вышка

−1 7 5

0 2 1

1 −1 2

′

= T

−1

0 −1

0 3 2

=

A

A T =

− 1

1 2 1

1 − 4

− 3

1 1 − 1

− 1 − 3 −1

0

+ 0

+ 5

− 2 + 21 + 5

− 1 + 14 − 5

1

− 1

2

0

+ 0

− 1

0 − 3 − 1

0 −

1

2

=

=

2 + 1

1

0

+ 0

− 3

2 − 12 − 3

1 −

− 1

8 + 3

− 3 − 1

5 24 8

1 − 1 2

5 + 24 − 8 − 5 + 48 − 24 10 + 24 − 8

=

− 1 − 4 −1

1 2 1

=

− 1− 4 + 1

1− 8

+ 3

− 2 − 4 + 1 =

−

− 3 − 13 + 4

3 − 13 − 4

− 1 − 3 − 1

3 − 26 + 12 − 6 − 13 + 4

21

19

26

− 4

− 4 − 5

=

= A′ .

− 12

− 11 − 15

Таким образом,

получили

матрицу

оператора

А'

в

новом базисе

(e′

, e′

, e′ ) .

1

2

3

Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы ли-

4 − 3 − 3

нейного оператора, заданного матрицей

1

2

. Если это воз-

A =

1

− 1

1

2

можно, то приведите ее к диагональному виду.

Решение. 1) Запишем характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен:

	4 − λ	− 3	− 3
	1	2 − λ	1		,
A − λE =
	− 1	1
			2 − λ

A − λE

4 − λ − 3 − 3

4 − λ − 3 − 3

4 − λ − 3 − 3

=

1 2 − λ 1

=

1 2 − λ 1

= (3 − λ)

1 2 − λ 1

=

− 1

1 2 − λ

0 3 − λ 3 − λ

0

1 1

4 − λ

0

− 3

= (3 − λ)

1 1− λ

1

= (3 − λ)(1− λ)(4 − λ) = 0 .

0

0

1

Корни характеристического многочлена (собственные значения):

λ1 = 3, λ2 = 1, λ3 = 4 .

2) Для каждого из найденных собственных значений λ i

запишем

систему линейных однородных уравнений (A − λiE)X = O и найдем ее

61

фундаментальную систему решений. Это будут координаты базисных векторов (собственных векторов) собственного подпространства Lλi .

а) Для λ1 = 3 имеем:				4 − 3			− 3
(A − 3E)X =					1		2 − 3
					− 1			1
				1	− 3		− 3
				1	− 1
								1
			− 1
					1 − 1
	x1				− 3x2			−
		x1			−	x2		+
	− x				+	x	2	−
			1

−3 x1

1x2 = O , 2 − 3 x3

x1			0
x2			0		,
		=
			0
x3

3x3	=	0,
x3	=	0,
x3	=	0.

Ранг матрицы системы равен 2, в качестве базисного минора можно вы-

брать, например, минор		1	− 3		. Тогда переменные	x , x	2	будут зависи-
		1	− 1			1

мыми, а x3 – свободной. Отбрасываем третье уравнение системы и находим общее решение:

x1

−

3x2

−

3x3

=

0,

x1

−

3x2

=

3x3,

−

x2

+

x3

=

0;

−

x2

=

− x3;

x1

x1

Вычитаем из первой строки вторую и находим х2.

x1

−

3x2

=

3x3,

x1

=

3x2 + 3x3,

x1

=

− 3x3,

−

2x2

=

4x3;

=

− 2x3;

=

− 2x3.

x2

x2

Фундаментальная система решений состоит из одного решения. Чтобы ее записать, придадим свободной переменной x3 любое отличное от нуля

значение. Например, полагаем x3 = 1. Тогда из общего решения находим x1 = −3, x2 = −2 .

	− 3
Итак, получили: X1		− 2		– решение фундаментальной системы. Сле-
	=
		1
довательно, собственный			вектор, соответствующий собственному зна-
чению λ1 = 3:				c1 = {−3; − 2;1}.
б) Для λ2 = 1 имеем:

62

	4 − 1 − 3		− 3 x1
	1	2 − 1	1			= O ,
(A − 3E)X =				x2
	− 1	1	2 −
				1 x3

				3 − 3 − 3 x1						0
								=		0
				1 1 1 x2							,
										0
			− 1 1 1 x3
	3x1			− 3x2		− 3x3					= 0,
				+ x2		+ x3					= 0,
	x1
	− x			+ x	2	+		x			= 0.
		1						3

Ранг матрицы системы равен 2, в качестве базисного минора можно вы-

брать, например, минор	1 1	. Тогда переменные	x , x	2	будут зависи-
	− 1 1		1

мыми, а x3 – свободной. Отбрасываем первое уравнение системы и находим общее решение:

	x1 + x2 = − x3,		x1 + x2 = − x3,			x1 = 0,
				x2 = − x3;			= − x3.
− x1 + x2 = − x3;						x2

Фундаментальная система решений состоит из одного решения. Чтобы ее записать, придадим свободной переменной x3 любое отличное от нуля

значение. Например, полагаем x3 = 1. Тогда из общего решения находим

x1 = 0, x2 = −1. Следовательно, собственный вектор оператора, соответ-
ствующий собственному значению λ2 = 1:						c2 = {0;− 1;1}.
в) Для λ3 = 4 имеем:	4 − 4 − 3			− 3		x1
		1	2 − 4		1					= O ,
(A − 3E)X =						x2
		− 1	1 2		− 4
						x3
0 − 3 − 3 x						0
	1	− 2		1			0
			1 x2		=			,
	− 1	1					0
			− 2 x3

− 3x2

− 3x3

= 0,

− 3x2

− 3x3

= 0,

x1

−

2x2

+

x3

=

0,

−

2x2

+

x3

=

0,

x1

− x +

x

2

−

2x

=

0;

−

x

2

−

x

=

0.

1

3

3

63

Ранг матрицы системы равен 2, в качестве базисного минора можно вы-

брать, например, минор 01 − 11 . Тогда переменные x1, x3 будут зависи-

мыми, а x2 – свободной. Отбрасываем первое уравнение системы и на-

ходим общее решение:
x1 + x3 = 2x2 ,			x1 = 3x2 ,
	x3 = − x2;			= − x2.
			x3

Фундаментальная система решений состоит из одного решения. Чтобы ее записать, придадим свободной переменной x2 любое отличное от нуля

значение. Например, полагаем x2 = −1. Тогда из общего решения находим x1 = −3, x3 = 1. Следовательно, собственный вектор оператора, соответствующий собственному значению λ3 = 4 : c3 = {−3; − 1;1}.

3) Оператор диагонализируем, если совокупность базисов подпространств образует базис исходного пространства. А диагонализированная матрица оператора – это матрица оператора в базисе его собственных векторов. Из уравнения на собственные числа и собственные векторы

Ac1 = λ1c1

следует, что разложение оператора по базису собственных векторов будет иметь вид:

Ac1 = λ1c1 + 0 c2 + 0 c3,

Ac2 = 0 c1 + λ2c2 + 0 c3,

Ac2 = 0 c1 + 0 c2 + λ3c3.

Тогда диагонализированная матрица оператора – это диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали:

λ1		0	0			3 0		0
	0	λ 2	0			0	1 0
					=				.
	0	0				0	0	4
			λ 3

64

5.ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ

5.1.Требования для сдачи экзамена

Кэкзамену допускаются только те студенты, у которых зачтены все индивидуальные задания.

Студенты, обучающиеся по классической заочной форме (КЗФ), сдают экзамен во время зимней экзаменационной сессии по билетам (в устной или письменной форме). Каждый билет содержит два теоретических вопроса и три задачи. Экзамен считается сданным, если студент ответил 50% билета.

Студенты, обучающиеся с использованием дистанционных образовательных технологий (ДОТ), сдают экзамен в тестовой форме (on-line режим).

5.2.Вопросы для подготовки к экзамену

Тема 1. Линейная алгебра

1.Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется?

2.В каких случаях определитель равен нулю? Что следует из равенства определителя нулю?

3.Дайте определение минора и алгебраического дополнения элемента определителя. Сформулируйте правило вычисления определителя.

4.Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.

5.Как осуществляются линейные операции над матрицами?

6.Как перемножаются две матрицы? Сформулируйте свойства операции умножения матриц.

7.Невырожденная и обратная матрицы. Докажите теорему существования и единственности обратной матрицы.

8.Какова схема нахождения обратной матрицы?

9.Дайте определение решения системы линейных алгебраических уравнений. Расшифруйте понятия «совместная», «несовместная», «определённая», «неопределённая» системы.

10.Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

11.Что называется рангом матрицы? Как он находится?

12.Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

13.При каких условиях система линейных алгебраических уравнений имеет множество решений? Когда она имеет единственное решение?

65

14.Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений. 15.Какие неизвестные называются свободными, а какие базисны-

ми?

16.Какие особенности решения однородных систем линейных алгебраических уравнений Вы знаете?

17.Как строится фундаментальная система решений?

Тема 2. Векторная алгебра

18.Как выполняются линейные операции над векторами? Каковы свойства этих операций?

19.Какие вектора называются линейно зависимыми, а какие линейно независимыми?

20.Что такое базис? Какие вектора образуют базис на плоскости и в пространстве?

21.Какой базис называют декартовым?

22.Что такое координаты вектора?

23.Что называется скалярным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

24.Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

25.Что называется смешанным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

26.Запишите в векторной и координатной формах условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.

Тема 3. Аналитическая геометрия

27.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение.

28.Дайте понятие нормального и направляющего векторов прямой на плоскости, углового коэффициента прямой.

29.Запишите различные виды прямой и укажите геометрический смысл параметров уравнения.

30.Запишите условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости в случае различных видов уравнений прямых.

31.Как найти точку пересечения прямых на плоскости?

32.Как вычисляется расстояние от точки до прямой на плоскости? 33.Плоскость, её общее уравнение.

34.Как определяется взаимное расположение плоскостей? Запишите условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

66

35.Как вычисляется расстояние от точки до плоскости?

36.Запишите различные виды уравнений прямой в пространстве и поясните смысл параметров, входящих в уравнения.

37.Изложите схему приведения общих уравнений прямой к каноническому виду.

38.Как определить взаимное расположение прямых в пространст-

ве?

39.Как вычисляется расстояние от точки до прямой в пространст-

ве?

40.Как определить взаимное расположение прямой и плоскости?

41.Как ищется точка пересечения прямой и плоскости?

42.Дайте определение эллипса и запишите его каноническое уравнение.

43.Дайте определение гиперболы и запишите её каноническое уравнение.

44.Дайте определение параболы и запишите её каноническое уравнение.

45.Изложите схему приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

46.Дайте понятие полярной системы координат.

47.Опишите параметрический способ построения линий на плоско-

сти.

48.Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические уравнения.

49.Метод параллельных сечений исследования формы поверхно-

сти.

Тема 4. Линейные пространства и линейные операторы

50.Вещественное линейное пространство. Определение и примеры.

51.Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе.

52.Определение изоморфных векторных пространств. Теорема об изоморфизме векторных пространств (с доказательством).

53.Определение матрицы перехода от базиса к базису. Выведите формулы перехода от одного базиса к другому.

54.Выведите формулы преобразования координат вектора при преобразовании базиса.

55.Подпространство линейного пространства. Определение и примеры. Докажите, что всякое подпространство линейного пространства само является векторным пространством.

67

56.Сумма подпространств. Определение. Докажите, что сумма двух подпространств является подпространством линейного пространства.

57.Пересечение подпространств. Определение. Докажите, что пересечение двух подпространств является подпространством линейного пространства.

58.Определение евклидова пространства. Примеры. Скалярное умножение векторов. Скалярный квадрат вектора.

59.Докажите неравенство Коши-Буняковского.

60.Норма вектора. Нормированное линейное пространство. Определения и примеры.

61.Докажите, что любое евклидово пространство является нормированным.

62.Угол между элементами евклидова пространства. Ортогональные векторы. Определения. Докажите теорему Пифагора.

63.Ортогональная система векторов. Определение. Докажите, что ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

64.Нормированный вектор. Ортогональный базис. Ортонормированный базис. Определения. Докажите, что во всяком евклидовом конечномерном линейном пространстве существует ортонормированный базис.

65.Метод ортогонализации базиса.

66.Оператор, действующий из одного линейного пространства в другое. Образ и прообраз линейного оператора. Оператор линейного пространства. Определения.

67.Линейный оператор векторного пространства. Определение и примеры.

68.Докажите свойства линейного оператора.

69.Матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства в некотором базисе. Определение и примеры. Теоремы о линейных операторах и их матрицах.

70.Докажите теорему о связи между координатами вектора и его образа.

71.Докажите теорему об изменении матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

72.Действия над линейными операторами. Определения.

73.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Определения.

74.Сформулируйте свойства собственных векторов.

75.Собственное подпространство линейного оператора.

68

76.Характеристическая матрица линейного оператора. Характеристический многочлен и характеристические корни линейного оператора. Определения.

77.Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

78.Определение диагонализируемого оператора конечномерного пространства.

79.Когда матрица линейного оператора конечномерного векторного пространства диагональная? Рассмотрите теорему, отвечающую на этот вопрос.

5.3. Образцы билетов к экзамену для КЗФ Экзаменационный билет № 0

1. Линейные операции над матрицами. Свойства линейных опера-

ций.

2.Определение смешанного произведения. Докажите теорему о модуле смешанного произведения.

3.Найдите собственные числа и собственные векторы линейного

		0	1 0
оператора, заданного матрицей		− 3 4 0			и, если возможно, приве-
	A =
		− 2	1 2

дите её к диагональному виду.

4. Даны координаты четырёх точек A1(1, 3, 6), A2 (2, 2, 1), A3(− 1, 0, 1), A4 (− 4, 6, − 3). Составьте канонические уравнения прямой,

проходящей через точку А4 перпендикулярно плоскости, определяемой точками А1, А2, А3.

5. Определите тип кривой, заданной уравнением 9x2 − 4 y2 + 18 + 8y − 31 = 0 , и постройте её.

5.4. Образцы билетов к экзамену для ДОТ

Экзамен проводится в тестовой форме (on-line)

Задания на выбор единственного ответа

1 1 2

Задание 1. Значение определителя 3 3 6 равно: 1 2 3

69

Возможные варианты ответов:

1) 2

2) 3

3) 0

4) –2

5) –3

Ответ: 3) +

Задание 2.

Прямая

x − 2

=

y + 1

=

z − 3

перпендикулярна плос-

−3

2

1

кости

n x + 8y + 4z + 13 = 0 при n равном:

Возможные варианты ответов:

1) 12;

2) 3;

3) –3;

4) –12;

5) 1.

Ответ: 4) +

1 0 0

Задание 3.

Матрица X из уравнения

2 1 0

(1 0 0) равна:

X

=

0 2 0

Возможные варианты ответов:

− 3

− 1

1) (− 3 2 − 1);

2) (− 1 1 0); 3) (3 2 1);

4)

2

; 5)

1 .

0

Ответ: 1) +

− 1

− 2x + y + 3z = 7,

Задание 4.

Решить систему уравнений

7x

− 5y − 2z = 1,

любым

x − 4 y + z = 4

методом. В ответ записать z.

	Возможные варианты ответов:
1) 5;	2) 0;	3) 3;	4) 2;	5) 1
	Ответ: 3) +			1		0	0	2	− 4
					2	1	0	6	4
	Задание 5. Найти ранг матрицы
					2	0	0	4	− 8
	Возможные варианты ответов:
1) 0;	2) 1;	3) 2;	4) 3;	5) 4
	Ответ: 3) +
	Задание 6.	Плоскость 2x + By − 3z + 1 = 0							параллельна прямой

	x −1		=	y + 3		=	z + 2	при B равном:
	2			− 1
						5
1) 10;						2) –10;			3) 11;	4) –11;	5) 0

70