- •Б. В. Селюк
- •Введение
- •I. Предпосылки создания квантовой механики
- •§1. Классическая электронная теория
- •§2. Равновесное излучение. Гипотеза Планка
- •§3. Корпускулярные свойства света. Теория атома по Бору
- •§4. Волновые свойства частиц. Корпускулярно-волновой дуализм
- •II. Описание состояний микрообъектов
- •§5. Состояния микрочастиц
- •§6. Свойства амплитуд состояний
- •§7. Векторы состояний
- •III. Операторы и наблюдаемые
- •§8. Операторы
- •§9. Наблюдаемые
- •§10. Матричное и координатное представления
- •§11. Операторы координат, импульсов и их функций
- •§12. Операторы момента импульса
- •§13. Спин
- •IV. Эволюция состояний
- •§14. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния
- •§15. Уравнение движения в форме Гейзенберга. Интегралы движения
- •§16. Переход от квантовых уравнений движения к классическим
- •§17. Квазистационарные состояния. Соотношения неопределенностей для энергии и времени
- •V. Простешие случаи движения §18. Свободное движение микрочастиц
- •§19. Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме
- •§20. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •§21. Линейный гармонический осциллятор
- •VI. Движение в центральном поле §22. Ротатор. Собственные функции и собственные значения операторов орбитального момента импульса
- •§23. Задача о движении двух частиц.
- •§24. Решение квантово-механической задачи об атоме водорода
- •§25. Энергетический спектр и пространственная структура атома водорода. Влияние спина электрона на энергетический спектр
- •VII. Теория возмущений. Атомы и молекулы §26. Теория стационарных возмущений
- •§27. Теория нестационарных возмущений
- •§28. Принцип неразличимости одинаковых частиц
- •§29. Атом гелия
- •§30. Периодическая система элементов д.И. Менделеева
- •§31. Молекула водорода
- •§32. Природа химических связей
- •Заключение
- •Литература
- •Оглавление
§12. Операторы момента импульса
Литература: [8], [3], [6].
Оператор момента импульса получается по сформулированному выше правилу из классического определения этой величины:
= []. →= [ ]. (12.1)
Чтобы получить выражения для операторов проекций момента импульса, следует раскрыть векторное произведение (12.1):
=y –z ,=z –x, = x –y , =++. (12.2)
Полученные четыре оператора удовлетворяют таким перестановочным соотношениям: [] = 0, [] =i ħ , (12.3)
остальные получаются заменой x→y→z→x.
Из соотношений (12.3) следуют свойства момента импульса микрообъектов, которые не присущи классическим частицам. Проекции момента импульса не совместны, поэтому векторная величина момент импульса не имеет определенного направления в пространстве, ее нельзя изобразить направленным отрезком. Определенное значение имеют только квадрат момента импульс и его проекция на произвольно выбранное направление оси z. Для наглядного представления такой ситуации момент импульса изображают в определенном масштабе конусом, образующая которого равна , а высота –Lz. Можно представлять себе, что образующая конуса быстро вращается (совершает прецессию) вокруг оси конуса.
Еще одним следствием (12.3) является квантование момента импульса: L2 = ħ2 l (l+1), Lz = ħ m, (12.4)
где l = 0, 1, 2,…– орбитальное квантовое число, а m = –l, –l+1, –l+2, …, l – магнитное квантовое число. Правила квантования можно получить не только из (12.3), но и из решения уравнения для собственных значений операторов и . Экспериментально квантование момента импульса было доказано в 1922 году опытами О. Штерна(1888–1968) и В. Герлаха (1889–1979).
Классическая частица с зарядом q и массой обладает магнитным моментом , который пропорционален моменту импульса:=g . Величинуg = q / (2 называют гиромагнитным отношением. Проверка связи магнитного момента с моментом импульса и измерение гиромагнитного отношения были целью опытов А. Эйнштейна и де Газа (1878–1960), проведенных в 1915 году. Пропорциональность магнитного момента моменту импульса подтвердили эти опыты, но гиромагнитное отношение оказалось отличным от величины q / (2 ) . В опытах Штерна и Герлаха непосредственно наблюдалось квантование проекции магнитного момента, пропорционального моменту импульса. Пропорциональность величин Mz и Lz послужила поводом назвать квантовое число m магнитным квантовым числом.
? Контрольные вопросы
Запишите операторы момента импульса.
Запишите перестановочные соотношения для операторов момента импульса.
Расскажите о физических следствиях перестановочных соотношений для операторов моментов импульса?
Запишите правила квантования момента импульса.
Расскажите о связи магнитного момента и момента импульса.
Д. 12.1. Опыты Штерна и Герлаха.
12.1. Выведите коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса.
12.2. Выведите коммутационное соотношение для оператора квадрата момента импульса и оператора и его проекции на некоторое направление.
12.3. Докажите, что перестановочные соотношения для операторов суммы независимых моментов такие же как и для операторов каждого из них.
12.4. Докажите, что [ x] = 0, а [ y] = i ħ z.