Счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Для записи числа в системе счисления, основание которой больше 10, привычных арабских цифр не достаточно. В этом случае принято использовать буквы латинского алфавита.

Для шестнадцатеричной системы счисления имеем:

база – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F.

основание – 16.

Таблица связи десятичных и шестнадцатеричных чисел

Десятичное	Шестнадцатеричное
число	число
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F
16	10

Задание. Заполните до конца таблицу сложения шестнадцатеричных чисел.

Рекомендация к заполнению.

В ячейке на пересечении строки и столбца находится результат сложения. Таблица симметрична относительно диагонали. В последней ячейке таблицы должно получиться число 1Е:

F16 + F16 = 1510 + 1510 = 3010 = (16 + 14)10 = 1*16 + E =1E16.

13

Таблица сложения шестнадцатеричных чисел

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	A
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9
6	6	7	8	9	A
7	7	8	9	A	B
8	8	9	A	B	C
9	9	A	B	C	D
A	A	B	C	D	E
B	B	C	D	E	F
C	C	D	E	F	10
D	D	E	F	10	11
E	E	F	10	11	12
F	F	10	11	12	13											1Е

Так как двоичная и шестнадцатеричная системы счисления являются родственными, то перевод из одной в другую можно осуществить напрямую, воспользовавшись таблицей связи, где каждая шестнадцатеричная цифра расписана как четыре двоичных.

14

			Шестнадцатеричное							Двоичное
					число					число
						0				0000
						1				0001
						2				0010
						3				0011
						4				0100
						5				0101
						6				0110
						7				0111
Приме-						8				1000
						9				1001
1. Пе-
						A				1010
ло 73510	в
						B				1011
теричную
Разде-						C				1100
число на	ос-					D				1101
						E				1110
						F				1111
Остатки				735	16
	15				45		16
	13					2		16
	2							0

ры.

ревести чисшестнадца-

систему.

лим исходное нование 16:

При делении десятичного числа на 16 остатки могут получаться от 0 до 15. Используя таблицу связи, заменим каждый десятичный остаток шестнадцатеричной цифрой: 1510 = F16, 1310 = D16, 210 = 216.

Остатки, прочитанные в обратном порядке, дают искомое число:

73510 = 2DF16.

Проверим правильность перевода, расписав полученное шестнадцатеричное число по степеням основания 16:

2DF16 = 2*162 + D*161+ F*160 = 2*256+13*16 +15*1 = 512 + 208 + 15 = 73510.

2. Найти сумму шестнадцатеричных чисел 7AE716 и C5416.

15

Запишем одно число под другим и выполним суммирование столбиком, учитывая, что 16 единиц младшего разряда образуют единицу старшего разряда:

	Переносимые единицы	1	1
	Первое слагаемое	7	A	E	7
	Второе слагаемое		C	5	4
	Сумма	8	7	3	В
						лучили:
По-

7АЕ716 + С5416 = 873В16.

3. Найти сумму чисел 1СDA,E716 и F5,1416.

Запишем одно число под другим и по таблице сложения шестнадцатеричных чисел найдем:

1СDA,E7 + F5,14 1DCF,FВ

Шаги; 7 + 4 = В, Е + 1 = F, A + 5 = F, D + F = 1C (C запишем, а 1 перенесем в старший разряд), С + 1 = D, 1 сносим.

4. Перевести число 1А5С16 в двоичную систему счисления.

Воспользовавшись таблицей связи распишем каждую шестнадцатеричную цифру как четыре двоичных, затем уберем незначащие нули слева:

1А5С16 = 0001 1010 0101 110016 =110100101110016. Получили: 1А5С16 = 110100101110016.

5. Перевести число 100010011102 в шестнадцатеричную систему счисления.

Сгруппируем справа налево разряды исходного числа по четыре цифры. Если левая группа цифр будет неполной (меньше четырех цифр), то дополним ее слева нулями. Заменим каждую группу цифр соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления, воспользовавшись таблицей связи двух систем:

1000100111016 = 100 0100 1110 = 0100 0100 1110 = 44D16.

