КЗ по АиГ

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор действует из в , где – линейное пространство многочленов степени, не превышающей . Найдите матрицу оператора , если в качестве базиса в выбрать .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 8

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте уравнение параболы с фокусом и директрисой .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор действует из в , где – линейное пространство многочленов степени, не превышающей . Найдите матрицу оператора , если в качестве базиса выбрать .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 9

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с фокусами , и вершиной .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор действует из в , где – линейное пространство многочленов степени, не превышающей . Найдите матрицу оператора , если в качестве базиса в выбрать .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 10

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с фокусами и , если расстояние между ее вершинами равно 6.

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , . Здесь – транспонированная матрица .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 11

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса по его директрисам , и малой полуоси , зная, что его центр лежит на прямой .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , . Здесь – транспонированная матрица .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 12

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с асимптотами и , если расстояние между ее фокусами равно 20.

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 13

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом , если один из его фокусов расположен в точке и директриса, соответствующая второму фокусу, имеет уравнение .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .