Линейная алгебра / lectures

2Комплексные числа, формула Эйлера

Как известно, люди постоянно изобретали новые числовые множества, чтобы решать новые классы задач, которые возникали по мере развития науки и техники. Сначала были изобретены натуральные числа, затем рациональные и иррациональные. Следующим шагом стало изобретение комплексных чисел. Нужно отметить, что в отличие от "предыдущего"числового множества – иррациональных чисел, которые возникли из вполне разумной геометрической задачи, комплексные числа в некотором смысле стали результатом вечного стремления математиков к обобщению, никакой особенной практической необходимостью не подкрепленному. Обобщение в данном случае заключалось в возможности решения новых уравнений, которые не имеют корней в поле вещественных чисел4. Самый простой пример такого уравнения:

x2 = 1 :

Вспомните, как вводятся иррациональные числа: мы добавляем к нату- p p

ральным числам сущности вида 2; 5 7 и т.п. Теперь же мы добавим к ним еще и корень уравнения x2 = 1. Назовем его числом i = p 1, или мнимой единицей. Термин возник еще в те времена, когда математики относились к этому числу с недоверием, считая его "фиктивным". Разумеется, возникает вопрос: почему мы добавилиpкорень только этого уравнения? Не следует ли еще добавить, скажем, 4 13? Оказывается, что в этом нет необходимости! Как только к вещественным числам добавлено одно лишь число i, все алгебраические уравнения (то есть уравнения вида P (x) = 0, где P (x) – произвольный многочлен над полем вещественных чисел) уже имеют решения. Более того, решений у них ровно столько, какова степень многочлена P (x) (это утверждение носит название основной теоремы алгебры, мы докажем его чуть позже). Теперь перейдем к формальному определению:

Определение. Комплексными числами называются числа вида a + bi, где a; b – вещественные числа, а i – корень из 1.

Несмотря на то, что комплексные числа были изобретены во "внутриматематических"целях, оказалось, что природа устроена таким образом, что многие ее законы гораздо удобнее формулируются на языке

4Интересна здесь роль итальянского математика Джероламо Кардано: он первый известный "пользователь"комплексных чисел. Они понадобились ему для решения уравнений третьей степени с помощью формулы, которая теперь носит его имя. Оказывается, даже в тех случаях, когда корни кубического уравнения вещественны, формула ведет к ним через промежуточные выкладки, в которых приходится обращаться к комплексным числам.

11

комплексных чисел5. Множество комплексных чисел обозначается C – от английского complex.

2.1Операции

Как видно из основного определения, комплексное число состоит из двух частей – вещественного числа и вещественного числа, умноженного на мнимую единицу. Первое называется вещественной частью числа (Re, "real- "вещественный"), а второе – мнимой (=, "imaginary- "воображаемый "мнимый"):

z = a + bi , a = <(z); b = =(z):

На множестве комплексных чисел заданы три основные операции:

1.Сложение: пусть даны комплексные числа z1 = a + bi и z2 = c + di, тогда их можно сложить: z1 + z2 = a + bi + c + di = (a + c) + i(b + d). Таким образом, складываются комплексные числа покомпонентно

– отдельно вещественные и отдельно мнимые части.

2.Умножение: пусть даны числа z1 = a + bi и z2 = c + di, тогда их можно перемножить, просто раскрыв скобки по обычным правилам:

z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac + cbi + adi + bdi2 = = ac + cbi + adi bd = ac bd + i(ad + bc) :

Мы воспользовались здесь тем, что i2 = 1 – так как p 1 = i. Таким образом, умножение комплексных чисел производится просто

с помощью раскрытия скобок.

3.Сопряжение: по определению, сопряженным к комплексному числу z = a + bi называется число z = a bi. При сопряжении вещественная часть остается неизменной, а у комплексной части меняется знак.

Замечание. Две из перечисленных операций по существу аналогичных соответствующим операциям над вещественными числами, в то время как операция сопряжения же является появляется во множестве комплексных чисел. Эта операция – унарная, так как у нее всего один аргумент, т.к. она принимает на входе комплексное число, а на выходе дает

5Кстати, во Владивостоке существует музыкальная группа "Комплексные числа"(сайт: http://complexnumbers.ru/), в текстах песен которой много разных забавных вещей из математики и физики. Вот, например, песня "Над землею алеет закат"посвящена парадокcу близнецов. Основатель группы В.Аргонов около десяти лет назад закончил ИФИТ ДВФУ

12

сопряженное к нем. Арифметические операции называются бинарными, так как им требуется два числа для выполнения действия (сложения, умножения и т.п.).

Замечание. Мы не указали в числе операций вычитание. На самом деле, вычитание – это всего лишь прибавление обратного, поэтому эти операции объединяют. Что такое "обратный"? Для сложения обратный к комплексному числу – это такое комплексное число, при сложении с которым получается ноль. Так, например, обратным к числу a + bi является число a bi. Отнять от числа c+di число a+bi – то же самое, что прибавить к c + di число a bi.

Мы пока не успели обсудить только одну операцию над комплексными числами – деление. Делить комплексные числа можно, используя простой прием, который мы сейчас обсудим. Собственно, деление – это операция, обратная к умножению. Разделить – значит умножить на обратное. Так, например, разделить на 5 это все равно, что умножить на 15 . Точно так же разделить комплексное число z1 на число z2 – то же самое, что перемножить z1 и z2 1. Остается научиться находить обратное к комплексному числу. Это позволяет сделать следующая

Лемма. Обратным по умножению к комплексному числу z = a + bi

является число z 1 =

a2 bi2

:

a +b

Лемма доказывается прямым перемножением, которое дает zz 1 = 1.

Пример. Вычислить

1+i

.

Решение.

3+4i

1 + i

= (1 + i)

1

= (1 + i)

3 4i

=

(1 + i)(3 4i)

3 + 4i

3 + 4i

32 + 42

32 + 42

7 i

=

7

i

1

:

Величина p

25

25

25

для комплексного числа z

= a + bi называется

a2 + b2

модулем.

2.2Тригонометрическая и показательная формы

Произвольное комплексное число z = a+bi может быть представлено в виде z = R(cos ' + i sin '). Это легко понять из геометрического представления комплексного числа. При этом величины R; ' связаны с a и b по формулам:

a = R cos '; b = R sin ' ;

R = pa2 + b2; ' = arctan ab :

13

Представление комплексного числа в виде z = R(cos ' + i sin ') называется его тригонометрической формой. Обычную форму z = a + bi иногда называют канонической.

Одним из самых замечательных свойств комплексных чисел является соотношение, известное, как формула Эйлера. Оно позволяет переходить от тригонометрической формы записи к показательной, которая очень удобна для возведения комплексных чисел в степень:

Теорема (формула Эйлера).

cos ' + i sin ' = ei :

2.3Комплексные числа в MATLAB

Все современные пакеты программ, ориентированные на решение математических задач поддерживают комплексные числа в той же мере, в какой и вещественные. Нужно однако понимать, что одну и ту же операцию над вещественными и комплексными числами компьютер выполняет с разной скоростью. Давайте посмотрим, что позволяет сделать с комплексными числами MATLAB.

¿ (3+4*i)*(5+6*i)

ans =

-9.0000 +38.0000i

Как видите, MATLAB понимает, букву i как мнимую единицу и обращается с ней соответственно. Функции abs() и angle вычисляют соответственно модуль и аргумент данного комплексного числа.

2.4Книги

Обязательно прочтите первый параграф пятой главы из книги [2]. Пропустите пункт 1, если будет непонятно. Там много дополнительной информации и, возможно, что-то, что преподаватель забыл вам рассказать сейчас, но неожиданно вспомнит на экзамене.

2.5Задачи к лекции

Пока существуют в виде отдельного файла.

Список литературы

1. Варден . . . . Алгебра. Москва: Наука, 1985. 649 с.

14

2.Кострикин . . Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 272 с.

15