17. 5.6 Күштің жұмысы. Күштің қуаты. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

М  нүктесіне түсетін күшінің (5.1 сурет) элементар жұмысы деп, келесі скаляр шаманы айтады

dW = F_ ∙ds                                             (5.22)

мұндағы F_ -күшініңМ нүктесінің траекториясына нүктенің орын ауыстыру бағытымен жүргізілген М  жанамасына проекциясы;

ds - М  нүктенің элементар орын ауыстыруының модулі.

ds=|d| болғандықтан (мұндағы d- нүктенің элементар орын ауыстыру векторы), (5.22) теңдігін келесі түрде жазуға болады

dW=.                                           (5.23)

Сонымен,  күштің элементар жұмысы күштің оның түсу нүктесінің орын ауыстыру векторына скаляр  көбейтіндісіне тең.   

Күштің шекті M₀M₁ орын ауыстыруында (5.1 сурет) жұмысы төмендегідей анықталады

,                  (5.24)

 ( 5.25)

Күштің қуаты деп күштің уақыт бірлігінде жасайтын жұмысына тең шаманы айтады. Егер жұмыс бірқалыпты жасалатын болса, онда қуат P = W/t₁ (мұнда t₁ – W жұмысы жасалатын уақыт аралығы). Жалпы жағдайда

(5.26)

яғни қуат күштің жанама құраушысының жылдамдыққа көбейтіндісіне тең.

Нүктенің кинетикалық энер­гиясы (КЭ) деп тең скаляр шаманы айтады. Теорема: нүктенің КЭ оның кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі нүктеге түсетін барлық күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының алгебралық қосындысына тең

.                   (5.26)

5.7 Нүкте үшін Даламбер принципі

Массасы m материялық нүктеге тең әсерлі күші деп белгіленген актив күштер және байланыстыңреакциясы түсетін болсын. Осы күштер әсерінен нүкте инерциалдық СЖ-не қатысты кейбірүдеуімен қозғалады.

Келесі шаманы енгіземіз

(5.27)

ол күштің өлшем бірлігіне ие болады. Модулі нүкте массасы мен оның үдеуінің көбейтіндісіне тең және сол үдеуге қарама-қарсы бағытталатын векторлық шама нүктенің инерция күші деп аталады. Сонда, егер кез келген уақыт мезгілінде нүктеге түсетін актив және реакция күштеріне инерция күшін қосса, алынған күштер жүйесі теңгеріледі, яғни

.                       (5.28)

Бұл МН үшін Даламбер принципін өрнектейді.

 

18. 6.1 Механикалық жүйе. Масса, массалар центрі және инерция моменттері

Механикалық жүйе (МЖ) деп өзара әрекеттесетін МН-лердің немесе денелердің жиынтығы аталады. Материалық дене оны құрайтын бөлшектердің МЖ-сі болып келеді. Нүктелерінің қозғалысы байланыстармен шектелмейтін МЖ еркін материялық нүктелердің жүйесі деп аталады. Жүйенің нүктелеріне қарастырылып отырған жүйеге кірмейтін денелерден түсетін ,k= 1,2 …,n күштері сыртқы күштер деп аталады. Ішкі күштер деп жүйе нүктелері бір- біріне түсіретін ,k= 1,2 …,m күштері аталады. Ішкі күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті нөлге тең болатынын көрсетуге болады. Бұдан ішкі күштер жалпы жағдайда теңгерілетіні шықпайды, өйткені олардың әсерінен жүйе нүктелерінің орын ауыстырулары болуы мүмкін (АҚД үшін теңгеріледі).

Жүйе массасы деп жүйе нүктелері массаларының қосындысын атайды

M=Σm_k.                                                     (6.1)

Жүйенің массалар центрінің орны (С нүктесі) келесі формулалармен анықталады

,                                             (6.2)

(6.3)

Дене үшін келесі болады  

,                                      (6.4)

.       (6.5)

Ауырлық күштердің біртекті өрісінде массалар мен ауырлық центрлері түйіседі.

МЖ-нің өске және нүктеге қатысты инерция моменттері деп келесі шамалар аталады

J_l=Σm_k∙h_k².                                                    (6.6)

                                         J_O=Σm_k∙r_k²                                                     (6.7)

мұндағы h_k мен r_k – дененің массасы m_k  нүктесінің l өсіне дейінгі және O нүктесіне дейінгі қашықтытары.

Қатты дене үшін өске және нүктеге қатысты инерция моменттері

,                                     (6.8)

.                                     (6.9)

Декарт өстеріне және координаттар басына қатысты инерция моменттері

         J_x=Σm_k∙(y_k²+z_k²),    J_y=Σm_k∙(x_k²+z_k²),   J_z=Σm_k∙( x_k²+y_k²),              (6.10)

J_O=Σm_k∙r_k²=  Σm_k∙( x_k²+y_k²+z_k²).                                 (6.11)                                                

Координаттық жазықтықтарға қатысты инерция моменттері келесіге тең

          J_xy=Σm_k∙ z_k²,    J_yz=Σm_k∙x_k²,   J_xz=Σm_k∙y_k².                   (6.12)            

Келесі тәуелдіктер орын алатынын дәлелдеуге болады

                                            2J_O= J_x+ J_y+ J_z,                                             (6.13)

J_O= J_xy+ J_yz+ J_xz.                                            (6.14)

Дене үшін инерция моменттері массалар бойынша интегралдармен анықталады

,   ,.   (6.15)

Гюйгенс-Штейнер теоремасы: жүйенің кейбір z өсіне қатысты J_z инерция моменті сол өске параллель, массалар центрінен өтетін z_C өсіне қатысты жүйенің J_zC инерция моментінің және  жүйенің M массасының өстердің d арақашықтығына көбейтіндісінің қосындысына тең

.                              (6.16)

Параллель өстер жиынтығы арасында массалар центрінен өтетін өске қатысты инерция моменті ең кіші болады.