Барометрические формулы

Основное уравнение статики является одним из важнейших уравнений метеорологии, на основе которого устанавливаются закономерности распределения давления, плотности и массы воздуха по высоте. В своем дифференциальном виде основное уравнение статики позволяет выполнить расчет изменения давления лишь для малых приращении высоты dz.

На практике всегда необходимо иметь данные о распределении давления в слоях атмосферы конечной толщины или определить толщину таких слоев по измеренным значениям давления. Для этой цели основное уравнение статики записывают в конечном (интегральном) виде, т.е. находят его интегралы. Интегралы основного уравнения статики атмосферы, полученные при разных предположениях относительно изменения температуры и плотности воздуха с высотой, называются барометрическими формулами. На основе этих формул решаются такие важные практические задачи, как расчет распределения давления и плотности по высоте, определение высот различных летательных аппаратов по измеренному давлению, приведение давления к уровню моря и др.

Для получения интегральной формы основного уравнения статики проинтегрируем левую и правую части уравнения

– dp = ρgdz

в пределах от уровня моря z = 0 (или земной поверхности), где давление p₀ , до произвольной высоты z, где давление p. Получим интегральную форму для сухого воздух:

.

Здесь ρ = ρ(z) - функция высоты.

Вторую интегральную форму основному уравнению статики можно придать, если воспользоваться уравнением состояния влажного воздуха

p = R_cρT_v ,

где R_c – удельная газовая постоянная; T_v – виртуальная температура. Найдем из этого уравнения значение ρ и перепишем уравнение статики в следующем виде:

.

Интегрируя в пределах от 0 до z и от p₀ до p, получаем интегральную форму для влажного воздуха

.

Полученные интегральные формы для сухого и влажного воздуха широко используются для получения различных барометрических формул. Причем давление p₀ может обозначать как давление на уровне моря, так и на поверхности Земли. Различие будет состоять лишь в начале отсчета высоты z. В общем случае температура, а вместе с ней и плотность воздух являются достаточно сложными функциями высоты, установить аналитический вид которых далеко не всегда представляется возможным. Поэтому, прежде чем перейти к общему случаю, рассмотрим несколько частных с заданным распределением температуры по высоте. При этом обычно считают состав воздуха неизменным (μ = const) и пренебрегают изменением g с высотой, принимая g (z) = const, что, конечно, вносит некоторую неточность и допустимо до высот около 80 – 100 км.

Обычно в метеорологии рассматривают следующие частные случаи:

однородная атмосфера - плотность атмосферы ρ с высотой не изменяется;

изотермическая атмосфера – температура в атмосфере с высотой остается неизменной (T = const);

политропная атмосфера – температура воздуха в атмосфере убывает с высотой по линейному закону , где- вертикальный температурный градиент.

Выделение таких случаев имеет смысл, потому, что хотя в целом для атмосферы они и неприменимы, но атмосфера до изучаемой высоты может быть разбит на ряд отдельных слоев, каждый из которых более или менее близко соответствует одному из указанных условий. Рассмотрим изменение давления при этих условиях.

Однородная атмосфера. Предположим, что плотность воздуха в пределах всей атмосферы не изменяется с высотой (однородная атмосфера), т.е. ρ = ρ₀ = const. Здесь ρ₀ - плотность воздуха при z=0. Пренебрежем зависимостью ускорения свободного падения от высоты. Тогда на основании получаембарометрическую формулу однородной атмосферы

Согласно этой формуле, давление в однородной атмосфере убывает с высотой по линейному закону. В приложении к атмосфере эта формула дает далекое от реальных условий распределение давления. Однако для гидросферы, плотность которой изменяется в узких пределах (плотность воды близка к 1г/см³) она дает удовлетворительные результаты. Поэтому её можно назвать барометрической формулой гидросферы (высота в этом случае отсчитывается от дна моря или океана).

Высота однородной атмосферы (высота на которой давление обращается в нуль). Высота однородной атмосферы обозначается через H. Согласно получим:

или

Так как , то(T₀ – температура воздуха при z = 0) получаем

Отсюда следует, что высота однородной атмосферы конечна и зависит только от температуры воздуха на поверхности Земли. При t₀ = 0ºC она составляет

Так как плотность в однородной атмосфере постоянна, а давление быстро убывает с высотой, температура её, равная по уравнению состояния должна понижаться. Беря производную по высоте от левой и правой части, получаем

Привлекая , находим следующее выражение для вертикального градиента температуры γ_А в однородной атмосфере:

или γ_А = 3,42ºС/100 м.

Таким образом, в однородной атмосфере температура убывает с высотой по линейному закону:

,

при этом скорость понижения (градиент) значительно больше среднего значения γ в пределах тропосферы.

Изменение плотности воздуха с высотой в общем случае. Возьмем логарифмическую производную по высоте от левой и правой части уравнения состояния p = R_cρT :

.

Заменив dp/dz по и в полученном выраженииρ по уравнению p = R_cρT найдем

или .

Эта формула справедлива для любого распределения температуры воздуха по высоте. На основе её можно сделать выводы относительно изменения плотности воздуха о высоте. Возможны три различных случая.

1. Если γ > γ_А = 3,42ºС/100м, то dρ /dz > 0, т.е. плотность воздуха возрастает с высотой. Вертикальные градиенты температуры γ, больше 3,42ºС/100м, в реальных условиях атмосферы могут наблюдаться лишь в дневные часы летом в приземном слое атмосферы. При таких условиях плотность в этом слое растет с высотой.

2. Если γ = γ_А, то dρ /dz = 0 т.е. плотность воздуха не изменяется с высотой: ρ = ρ₀ = const. Это случай однородной атмосферы.

