ЛР №14 - МЕТОДИЧКА

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №14

Тема: Гетероскедастичність залишків.

Мета роботи: Навчитися досліджувати та будувати економетричні моделі з урахуванням гетероскедастичності залишків за допомогою методу Ейткена.

Задача. Дослідити наявність гетероскедастичності за допомогою параметричного методу Гольдфельда-Квандта. Оцінити параметри економетричної моделі за допомогою методу Ейткена. Зробити точковий та інтервальний прогнози при Х=38 та зробити порівняльну характеристику результатів 1МНК та методу Ейткена. Вихідні дані факторів Y та Х та їх перетворення наведені у таблиці 14.1.

Таблиця 14.1. Заощадження та доход на душу населення

№ п/п	Заощадження, Yi	Доход, Xi	Yр	еі=Yi-Yрi	|ei|	Y^*=Yi/|ei|	X^*=1/|ei|	Xi^*=Xi/|ei|	Y^*p=b0X^*+b1X^*1i
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	264	8,777	78,088	185,912	185,912	1,420	0,005	0,047	1,190
2	105	9,210	115,620	-10,620	10,620	9,887	0,094	0,867	21,836
3	90	9,954	180,110	-90,110	90,110	0,999	0,011	0,110	2,778
4	131	10,508	228,130	-97,130	97,130	1,349	0,010	0,108	2,719
5	122	10,979	268,956	-146,956	146,956	0,830	0,007	0,075	1,876
6	107	11,912	349,828	-242,828	242,828	0,441	0,004	0,049	1,231
7	406	12,747	422,205	-16,205	16,205	25,054	0,062	0,787	19,721
8	503	13,499	487,388	15,612	15,612	32,219	0,064	0,865	21,665
9	431	14,269	554,131	-123,131	123,131	3,500	0,008	0,116	2,902
10	588	15,522	662,741	-74,741	74,741	7,867	0,013	0,208	5,196
11	898	16,730	767,449	130,551	130,551	6,879	0,008	0,128	3,204
12	950	17,663	848,321	101,679	101,679	9,343	0,010	0,174	4,342
13	779	18,575	927,373	-148,373	148,373	5,250	0,007	0,125	3,128
14	819	19,635	1019,253	-200,253	200,253	4,090	0,005	0,098	2,449
15	1222	21,163	1151,699	70,301	70,301	17,382	0,014	0,301	7,514
16	1702	22,880	1300,528	401,472	401,472	4,239	0,002	0,057	1,422
17	1578	24,127	1408,617	169,383	169,383	9,316	0,006	0,142	3,552
18	1654	25,604	1536,642	117,358	117,358	14,094	0,009	0,218	5,439
19	1400	26,500	1614,307	-214,307	214,307	6,533	0,005	0,124	3,082
22	2017	27,430	1694,919	322,081	322,081	6,262	0,003	0,085	2,122
20	1829	27,670	1715,722	113,278	113,278	16,146	0,009	0,244	6,087
24	1600	28,150	1757,328	-157,328	157,328	10,170	0,006	0,179	4,458
21	2200	28,300	1770,330	429,670	429,670	5,120	0,002	0,066	1,641
23	2105	29,560	1879,546	225,454	225,454	9,337	0,004	0,131	3,266
25	2250	32,100	2099,712	150,288	150,288	14,971	0,007	0,214	5,319
26	2420	32,500	2134,384	285,616	285,616	8,473	0,004	0,114	2,833
28	1720	33,500	2221,063	-501,063	501,063	3,433	0,002	0,067	1,665
27	2570	35,250	2372,752	197,248	197,248	13,029	0,005	0,179	4,449
29	1900	36,000	2437,761	-537,761	537,761	3,533	0,002	0,067	1,666
30	2100	36,200	2455,097	-355,097	355,097	5,914	0,003	0,102	2,537
прог		38,000	2611,12		76,706		0,01304	0,495	12,328

Нехай між заощадженням (Y) та доходом на душу населення (Х) існує лінійна залежність . Обчисливши параметри моделі за 1МНК, отримаємо наступні параметри:

86,67941	-682,697
5,097062	120,2584
0,911726	245,2577
289,1958	28
17395523	1684238

Або таку модель:

Щоб перевірити відсутня чи присутня гетероскедастичність скористаємося параметричним тестом Гольфельда-Квандта:

1. Упорядковуємо значення змінної Х у порядку зростання (Данные/Сортировка).

