Типовой расчет «Математический анализ» з а д а ч а 1

Правило 1. Чтобы вычислить , нужно вместо переменной х поставить её предельное значение.

Если то

Если то.

Если то- неопределенность.

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность в алгебраическом выражении, надо в числителе и знаменателе выделить множитель, который стремится к нулю, и на него под знаком предела сократить.

Правило 3. Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, то чтобы получить множитель , нужно многочлены разложить на множители.

Пример 1

При решении этой задачи необходимо знать формулы:

Вычислить предел .Действительно:

.

Найдем корни многочлена по формуле.

Тогда

.

Анологично

т.е .

Контрольные варианты к задаче 1

Вычислить пределы функции:

.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.

З а д а ч а 2

При решении этой задачи необходимо знать формулы:

.

Пример 2

Вычислить

Найдем корни многочлена по формуле .

Тогда и

По формуле : имеем

Контрольные варианты к задаче 2

Вычислить пределы функций:

1..	2..
3..	4. .
5.	6..
7.	8.
9.	10.
11.	12. .
13.	14. .
15..	16. .
17..	18..
.	20. .
21..	22. .
23. .	24. .
25..	26. .
27. .	28. .
29. .	30.

З а д а ч а 3

Если при и,то отношение представляет собой неопределенность. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной х. При этом необходимо знать , что величина обратная бесконечно большой является бесконечно малой Величина обратная бесконечно малой является бесконечно большой

Пример 3

Вычислить предел .

.

Контрольные варианты к задаче 3

Вычислить пределы функций:

.	.
.	.
.	.
.	.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
	.

З а д а ч а 4

Если при и, то отношениепредставляет собой неопределенность. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной х.

Пример 4

Вычислить предел .

.

Контрольные варианты к задаче 4

Вычислить пределы функций:

.	.
.	.
.	.
.	.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
	.

З а д а ч а 5

При решении этой задачи необходимо знать формулы:

Пример 5

Вычислить предел .

Здесь старшая степень при n – вторая и - степень, поэтому

Контрольные варианты к задаче 5

Вычислить пределы числовых последовательностей:

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 6

Если при и, то разностьпредставляет собой неопределенность. Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо привести её к видуили.

Пример 6

Вычислить предел .

Умножим и разделим на сопряженное выражение , тогда

Здесь старшая степень - первая, поэтому

Контрольные варианты к задаче 6

Вычислить пределы функции:

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 7

Две бесконечно малые функции приилиназываются эквивалентными, если предел их отношения равен единице. Эквивалентность бесконечно малых функций записывается в виде~.

Таким образом, если , то~.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

~ ,.

~ ,.

~ ,.

~ ,.

~ ,.

~ ,.

~ ,.

~ .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если одну или обе бесконечно малые заменить им эквивалентными, т. е. если ~и~, то

Заметим, что с помощью эквивалентных бесконечно малых раскрывают неопределенность

Пример 7

Вычислить предел

Пример 8

Вычислить предел

Пример 9

Вычислить предел