6. Перевести число AF3D16 в восьмеричную систему счисле-

ния.

Способ 1. Через двоичное представление. Сначала переведем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем полученное двоичное переведем в восьмеричное:

AF3D16 =1010 1111 0011 11012 = 1 010 111 100 111 1012 = 001 010 111 100 111 1012 = 1274758.

Получили: AF3D16 = 10101111001111012 = 1274758.

16

Способ 2. Переведем число в десятичную систему, расписав по основанию 16:

AF3D16 =А*163 + F*162 +3*162 + D*160 = 10*4096 + 16*256 + 3*16 +13*1 = 40860 + 4086 + 48 + 13 = 4486110.

Полученное десятичное число переведем в восьмеричное, используя метод деления на основание 8:

Остатки	44861	8
5		5607	8
7			700	8
4				87	8
7					10	8
2						1	8
1							0

Получили: AF3D16 = 4486110 =1274758

Таблица сложения двоичных цифр

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Таблица умножения двоичных цифр

*	0	1
0	0	0

17

1 0 1

Примеры решения задач

1. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1.

Обозначим искомое основание через q и распишем искомое число по степеням нового основания:

110q = 1*q2 + 1*q1 + 0*q0 = q2 + q.

Составим уравнение: q2 + q = 12.

Найдем корни уравнения: q*(q + 1) = 12; q1 = 3 , q2 = -4 (отрица-

тельный корень не подходит). Полученный ответ проверим подстанов-

кой: 32 + 3 = 9 + 3 = 12.

Способ 2.

Пусть q - искомое основание. Тогда число можно записать:

110q = q2 + q1 + 0 = q2 + q.

Будем подставлять в качестве основания различные натуральные числа, начиная с 2. При q = 2 получим: 1102 = 510. При q = 3 получим: 1103 = 1210, то есть искомое решение. Очевидно, что при q > 3 будем получать большие числа.

Ответ: 3.

2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на цифру 2.

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления, то есть 17 – 2 = 15. Найдем делители числа 15, это числа 3, 5, 15. Проверим свой счет тем, что запишем число 17 в троичной, пятеричной и пятнадцатеричной си-

стемах счисления:

1710 = 1*32 + 3*31 + 2*303 = 1323. 1710 = 3*51 + 2*50 = 325 1710 = 1*151 + 2*1505 = 1215..

3. Сколько единиц в двоичной записи числа 19710?

Переведем исходное число сначала в шестнадцатеричную систему, а затем в двоичную:

18

19710 = 12*16 + 5 = С*16 + 5 = С516 = 110001012.

Ответ: 11000101.

4. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа

129,2510?

125,2510 = 7D,416 = 0111,01002 = 111,012

Ответ: 1.

5. Даны числа a = D716 и в = 3228. Какое число с, записанное в двоичной системе счисления, соответствует условию: a < c < b?

Переведем числа в двоичную систему счисления:

D716 = 110100002.

3228 = 0110100102 = 110100102. Ответ: 11010001.

6. Укажите через запятую в порядке убывания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11.

Искомое число N в четверичной системе оканчивается на 11, поэтому его можно расписать по степеням основания 4:

N = Х*42 + 1*4 + 4 = 16*Х + 5.

По условию десятичное число не больше 25, поэтому справедливо неравенство: 16*Х + 5 25. Это равносильно тому, что 16*Х 20. Кроме того, Х – целое положительное число. Данному неравенству удовлетворяют только два значения: Х = 0 и Х = 1. Подставляя полученные значения в запись числа N, получим:

N = 16*0 + 5 = 5.	N = 16*1 + 5 = 21.
Ответ: 21, 5.

7. Укажите через запятую в порядке убывания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

По условию задачи число оканчивается на 2. Это самый первый получившейся остаток при переводе исходного числа из одной системы счисления в другую. По определению целочисленного деления с остатком число 23 можно представить в виде: 23 = m*n + 2, или 21 = m*n, где m и n натуральные числа. Далее найдем делители числа 21, помня, что остаток не может быть меньше делителя. Условию задачи удовлетворяют делители 3, 7, 21.