3. Если γ < γ_А , то dρ /dz < 0, т.е. плотность воздуха убывает с высотой. Этот случай является абсолютно преобладающим в условиях атмосферы. Прежде всего выше приземного слоя γ < γ_А при любых состояниях атмосферы. В приземном слое случаи когда γ < γ_А, наблюдаются также значительно чаще, чем случаи γ > γ_А. Таким образом, наиболее характерным состоянием атмосферы является такое, когда плотность воздуха убывает с высотой.

Изотермическая атмосфера. Такая атмосфера наблюдается при условии когда температура с высотой не изменяется, т.е. Т = Т₀ =const, здесь Т₀ – температура на уровне моря или поверхности Земли. Изотермическая атмосфера по своим свойствам противоположна однородной атмосфере. Считая атмосферу сухой и пренебрегая зависимостью ускорения свободного падения от высоты, на основании получаембарометрическую формулу изотермической атмосферы: или,

т.е. давление в изотермической атмосфере убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Отсюда видно, что изотермическая атмосфера не имела бы верхней границы и простиралась бы до бесконечности, а на высоте z = H давление в ней уменьшилось бы только в exp раз, в то время как в однородной атмосфере на этой высоте оно было бы равно нулю.

Высоту z, на которой в изотермической атмосфере давление равно p_z, можно выразить формулой или, учитываяи переходя к десятичным логарифмам получим. ПринимаяH₀ = 8000 м, последнее уравнение перепишем в виде

Главные выводы изотермической атмосферы

1.Если высота растет в прогрессии арифметической, то давление убывает в прогрессии геометрической.

2.При более высокой Т давление в изотермич. атм. убывает с высотой медленнее, чем при более низкой Т

3.Чем выше расположен слой атмосферы определенной толщины, тем меньше давление в этом слое.

Можно отметить, что в изотермической атмосфере давление уменьшилось бы (при t=0º) в 10 раз на высоте 18,4 км и в 100 раз на высоте около 37 км. В действительности эта высота несколько меньше, так как средняя температура такого слоя меньше нуля.

Политропная атмосфера. Политропной называют такую атмосферу, которая характеризуется линейным изменением температуры воздуха с высотой (или постоянным значением вертикального градиента температуры):

.

Считая атмосферу сухой (T_v=T) и подставляя Т в формулу получаем

.

Выполнив интегрирование (в предположении g = const), приходим к барометрической формуле политропной атмосферы:

.

Графически зависимость p от z изображена на рисунке. Кривые соответствуют одним и тем же значениям p и T₀, но разным значениям вертикального градиента температуры: γ₁ > γ₂. Давление при большем значении вертикального градиента температуры (γ₁) убывает с высотой быстрее, чем при меньшем (γ₂).

Рисунок. Распределение давления по высоте в политропной атмосфере [Матвеев].

Для сравнения приведены кривые изменения давления в однородной и изотермической атмосферах (штриховые кривые). Высота политропной атмосферы конечна. Т.е. согласно , давление обращается в нуль на такой высотеz = H_γ, на которой

или .

Формула для плотности воздуха в политропной атмосфере имеет вид

.

Полная барометрическая формула (формула Лапласа). Общий случай: температура распределяется произвольно по высоте, реальный воздух влажный, ускорение свободного падения – функция широты и высоты. С полным выводом уравнения можно ознакомиться на с.87 [Матвеев].

Полная барометрическая формула (Формула Лапласа) окончательно имеет вид:

.

Величина В = 2,30×18 400 м называетсябарометрической постоянной, а средние значения иносят название средних барометрических (температуры и удельной влажности соответственно).

В таком полном виде барометрическая формула на практике используется лишь при барометрическом нивелировании. При решении подавляющего большинства метеорологических задач такой высокой точности не требуется. Поэтому, если считать воздух сухим и пренебречь зависимостью ускорения свободного падения от широты и высоты, получим барометрическую формулу реальной атмосферы:

Возвращаясь к натуральным логарифмам и абсолютной температуре эту формулу можно записать в виде: , где=273 (1+) –средняя барометрическая температура слоя воздуха, заключенного между уровнями и. Средняя барометрическая температура – это такая постоянная в пределах слоя температура, которая обеспечивает значения давления на границах его, наблюдаемые при реальном распределении температуры по высоте. Практическинередко отождествляют со средней арифметической температурой, т.е. полагают

,

где и- температуры воздуха на нижней и верхней границах слоя. Если уровеньсовпадает с поверхностью Земли (= 0), а уровень- произвольный (=z), то формула принимает вид.

Решение задач с помощью барометрических формул:

1. Вычисление распределения давления по высоте. Задача состоит в определении величины давления на некотором уровнепо заданному значениюна уровнеи среднему значениюв слое-. Обычно при этих расчетах применяются формулы для изотермической атмосферы.

2. Барометрическое нивелирование. Оно применяется, когда ставится задача определить разность высот двух точек -по значениям давления в них,и виртуальной температурыи. При необходимости получения большой точности расчету следует вести по формуле Лапласа. Обычно на практике проводят вычисления по формуле для изотермической атмосферы, используя её последовательно для небольших слоев (1-2км). Также используются гипсометрические таблицы и номограммы.

3. Приведение давления к уровню моря. Известны ,,,и. Требуется найти. Эта задача имеет широкое применение в метеорологии, когда давление, наблюденное на некоторой станции на высоте, приводится к давлениюна уровне моря. Практически это осуществляется при помощи готовых таблиц.

4. Определение средней температуры слоя . В этом случае известны ина высотахии требуется найти, что осуществляется с помощью приведенных выше формул.