вышка

	− 5	9	32
=	6	− 12	− 42	.
	− 4	0	4

Задача 2. Вычислить определитель

0 0	1 2
− 1 4	3 0	.
2 3 − 2 1
4 0	− 1 1

Решение. Вычисление определителя можно провести несколькими способами. Рассмотрим некоторые из них.

I. Воспользуемся теоремой о разложении определителя по строке:

a11

a12

...

a1n

a11

A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n

a21

a22

...

a2n

=

( разложение по элементм1

− ой строки),

.

.

.

.

a

A

+ a

22

A

+ ... + a

n2

A

an1

an2

... ann

12

12

22

n2

( разложение по элементм 2 − го столбца).

А11, А12, А1n, А12, А22, и Аn2 – алгебраические дополнения к элементам a11, a12, a1n, a12, a22, и an2. По определению алгебраического дополнения

Aij = (−1)i+ j Mij ,

Мij – минор элемента аij, т.е. определитель, оставшийся после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца. Например, М34 – минор элемента а34=1:

		0 0	1 2		0 0	1
	M 34 =	− 1 4	3 0
				=	− 1 4	3
		2 3 − 2 1
		4 0	− 1 1		4 0	− 1

Разложение определителя можно проводить по элементам любого ряда. В нашем случае удобнее всего сделать это по первой строке, так как в ней два слагаемых будут равны нулю.

0 0	1 2
− 1 4	3 0	= 1 A + 2 A .
2 3 − 2 1		13	14
4 0	− 1 1

Тогда
		0 0	1 2			− 1 4 0		− 1 4	3
		− 1 4	3 0		= 1 (−1)1+3		+ 2 (−1)1+4
						2 3 1		2 3 − 2		=
		2 3 − 2		1
		4 0	− 1	1		4 0 1		4 0	− 1

11

Продолжим вычисление определителей третьего порядка, разлагая их по первым строкам.

		− 1 4 0			− 2					− 1 4		3		= −1		3 1				+ (−1)1+2				4		2 1
=		2	3 1							2 3 − 2																				−
																0 1										4 1
		4	0 1							4 0		− 1
			1+1					3		− 2		1+2						2		− 2		+ 3		1+3						2 3			=
− 2	− 1 (−1)							0		− 1	+ 4 (−1)							4		− 1			(−1)							4 0

=−(3 1− 0 1) − 4(2 1− 4 1) −

−2 (−(3 (−1) − 0 (−2)) − 4 (2 (−1) − 4 (−2)) + 3 (2 0 − 4 3)) = 119 .

II. Другой способ вычисления определителя основан на его свойст-

вах:

а) при однократной перестановке строк или столбцов определитель меняет знак;

б) прибавление к строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) не меняет знак определителя;

в) значение определителя треугольной матрицы равно произведению его диагональных элементов.

Переставим 3-й столбец определителя 2 раза, чтобы он оказался первым, – знак определителя поменялся два раза, то есть, остался прежним:

0 0	1 2		1	0 0	2
− 1 4	3 0	=	3 − 1 4 0			.
2 3 − 2 1			− 2	2 3 1
4 0	− 1 1		− 1	4 0	1

Полученный определитель приведем к треугольному виду: получим три нуля в первом столбце, два нуля – во втором, один нуль – в третьем. Для этого построим следующие комбинации со строками: первую строку (I) умножим на (–3), на (2) и на (1) и прибавим ко второй (II), третьей (III) и четвертой (IV) строке соответственно:

1	0 0 2			1	0	0	2		1	0 0	2
3 − 1 4 0		II −3I	=	3 − 3 1	− 1 − 3 0	4 − 3 0	0 − 3 2	=	0 − 1 4 − 6			=
− 2	2 3 1	III + 2I		− 2 + 2 1	2 + 2 0	3 + 2 0	1 + 2 2		0	2 3	5
− 1	4 0 1	IV + I		− 1 + 1	4 + 0	0 + 0	1 + 2		0	4 0	3

Продолжим получение нулей теперь во втором столбце. Построим комбинации: вторую строку умножим на (2) и сложим с третьей, третью строку умножим на (–2) и сложим с четвертой:

12

	1	0 0	2			1	0	0	2
=	0 − 1 4 − 6			III + 2II	=	0 − 1		4 − 6		=
	0	2 3	5			0	0	11 − 7
	0	4 0	3	IV −2III		0	0	− 6	− 7

Поменяем местами два последних столбца – знак определителя изменится на противоположный, и из элементов 4-ой строки вычтем элементы третьей:

	1	0	2	0			1	0	2	0
= −	0 − 1 − 6			4		= −	0 − 1 − 6			4	=
	0	0	− 7	11			0	0	− 7	11
	0	0	− 7	− 6	IV − III		0	0	0	− 17

Таким образом, определитель приведен к треугольному виду. Его зна-

чение можно найти как произведение диагональных элементов:

= −1 (−1) (−7) (−17) = 119 .

III. Наибыстрейший способ вычисления определителя – это комбинация двух выше приведенных методов: получение нулей в какой-либо строке и разложение по этой строке. Получим третий нуль в первой строке. Для этого к четвертому столбцу прибавим третий, умноженный

на (–2):
0 0	1 2		0 0	1	0
− 1 4	3 0	=	− 1 4	3 − 6 .
2 3 − 2 1			2 3 − 2		5
4 0	− 1 1		4 0	− 1	3

IV −2III

Полученный определитель разложим по первой строке:
		0	0		1	0									− 1 4	− 6
		− 1 4			3 − 6			= 1			1+3
		2		3 − 2 5							(−1)						2 3 5		.
		4		0 − 1		3									4 0	3
Разложим определитель по третьей строке:
	− 1 4 − 6			= 4 (−1)3+1						4	− 6		+ 3 (−1)3+3					− 1 4			=
	2 3 5
	4 0	3								3	5							2 3
		= 4 (20 + 18) + 3 (−3 − 8) = 119.
Задача 3. Решить матричное уравнение:
					1 2			− 1 2 5 8
						X					=					.
					3 4						0 1 3 38

13

Решение. Обозначим заданные матрицы:
1 2			− 1 2	C		5 8
A =	,	B =	,		=	3 38
3 4			0 1

и запишем матричное уравнение в виде
A X B = C .	(1.2)

Чтобы выразить неизвестную матрицу X, необходимо помнить, что операция деления на матрицу не определена, однако, определены обратные матрицы A–1, B–1. Кроме того, необходимо помнить, что произведе-

ние матриц не коммутативно:

A B ≠ B A .

Поэтому, чтобы выразить неизвестную матрицу Х из (1.2), нужно воспользоваться определением обратной матрицы: A.A–1=Е или A–1.A=Е (Е – единичная матрица) и домножить обе части уравнения (1.2) на A–1 слева и на В–1 справа. Получим

A−1 A X B B−1 = A−1 C B−1 ,

E X E = A−1 C B−1 .

Умножение любой матрицы на единичную не изменяет матрицу, поэтому решение уравнения будет находится как:

X = A−1 C B−1.

Воспользуемся схемой построения обратной матрицы:

A	−1	=	1 A11		A21
					A22	,
			det A A12

где Аij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам aij.

–1	для		1 2
1) Вычислим A		A =	3 4	.

det A =	1 2	= 4 − 6 = −2 ,
	3 4

A = (−1)1+1 4 = 4,

A = (−1)1+2 3 = −3,

11

12

A = (−1)2+1 2 = −2,

A = (−1)2+2 1 = 1.

21

22

A

−1

=

1

4 − 2

− 3

.

− 2

1

Выполним проверку. По определению A·A–1=Е.

A A−1 = 1 2

1

4 − 2

= −

1 1 4 + 2 (−3) 1 (−2) + 2 1

=

− 2

3 4

− 3 1

2 3 4 + 4 (−3) 3 (−2) + 4 1

= −

1

− 2

0

1 0

2

0 −

2

=

0 1

= E .

14

В результате произведения A·A–1 получили единичную матрицу Е, значит обратную матрицу A–1 построили верно.

