Комплексные числа - копия

1. Комплексные числа

2.Алгебраическая форма комплексного числа

3.Комплексно-сопряжённые числа

4.Тригонометрическая форма комплексного числа

5.Модуль и аргумент

6.Операции с комплексными числами (сложение, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

Комплексные числа представляют собой расширение множества рациональных чисел

Комплексное число задается двумя действительными числами a и b. Эта пара (a,b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения.

Комплексное число записывают в алгебраической форме как , где число называется мнимой единицей, имеющей свойство , число a называется действительной частью числа z, а число b – мнимой частью числа z. Их обозначают Re z и Im z соответственно: a = Re z, b = Im z.

Для отображения комплексных чисел используется числовая плоскость, называемая комплексной плоскостью. Можно считать пару чисел (a,b) декартовыми координатам, и тогда получится естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости.

Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так, как если бы мнимая единица i была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной), при этом .

Число z называется чисто мнимым, если Re z = 0, например i, -4i,

Число z называется действительным (вещественным), если Im z = 0, например ½, 0,

Алгебраическая форма.

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сопряженные числа. Если комплексное число , то число называется комплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу z. Комплексное число z и комплексно-сопряженное к нему число отличаются знаком мнимой части, действительная часть у них одинаковая:

• (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Тригонометрическая и показательная формы.

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме z = r(cos φ + isin φ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: z = re^iφ, где e^iφ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Модуль и аргумент.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается |z| и определяется выражением . Часто обозначается буквами r или p. Если z является вещественным числом, то |z| совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля:

1. , причем тогда и только тогда, когда z = 0;

2. (неравенство треугольника);

3. 

4. 

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5. Для пары комплексных чисел z₁ и z₂ модуль их разности | z₁ − z₂ | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла φ между положительным направлением действительной оси и вектором и обозначается .

Величина угла φ считается положительной, если угол φ отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

• 

• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.

• Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается . Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .

• -множество аргументов числа z

Операции над комплексными числами.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i² = − 1):

(a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d)

;

При делении комплексных чисел нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тогда в знаменателе окажется действительное число — на которое можно поделить:

Возведение в степень:

Извлечение корня:

По формуле Муавра: zⁿ = [r(cos φ + isin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + isin nφ), где де r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа получаем: