7. Понятие о дискретных случайных величинах
7.1. Определение дискретной случайной величины и ее закона распределения
В этом разделе предполагается, что в
пространстве элементарных исходов
конечное или счетное число исходов
(бесконечное множество называется
счетным, если его элементы можно
пронумеровать числами натурального
ряда 1, 2, 3, …,
,
…).
Дискретной
случайной величиной
называется произвольная числовая
функция, определенная на пространстве
с конечным или счетным числом исходов;
каждому элементарному исходу
ставится в соответствие число
,
называемое
значением
случайной величины
на исходе
.
Обозначаются случайные величины большими
латинскими буквами, как правило, из
конца алфавита, например,X,
Y,
Z.
Соответствие
x(
)
не обязательно взаимно однозначно.
Нескольким элементарным исходам может
соответствовать одно и то же числох.
Так
как число исходов счетно или конечно,
то у каждого элементарного исхода
есть вероятностьрi>0
произойти (сумма всех вероятностей
равна, разумеется, 1). Поэтому каждому
значению хi
случайной величины Х
можно приписать вероятность рi,
равную сумме вероятностей элементарных
исходов, на которых случайная величина
Х
равна хi.
Если конечно или счетно число исходов,
конечно или счетно число разных значений
xi.
Совокупность всех пар {(хi,
рi)}
называется законом
распределения случайной
величины Х.
Часто закон распределения задают в виде
таблицы из двух строк. Она называется
таблицей
вероятностей.
В первой строке стоят числа хi,
во второй строке стоят соответствующие
вероятности рi,
причем
Пишут еще так:
.
Рассмотрим несколько примеров случайных величин.
Пример 1. Бросают три монеты. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Пространство элементарных исходов состоит из 8 элементов: = {ГГГ(3), ГРГ(2), ГГР(2), ГРР(1), РГГ(2), РГР(1), РРГ(1), РРР(0)}. В скобках после каждого элементарного исхода стоит соответствующее ему значение случайной величины. Всего случайная величина Х принимает 4 возможных значения: 0, 1, 2, 3. Полную вероятность каждого значения можно вычислить по формуле Бернулли.
Закон распределения случайной величины Хзадается таблицей:
(табл. 7.1)
Таблица 7.1
-
хi
0
1
2
3
рi
1/8
3/8
3/8
1/8
Для контроля: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
Пример 2. В урне лежат 2 белых и 3 черных шара. Наудачу извлекают 3 шара. Случайная величинаY– число белых шаров в выборке. Она принимает 3 значения – 0, 1, 2. Вероятности этих значений подсчитываются по классическим правилам:
;
;
.
Закон распределения случайной величины Y задается так (табл. 7.2):
Таблица 7.2
-
уi
0
1
2
рi
0,1
0,6
0,3
Для контроля: 0,1 + 0,6 + 0, 3 = 1.
Пример 3. Кубик бросают до первого появления единицы. Случайная величина Z – число бросаний до появления первой единицы. Возможные значения случайной величины Z – числа 0, 1, 2, 3, … Вероятности этих значений вычисляются из условия независимости бросаний (если Z =k, это означает, что в первых k бросаниях единица не появлялась, а на (k + 1)-м бросании выпала).
Закон распределения случайной величины Z имеет вид (табл. 7.3):
Таблица 7.3
|
zi |
0 |
1 |
2 |
... |
k |
… |
|
рi |
1/6 |
(5/6)·(1/6) |
(5/6)2·(1/6) |
… |
(5/6)k·(1/6) |
… |
Для
контроля:
.
Определим функции дискретной случайной величины. Пусть Х дискретная случайная величина с законом распределения {(хi, рi)}; φ(x) –некоторая числовая функция, определенная для всех значений хi. Дискретная случайная величина Y с законом распределения {φ(хi), рi} называется функцией случайной величины Х и обозначается Y = φ(Х).
Пусть, например, случайная величина Х задана таблицей вероятностей (табл. 7.4):
|
Таблица 7.4 | |||||
|
xi |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|
pi |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
Составим таблицы вероятностей случайных величин 2Х – 1, Х2 + 1, 2Х (табл. 7.5 7.7)
Таблица 7.5
|
2хi 1 |
5 |
3 |
1 |
1 |
3 |
|
рi |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
Таблица 7.6
-
1
2
5
рi
0,3
0,5
0,2
Таблица 7.7
-
0,25
0,5
1
2
4
рi
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Поясним, как составлен закон распределения случайной величины Х2 + + 1. Эта случайная величина принимает три возможных значения: 1, если Х=0; 2, если Х=1 или Х= 1; 5, если Х=2 или Х= 2. Поэтому