–1		− 1 2
2) Вычислим B	для B =	.
		0 1

det B =

− 1 2

= −1,

0

1

B = (−1)1+1 1 = 1,

B = (−1)1+2 0 = 0,

11

12

B = (−1)2+1 2 = −2,

B = (−1)2+2 (−1) = −1.

21

22

−1

1

1 − 2

− 1 2

B

=

− 1

=

0 1

.

− 1

0

Выполним проверку. По определению B·B–1=Е.

B B

−1

=

−

1 2

− 1 2

1 0

=

.

0 1

0 1

0 1

В результате произведения B·B–1 получили единичную матрицу Е, зна-

чит обратную матрицу B–1 построили верно.

3) Вычислим неизвестную матрицу X = A−1 C B−1:

−1

1

4 − 2

5 8

1

14 − 44

− 7 22

A

C =

= −

=

6

− 7

,

− 2

2

− 3 1

3 38

− 12 14

X = A

−1

C

B

−1

− 7 22

−

1 2

7 8

=

6 − 7

=

.

0 1

− 6 5

Проверка: при подстановке найденного решения в уравнение, оно должно обратиться в тождество. Сначала перемножим первые две матрицы:

1 2				7 8			− 5 18
A X =	3 4			− 6 5		=	− 3 44	.

Затем полученный результат умножим на матрицу В:

	− 5 18			− 1 2		5 8
A X B =	− 3 44				=	.
				0 1		3 38

Получили правую часть уравнения – матрицу C. Таким образом, имеет место тождество

	1 2			7 8			− 1 2		5 8
	3 4			− 6 5				≡	.
							0 1		3 38

Задача 4. Решить систему уравнений тремя способами:

а) методом Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса. Сделать проверку.

15

2x		−	x	2	+ 5x		= 1,
	1					3
5x1		+	2x2		+	3x3	= 2,
3x		−	x	2	+	5x	= 0.
	1					3

Решение. Запишем уравнение в матричной форме :

						A X = B ,
		2 − 1 5			x1			1
где		5	2 3					2
	A =				, X = x2		, B =		.
		3	− 1 5		x			0
					3

а) Для отыскания неизвестных x1, x2, x3 используем формулы Крамера:

x	=	1	,	x	2	=	2	, x	=	3	,
1							3
где – определитель основной матрицы А,									1 – определитель, получен-

ный из основного заменой первого столбца на столбец свободных членов. Аналогично строятся определители 2 и 3 – второй и третий столбец основной матрицы заменяются на столбец свободных членов соответственно:

1 =								1 − 1 5																						2 =				2 1 5										3 =					2 − 1 1
								2 2 3												,														5 2 3								,							5 2 2						.
								0 − 1 5																										3 0 5															3 − 1 0
Вычислим все определители.
=						2 − 1 5									I −III													− 1			0 0							= (−1)											2 3				= −13.
				5 2 3																=								5 2 3
						3 − 1 5																						3 − 1 5																			− 1 5
												1 − 1 5										I − III									1 0 0										= 1					2 3					= 13 .
			1 =									2 2 3																=		2 2 3
												0 − 1 5																			0 − 1 5														− 1 5
2 разложим по третьей строке:
2 =		2	1 5							= 3								1 5								+ 5							2 1				= 3 (−7) + 5 (−1) = −26.
		5 2 3
																			2 3														5 2
		3 0 5
3 разложим по третьему столбцу:
3 =						2 − 1 1										=			1					5		2								− 2			2 − 1							= −11− 2 = −13.
						5 2 2
																								3 − 1													3 − 1
						3 − 1 0

Подставим полученные значения определителей в формулы Крамера:

16

x = 1	=	13		= −1,	x	2	= 2	= − 26 =	2,	x = 3	= − 13 = 1.
1		− 13						− 13		3	− 13
Проверка: при подстановке найденного решения в систему уравне-
ний, они должны обратиться в тождества.
				2	(−1) − 2 + 5 1				≡ 1,
					(−1) + 2 2 + 3 1				≡ 2,
				5
					(−1) − 2 + 5 1				≡ 0.
				3

Каждое уравнение обратилось в тождество, следовательно, решение

− 1

X = 2 найдено правильно.1

б) Из матричного уравнения A X = B выразим неизвестную матрицу Х, умножив обе части уравнения на A–1 слева:

A−1 A X = A−1 B X = A−1 B .											(1.3)
							2	− 1 5
Построим обратную матрицу A		–1					5			:
		для			A =			2 3
							3	− 1 5
		1		A11		A21		A31
A−1 =				A		A		A		,	(1.4)
	det				12		22	32
			A		A	A		A
					13		23	33

где Аij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам aij. Определитель основной матрицы был найден в предыдущем пункте задачи det A = – 13. Вычислим алгебраические дополнения:

A	1+1			2 3									= 13,		A					=			1+2					5 3					= −16, A																	1+3			5 2								= −11,
	= (−1)			− 1 5																	(−1)							3 5																			= (−1)						3 − 1
11															12																													13
A = (−1)2+1								− 1 5						= 0, A = (−1)2+2																2 5						= −5, A = (−1)2+3																			2 − 1								= −1,
21								− 1 5									22													3 5														23											3 − 1
A	= (−1)3+1						− 1 5						= −13,						A				= (−1)3+2										2 5							= 4,				A					= (−1)3+3									2 − 1							= 9.
31						2 3														32													5 3												33													5					2
																	−1						1				13								0 − 13												1		− 13 0						13
Подставим в (1.4):															A					=						− 16 − 5															4			=						16 5			−			4
																																																											.
																						− 13																							13
																										− 11 − 1 9																								11 1			−			9
Найдем решения системы (1.3):
									−1						1					− 13 0 13																1					1						− 13 − 1
		X = A												B =									16 5				−	4								2				=							26			=			2 .
															13																										13
																							11 1				−	9								0											13
																																																					1

17

Найденное решение совпадает с решением, полученным в пункте а).

в) Вспомним, что суть метода Гаусса заключается в исключении неизвестных посредством эквивалентных преобразований системы уравнений. Но вместо системы уравнений в преобразованиях используют расширенную матрицу системы (прямой ход Гаусса). После приведения матрицы к трапецивидной форме возвращаются к системе уравнений и находят все неизвестные (обратный ход Гаусса).

Элементарные преобразования:

–перестановка строк;

–умножение строки на любое число отличное от нуля;

–линейная комбинация строк;

–вычеркивание нулевых строк.

Запишем расширенную матрицу системы и получим два нуля в какомлибо столбце:

		2	− 1 5 | 1			2	− 1 5 | 1
~
		5	2 3 | 2			3	− 1 5 | 0			II − I
A =
		3	− 1 5 | 0			5	2 3 | 2
										III + 2I

	2	− 1	5	|	1
	1	0	0 |
					− 1 .
	9	0 13		|	4

Получили матрицу трапецивидной формы (не обязательно она будет похожа на трапецию, главное: в одном столбце нулей нет, в другом – один нуль, в третьем – два). Это позволяет сделать вывод, что в матрице нет линейно-зависимых строк. Максимальный порядок отличного от нуля

минора основной матрицы равен трем, следовательно,

~ = rang A rang A ,

система совместна. rang A = 3 = n , где n – число неизвестных, следова-

тельно, система имеет единственное решение. Выполним обратный ход Гаусса: вместо преобразованной расширенной матрицы запишем систему уравнений:

2x − x

2

+ 5x

= 1,

− x

2

= 1 − 2x − 5x ,

x

2

= 2,

1

3

1

3

x1

+ 13x

= − 1,

x1

= − 1,

x1

= − 1,

9x

= 4.

13x

= 4 − 9x .

x

3

= 1.

1

3

3

1

Таким образом, очередной раз получили решение системы линейных

− 1

уравнений X = 2 , совпадающее с полученным в пунктах а) и б).