2. Відкидаємо k спостережень, які знаходяться в центрі. Експерименти, що проводили Гольдфельд і Квантом показали, що для вибірок, коли n>30, оптимальна кількість спостережень k, не врахованих у тесті, приблизно задовольняє співвідношення:

В нашому випадку:

Отже, виключимо 8 центральних значень змінної Х, а саме №№ 12-19.

3. Будуємо дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома сукупностями спостережень (n–k)/2 при умові, що (n–k)/2 не перевищує кількість змінних m.

Одержимо дві підвибірки – перша з найменшими значеннями Х, друга – з найбільшими значеннями Х. Для кожної з них побудуємо лінійну регресію та розрахуємо параметри 1МНК. Вихідні дані та їх перетворення наведені в таблиці 14.2.

Таблиця 14.2

Підвибірка І						Підвибірка ІІ
n1	Y	XI	Yp	е1і=Yi-Yрi	е1^2	n2	Y	XII	Yp	е1і=Yi-Yрi	е2^2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	264	8,777	30,003	233,997	54754,388	1	2017	27,430	1952,721	64,279	4131,80
2	105	9,210	68,219	36,781	1352,837	2	1829	27,670	1959,297	-130,297	16977,27
3	90	9,954	133,883	-43,883	1925,704	3	1600	28,150	1972,449	-372,449	138718,05
4	131	10,508	182,778	-51,778	2680,926	4	2200	28,300	1976,559	223,441	49926,02
5	122	10,979	224,347	-102,347	10474,923	5	2105	29,560	2011,082	93,918	8820,53
6	107	11,912	306,692	-199,692	39876,725	6	2250	32,100	2080,678	169,322	28670,05
7	406	12,747	380,387	25,613	656,035	7	2420	32,500	2091,638	328,362	107821,90
8	503	13,499	446,757	56,243	3163,312	9	1720	33,500	2119,037	-399,037	159230,75
9	431	14,269	514,715	-83,715	7008,228	8	2570	35,250	2166,987	403,013	162419,63
10	588	15,522	625,302	-37,302	1391,451	10	1900	36,000	2187,537	-287,537	82677,30
11	898	16,730	731,918	166,082	27583,381	11	2100	36,200	2193,017	-93,017	8652,08
Σ					150867,91	Σ					768045,39

В результаті обчислень, отримаємо:

І підвибірка:

88,25778	-744,635
15,7053	195,4108
0,778216	129,4724
31,58011	9
529380,6	150867,9

ІІ підвибірка:

27,39973	1201,146
26,86746	851,2846
0,103587	292,1273
1,040015	9
88753,16	768045,4

4. Знаходимо суму залишків і за першою і другою моделями.

5. За отриманими результатами, розрахуємо критерій R*, який знайдемо за формулою:

.

Звідси, R*=5,091.

Порівняємо його з табличним значенням F-критерію на рівні значимості 0,05 та числах ступенів свободи:

.

F_таб=3,179.

Так як R*>F_таб, то отримана нами модель гетероскедастична.

Таким чином, на основі параметричного тесту Гольдфельда-Квандта ми отримали, що в побудованій економетричній моделі виявлено змішану гетероскедастичність. Це значить, що користуватися 1МНК для оцінки параметрів моделі не можна.

При гетероскедастичності для оцінки параметрів моделі слід користуватися узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена).

Всі змінні рівняння регресії діляться на абсолютні значення залишків моделі. Утворюються нові змінні (6-10 стовпці таблиці 14.1,):

.

Отримаємо нову модель:

В результаті обчислень, отримаємо:

24,79118	3,572894
3,8366524	1,148515
0,5985846	4,651395
41,753174	28
903,34982	605,7933

Після перетворень аналізуємо модель:

.

Економетричний аналіз:

1. Якість моделі.

Помилка моделі Е=4,6514.

У відсотках до Yc похибка становить приблизно 0,4%<15%. Отже модель якісна.

2. Коефіціент детермінації.

Маємо, R²=0,5996.

У відсотках R²=59,86%. Отже, приблизно 60% вихідних даних відповідають отриманій регресії.

3. Достовірність моделі.

Значення критерію Фішера F=41,753.

Перевіримо достовірність отриманої моделі. для цього обчислимо табличне значення критерію Фішера на рівні значимості α=0,95 та числу степенів свободи m₁=1 та m₂=28.

F_таб=4,196

Так як , то отримана нами модель достовірна з ймовірністю 0,95.