросить показания секундомера нажатием кнопки «Сброс». Перевести тумблер в положение «Разряд» и измерять напряжения на конденсаторе при его разрядке с интервалом времени 5с. Занести данные в таблицу 1.
-
Подключить в цепь конденсатор с неизвестным значением емкости и повторить измерения по п. 4. Данные занести в таблицу 2.
-
Подключить в цепь конденсатор и резистор с другим известным значением емкости. Повторить измерения по п. 4. Данные занести в таблицу 3.
-
Нажать кнопку «Сброс». Выключить источник питания и мультиметр. Отключить от сети измерительный модуль и отсоединить от него дополнительные элементы.
Таблица 1
ε= В, R1= Ом, , С1= Ф |
||||||||
Разрядка |
t (с) |
|
|
|
|
|
|
|
U (В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lnU |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1±Δτ1 (с) |
|
Таблица 2
ε= В, R1= Ом, Сх=? Ф |
||||||||
Разрядка |
t (с) |
|
|
|
|
|
|
|
U (В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lnU |
|
|
|
|
|
|
|
|
τх±Δτх (с) |
|
|||||||
Сх±ΔСх (Ф) |
|
Таблица 3
ε= В, R2= Ом, С2 = Ф |
||||||||
Разрядка |
t (с) |
|
|
|
|
|
|
|
U (В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lnU |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ2±Δτ2 (с) |
|
Обработка результатов измерения
По результатам измерений студенты выполняют одно из следующих заданий (по указанию преподавателя).
Задание 1. Построение кривых разрядки конденсаторов и экспериментальное подтверждение закона, описывающего данный процесс.
-
Используя данные, взятые из таблиц 1 и 3, постройте графики зависимости напряжения от времени при разрядке конденсаторов С1и С2. Проанализируйте их, сравните с теоретическими (рис. 4).
-
Постройте графики разрядки конденсаторов С1и С2 в осях (lnU, t). Проанализируйте их, сравните с теоретическими (рис. 5).
-
Определите по графикам угловые коэффициенты К1и К2. Среднее значение углового коэффициента находится как отношение, определяющее тангенс угла наклона прямой:
.
-
Случайные погрешности графическим методом можно оценить по отклонению опытных точек относительно проведенной прямой. Относительная погрешность углового коэффициента может быть найдена согласно формуле:
,
где δ(lnU) – отклонение (в проекции на ось lnU) от прямой линии наиболее удаленной опытной точки, - интервал, на котором сделаны измерения.
-
По значениям угловых коэффициентов определите постоянные времени τ1 и τ2, используя формулу (9). Сравните полученные значения со значениями постоянной времени, рассчитанными по формуле (8).
-
Посчитайте относительные и абсолютные погрешности для постоянной времени: , .
-
Сделайте выводы о соответствии экспериментальных графиков экспоненциальному виду зависимости напряжения от времени, и о влиянии постоянной времени на протекание процессов зарядки и разрядки конденсатора.
Задание 2. Определение неизвестной емкости конденсатора.
-
Используя данные, взятые из таблиц 1 и 2, постройте графики зависимости напряжения от времени при разрядке конденсаторов С1 и Сх. Проанализируйте их, сравните с теоретическими (рис. 4).
-
Постройте графики разрядки конденсаторов С1 и Сх в осях (lnU, t). Сравните их и сделайте вывод о соотношении постоянных времени (см. рис.5).
-
Определите по формуле (10) неизвестную емкость, используя графики и данные таблиц 1 и 2.
-
Найдите относительные погрешности угловых коэффициентов εК1 и εкх (см. п.4 задания 1).
-
Определите относительную и абсолютную погрешности емкости:
, .
-
Сравните полученное значение Сх со значением, измеренным при помощи цифрового мультиметра в режиме измерения емкости. Сделайте вывод.
Дополнительное задание.
Рассчитайте энергию заряженного конденсатора, используя формулу (5).
Контрольные вопросы
-
Что представляет собой конденсатор? Что называется емкостью конденсатора?
-
Докажите, что электрическое поле плоского конденсатора сосредоточено между его обкладками.
2. Сколько надо взять конденсаторов емкостью 2мкФ и как их соединить,
чтобы получить общую емкость 5 мкФ?
-
Как можно найти энергию заряженного конденсатора?
-
Какие токи называются квазистационарными? Почему токи зарядки и разрядки конденсатора можно отнести к квазистационарным?
-
По какому закону изменяется напряжение на конденсаторе в процессах а) зарядки и б) разрядки?
-
Что показывает постоянная времени цепи? От чего она зависит?
-
Зачем в данной работе строится график зависимости lnU от t?
-
Как в данной работе определяется постоянная времени электрической цепи?
ЛИТЕРАТУРА
1.Трофимова Т.И. Курс физики. / Т.И. Трофимова. - М.: Высшая школа, 2006-2009 г. г. – 544с.
2 Савельев И.В. Курс физики. В 3-х томах. Том 2. Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. Изд. 3-е, стереотип. / И.В. Савельев - М.: Лань, 2007. - 480 с.
3. Грабовский Р. И. Курс физики / Р.И. Грабовский - СПб: издательство «Лань», 2012. – 608с.
4 Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. В 3-х томах. Том 2. Электричество и магнетизм / Г.А. Зисман, О.М. Тодес - СПб: «Лань», 2007. - 352 c.
Концевой титул
Учебное издание
Составитель:
Плотникова Ольга Васильевна