1

18

Задача 5. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса

	x1	− 2x2		+ 3x3	− 4x4				= 2,
3x1		+ 3x2		− 5x3	+ x4				= − 3,
а) − 2x		+ x	2	+ 2x	− 3x		4		= 5,
	1			3	−				= 8.
	3x	+		3x		10x		4
	1			3
	x1	− 2x2		+ 3x3	− 4x4				= 2,
3x1		+ 3x2		− 5x3	+ x4				= − 3,
б) − 2x		+ x	2	+ 2x	−	3x	4		= 5,
	1			3	−				= 6.
	3x	+		3x		10x		4
	1			3

Решение. а) Запишем расширенную матрицу и приведем ее, путем

элементарных преобразований, к трапецивидной форме:
		1 − 2		3	− 4 | 2						1 − 2			3	− 4 |	2
~		3	3 − 5		1 | − 3				II − 3I			0	9 − 14		13 | − 9
A =		− 2	1	2	− 3 |	5			III + 2I			0	− 3	8	− 11 |	9
																			3III + II
		3	0	3	− 10 |	8			IV − II			0	− 3	8	− 11 |	11			IV − III

	1 − 2		3	− 4	|	2
	0	9	− 14	13 | − 9
							.
	0	0	10	− 20	|	18
	0	0	0	0 |		2

Сравним ранг основной и расширенной матрицы (число ненулевых

строк).	~
	rang A = 4, rang A = 3.

Так как ранги не равны, то согласно теореме Кронекера-Капели система несовместна. Решений нет.

б) Запишем расширенную матрицу и приведем ее, путем элемен-

тарных преобразований, к трапецивидной форме:
		1 − 2		3	− 4 |	2					1 − 2			3 − 4 |		2
~		3	3 − 5		1 | − 3				II − 3I			0	9 − 14		13 | − 9
A =		− 2	1	2	− 3 |	5			III + 2I			0	− 3	8	− 11 |	9
																			3III + II
		3	0	3	− 10 |	6			IV − II			0	− 3	8	− 11 |	9
																			IV − III

	1 − 2		3	− 4 |	2			1 − 2		3 − 4 | 2
	0	9	− 14	13 | − 9
										− 14 13 | − 9
	0	0	10	− 20 | 18					0 9		.
									0 0	5 − 10 | 9
	0	0	0	0 |	0
Сравним ранг основной и расширенной матрицы:
				~			rang A = 3.
				rang A = 3,

19

Так как ранги равны, то согласно теореме Кронекера-Капели система совместна. Число переменных n = 4 < rang A, следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Далее выберем базисный минор (минор максимального порядка отличный от нуля) и соответствующие ему базисные переменные.

	1 − 2		3
	0	9	− 14	= 45 ≠ 0 – базисный минор.
	0	0	5

Базисные переменные – x1, x2, x3 – соответствуют переменным на столбцах базисного минора. Вернемся к системе уравнений:

x − 2x			2	+ 3x − 4x		4	= 2,
	1			3
		9x2		− 14x3	+ 13x4		= − 9,
				5x3	− 10x4		= 9.

Выразим базисные переменные:

x − 2x

2

+ 3x = 2 + 4x

4

,

1

3

9x2

− 14x3

= −

9 − 13x4 ,

5x3 = 9 + 10x4.

Получим общее решение, где x4 – любое число:

x1

= 1/ 5 + 4 / 3C,

x2

= 9 / 5 + 5 / 3C,

x

= 9 / 5 + 2C,

3

=

C.

x

4

Задача 6. Найти общее решение системы линейных однородных

уравнений и записать ее фундаментальную систему решений:

x1

− 2x2

+ x3

+ x4

= 0,

2x1

+ x2

− x3

− x4

+ x5

= 0,

x

+ 8x

2

− 5x

− 5x

4

+ 2x

= 0,

1

−

x

−

3

+

x

−

5

= 0.

3x

2

2x

4

x

1

3

5

Решение. Однородная система уравнений всегда совместна, т. к. ее расширенная и основная матрица совпадают (столбец свободных членов равен нулю), следовательно, она всегда имеет решение. Очевидно,

x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=0 – решение системы.

Такое решение называется тривиальным. Наша задача – найти нетривиальные решения. Запишем матрицу системы и приведем ее, путем элементарных преобразований, к трапецивидной форме:

20