Ответ: 21, 7, 3.

8. Найдите основание	системы счисления из условия
4716 = 107Х.
Переведем числа в десятичную систему счисления, расписав чис-
ла по степеням 16 и Х:
4716 = 4*16 + 7 = 71;	107Х =1*Х2 + 0*Х + 7 = Х2 + 7.

19

Решим систему: 71 = Х2 + 7;

Х2 = 64	Х = 8.
Ответ: 8.

Контрольные вопросы

1.Что такое система счисления?

2.Какие системы счисления вы знаете?

3.Что такое алфавит системы счисления?

4.Какая система счисления называется позиционной?

5.Какая система счисления называется непозиционной?

6.Чем отличается позиционная система счисления от непозицион-

ной?

7.Какие символы используются для записи чисел в римской системе счисления?

8.Как перевести число, записанное в римской системе счисления, в десятичную систему?

9.В позиционной системе счисления во сколько раз вес (значение) каждого разряда больше предыдущего?

10.Что такое основание позиционной системы исчисления?

11.Какое основание имеет троичная исстема счисления?

12.Какая система счисления используется для представления чисел в памяти компьютера? Почему?

13.Какая самая большая цифра в шестнадцатеричной системе счисления?

14.Перечислите алфавит пятеричной системы счисления?

15.Сколько различных цифр используется для записи чисел в системах счисления:

a)двоичной;

b)семеричной;

c)р – ичной?

16.Какие символы, кроме арабских цифр, используются в шестнадцатеричной системе счисления?

17.Какие системы счисления называются родственными?

18.Каким образом осуществляется перевод чисел между родственными системами счисления?

19.По какому правилу переводятся целые числа из десятичной системы счисления в р – ичную?

20.Как перевести целое число из р - ичной системы счисления в десятичную?

21.Сформулируйте правило перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в р - ичную.

20

22.Как перевести правильную дробь из р - ичной системы счисления в десятичную?

23.Сформулируйте правило перевода неправильных дробей из десятичной системы счисления в р - ичную.

24.Как перевести неправильную дробь из р - ичной системы счисления в десятичную?

25.Всегда ли можно точно выполнить перевод правильной дроби из десятичной системы счисления в другую?

26.Как выполнить перевод целого числа из троичной системы счисления в семеричную?

Самостоятельная работа

Каждое задание выполняйте на отдельных рабочих листах Excel.

Листам присвойте имена: Задание 1, Задание 2, Задание 3, Зада-

ние 4. Книгу сохраните в файле (имя файла – Сам_работа_1+Ваша фамилия). Файл запишите на внешний носитель и сдайте преподавателю для проверки.

Лист задания должен содержать формулировку задания согласно варианту, полученному у преподавателя. К защите подготовьте ответы на вопросы.

Задание 1. Создайте таблицу. Заполните пустые клетки таблицы последовательными числами в системах счисления с основаниями 5, 7

и 12.

			Таблица
Десятичная	Пятеричная	Семеричная	Двенадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	2
3	3
4	4
5	10
6
7
8
9
10
11
12
13

21

14

15

Задание 2. Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Вариант выберите из табл.

Таблица

Вариант	Число 1	Число 2	Число 3
1	124	0,123	48,69
2	215	0,241	23,45
3	320	0,252	12,51
4	148	0,343	45,22
5	251	0,514	25,24
6	178	0,645	48,25
7	165	0,356	56,54
8	129	0,427	51,45
9	138	0,491	34,23
10	182	0,555	45,11
11	164	0,842	29,41
12	152	0,125	24,62
13	177	0,588	28,22
14	141	0,497	27,17
15	174	0,257	32,12

Задание 2. Перевести двоичные числа в десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Вариант выберите из табл.

Таблица

Вариант	Число 1	Число 2	Число 3
1	101010	0,0101	101010,01
2	111110	0,111	111110,001
3	100100	0,1101	100100,0001
4	111100	0,1111	111100,11
5	100111	0,011	100111,1101
6	101011	0,101	101011,101
77	101011	0,1101	101011,111
8	111000	0,0001	111000,1011

22