ЛЕКЦИЯ

по учебной дисциплине

МАТЕМАТИКА

Тема № 2. Основы аналитической геометрии

Занятие. Линии (кривые) второго порядка

Введение

Знакомые вам из школьного курса математики эллипс, гипербола, парабола были известны греческим геометрам давно, более 2000 лет назад. Первое наиболее полное сочинение, посвященное этим кривым, принадлежит Апполонию и относится к III веку до нашего летоисчисления. Апполоний дал и название этим кривым. Сами эти линии греки первоначально получили как сечения прямого кругового конуса плоскостями, наклоненными под разными углами к его оси, поэтому эти кривые часто называют коническими сечениями.

1. Понятие линии (кривой) второго порядка

В этой лекции будут рассмотрены линии второго порядка.

Линия 2-го порядка – это плоская линия, декартовы прямоугольные координаты которой удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени, т. е. уравнению вида

где т. е. хотя бы один из коэффициентовотличен от нуля.

Наиболее интересными среди линий второго порядка являются эллипсы, гиперболы и параболы. Они часто встречаются как в самой математике, так и в её приложениях.

2. Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, назы­ваемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂,, расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов – через 2а (см. рис. 1). По определению 2а > 2с, т. е. а > с.

Рис. 1

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и.

Пусть М(х; у) – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно опре­делению эллипса, MF₁ + MF₂, = 2а, т. е.

.(1)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (1) к более простому виду следующим образом:

Так как a > с, то а² – с² > 0. Положим

(2)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(3)

Можно доказать, что уравнение (3) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс – кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (3) содержит х и у только в четных степенях, поэто­му если точка (х;у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х; –у), (–х; у), (– х;– у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки 0(0; 0), которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим две точки A₁(a; 0) и A₂ (– a; 0), в которых ось Ox пересекает эллипс (см. рис. 2). Положив в уравнении (3) х = 0, находим точки пе­ресечения эллипса с осью Оу: В₁(0; b) и В₂{0;–b). Точки A₁, A₂, В₁, B₂ на­зываются вершинами эллипса. Отрез­ки A₁A₂ и В₁В_2,, а также их длины 2а и 2b называются соответственно боль­шой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (3) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства или. Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямымих = ±а, у = ±b.

4. В уравнении (3) сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если |х | возрастает, то уменьшается и наоборот.

Рис. 2

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 2 (овальная замкнутая кривая).

Форма эллипса зависит от отношения . Приb = а эллипс превраща­ется в окружность, уравнение эллипса (3) принимает вид х² + у² = а². В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полу­оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой («эпсилон»):

(4)

причем 0< < 1, так как 0 < c < a. С учетом равенства (2) формулу (4) можно переписать в виде

т. е.

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу­дет менее сплющенным; если положить = 0, то эллипс превращается в окружность.

Рис. 3.

Пусть М(х;у) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₁ (см. рис. 3). Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точ­ки М. Очевидно,

.

Имеют место формулы

.

Прямые называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением

Теорема 1. Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:.

Из равенства (2) следует, что a > b. Если же a < b, то уравнение (3) определяет эл­липс, большая ось которого 2b лежит на оси Оу, а малая ось 2а — на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁(0; c) и F₂(0; – с), где