fizika / Физика билеты на экзамены / б (21) / 21

21..Вынужденные механические колебания. Амплитудные резонансные кривые.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Амплитудная резонансная кривая. Резонанс. Построим зависимость А(), график которой называется амплитудной резонансной кривой. Вид этой кривой зависит от величины коэффициента затухания (см. рис. 13.4). Амплитуда, соответствующая значению частоты  = 0, называется статическим смещением. Т.к. F₀ = k·A_ст, то

А_ст = F₀/(m·w₀²) = F₀/k.     (13.7)

Из графика видно, что при определенном значении частоты вынуждающей силы амплитуда осциллятора становится максимальной.

Явление, при котором  амплитуда колебаний системы достигает максимального значения, характерного для некоторого значении частоты вынуждающей силы называется резонансом. 

Частота вынуждающей силы, при которой наступает данное явление, называется резонансной. Приравнивая к нулю производную выражения (13.5) по частоте и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим формулы для расчета резонансной частоты _рез и амплитуды А_рез:

_рез = (_² - 2²)^1/2;     (13.8) А_рез = F₀/(2m··w₀).       (13.9)

При значении  = 0 амплитуда колебаний в резонансе стремится к бесконечности. 

Важной характеристикой осциллятора является отношение амплитуды его колебаний в резонансе к ее статическому значению. Из формул (13.7) и (13.9) следует, что это отношение равно добротности системы:

А_рез/А_ст = /d = Q, где d - логарифмический декремент затухания.

Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.

Рассмотрим качественно физическую картину вынужденных колебаний в различных областях частот.

а)  << w₀. В уравнении движения (13.1) слагаемые, пропорциональные ускорению и скорости, много больше слагаемого w_о²·х, связанного с упругой силой. Следовательно, уравнение движения сводится к следующему виду:

w_о²·х = F₀/m · cos(·t); x = F₀ cos(·t)/k = F(t)/k.

Таким образом каждый момент времени смещение являлось таким, каким оно должно было бы быть, если бы сила не изменялась со временем и равнялась своему мгновенному значению. Силы трения роли не играют. Смещение совпадает по фазе с внешней силой.

б)  >> w₀. При большой частоте вынуждающей силы слагаемое, обусловленное ускорением, много больше слагаемых, связанных со скоростью и упругой силой. Таким образом, силы упругости и силы трения не играют никакой роли в колебаниях. Внешняя сила действует на осциллятор так, как если бы этих сил не было. Поэтому уравнение движения имеет вид:

x'' = F₀/m · cos(·t).

Решение этого уравнения представляется формулой:

x = - F₀/(m·^) · cos(·t) = - F(t)/(m·^).

Смещение отстает от силы по фазе на .

в) Случай резонанса  = w₀. Слагаемое, связанное с ускорением, равно слагаемому, обусловленному упругой силой, т.е. x'' = - ^·x = - w_^·x. Это значит, что ускорение создается силой упругости, а внешняя сила и сила трения взаимно компенсируются. Уравнение движения имеет вид:

2·x' = F₀/m · cos(·t).

Решение этого уравнения представляется формулой:

x = F₀/(2·m·w_) · sin(w_·t).

Смещение отстает от силы по фазе на .