Е. А. КАРОЛИНСКИЙ, Б. В. НОВИКОВ

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ТЕОРИИ ГРУПП

	HH
		HH	HH
	Z(n)	Sn
	H
	HHH
		Fn	HH
HH
	HHH
	H

Луганск — 2002

ББК

УДК

Навчальний посiбник

ISBN

Збiрник задач з теорiї групп для студентiв та магiстрантiв математичних спецiальностей унiверситетiв.

Вiдповiдальний за випуск: Попов А. Б.

Затверджено на засiданнi вченої ради Луганського державного педагогiчного унiверситету iменi Тараса Шевченка. – пр. №4 вiд 29 листопада 2002 року.

c Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

c Лабораторiя теоретичних та прикладних проблем математики Луганського державного педагогiчного унiверситету iменi Тараса Шевченка, 2002

c Альма-матер. 2002

ISBN

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		4
1.	Группы, подгруппы, теорема Лагранжа . . . . . . .	6
2.	Циклические группы. Порядок элемента . . . . . .	12
3.	Гомоморфизмы, факторгруппы . . . . . . . . . . . .	15
4.	Прямое произведение . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
5.	Абелевы группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
6.	Свободные группы. Определяющие соотношения .	27
7.	Действие группы на множестве . . . . . . . . . . .	31
8.	Теоремы Силова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
9.	Пример: группы диэдров . . . . . . . . . . . . . . .	38
10.	Теория Пойя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
11.	Разное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . .		48
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		66

3

Введение

На протяжении нескольких лет авторы этого сборника задач ведут семестровый курс теории групп для студентов II курса механико-математического факультета Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина. Небольшой объем нагрузки (одна лекция и одно практическое занятие в неделю) определил тематику занятий – это в первую очередь теория конечных групп, включая конечнопорожденные абелевы группы, действие группы на множестве и теоремы Силова. Тем не менее, даже этого запаса знаний хватает для знакомства с приложениями теории групп. Чтобы проиллюстрировать это, мы в конце курса доказываем частный случай теоремы Пойя и с помощью его решаем задачу об ожерельях.

В соответствии с содержанием лекций и составлен этот задачник. В начале каждого раздела вкратце излагаются необходимые сведения из теории групп (конечно, они не могут заменить учебника и призваны только ориентировать читателя на необходимые теоретические вопросы). Рекомендации для преподавателя вынесены в подстрочные замечания. В сборник включены задачи различной трудности (ведь и студенты бывают разные!) – от тривиальных до теорем (в последнем случае теорема разбивается на ряд последовательных задач). Задачи, снабженные указаниями или решениями в конце книги (как правило, более трудные), отмечены звездочкой.

Разумеется, мы предполагаем, что читатель знаком с основами линейной алгебры (например, в объеме учебника А. Г. Куроша “Курс высшей алгебры”), и свободно оперируем такими понятиями, как “пространство”, “матрица”, “определитель” и т. п.

Мы пользуемся следующими обозначениями для общематема-

4

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

5

тических понятий:

N – множество целых положительных чисел, Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел, R – множество вещественных чисел, C – множество комплексных чисел,

A+ – множество положительных чисел в A R, |A| – порядок (мощность) множества A,

m n – n делится на m (m и n – целые числа),

m6n – n не делится на m,

НОК(m, n) – наименьшее общее кратное m и n, НОД(m, n) – наибольший общий делитель m и n.

Авторы благодарят проф. В. М. Усенко (Луганский государственный педагогический университет им. Т. Шевченко) за полезные советы и за помощь в издании этой книги.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Н. Дж. Де Брейн¨. Теория перечисления Пойа. В сб.: Прикладная комбинаторная математика, М., 1962.

2.М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. Основы теории групп.

М., 1982.

3.А. И. Кострикин. Введение в алгебру. М., 1977.

4.А. Г. Курош. Теория групп. М., 1967.

5.С. Ленг. Алгебра. М., 1968.

6.М. Холл. Теория групп. М., 1962.

Р А З Д Е Л 1

Простейшие свойства групп. Подгруппы. Теорема Лагранжа

Под операцией на множестве A мы будем понимать отображение A × A −→ A. Таким образом, операция каждой паре элементов (a, b) из A сопоставляет новый элемент, который обычно обозначается через ab (а также a + b, a b и т. д.).

Полугруппой называется множество S с заданной на нем ассоциативной операцией (т. е. a(bc) = (ab)c для всех a, b, c S).

Группой называется полугруппа G, удовлетворяющая услови-

ям:

1)Существует такой элемент e G, что ae = ea = a для всех a G. Этот элемент называется единичным (или единицей) и часто обозначается через 1.

2)Для каждого a G существует такой элемент a G, что aa = aa = e. Этот элемент называется обратным к a и обычно обозначается через a−1.

Группа G называется абелевой (или коммутативной), если ab = ba для всех a, b G.

Легко доказывается единственность единицы и обратного элемента. Если операция в группе обозначается через “+” (аддитивная форма записи), то вместо “1” пишут “0”, а вместо “a−1”

– “−a”. Как правило, аддитивная форма записи употребляется лишь для абелевых групп.

6

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

7

Пусть G и H – группы. Отображение f : G −→ H называется изоморфизмом, если оно биективно и f(ab) = f(a)f(b) для любых a, b G. При этом группы G и H называются изоморфными

(обозначение G H). Изоморфные группы обладают одними и

=

теми же алгебраическими свойствами.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если 1, a−1, ab H для любых элементов a, b H. Таким образом, H сама является группой относительно рассматриваемой операции. Чтобы подчеркнуть, что H является подгруппой в G, мы будем писать H < G вместо H G.

Подгруппы E := {1} < G и G < G называются несобственными, остальные подгруппы – собственными.

Если A, B G, то AB обозначает подмножество

{ab | a A, b B}.

В частности, подмножество вида aH, где a G, H < G называется (правым) смежным классом по подгруппе H. Множество правых смежных классов G по H обозначается через G/H. Смежные классы по H либо не пересекаются, либо совпадают; кроме того, их объединение совпадает с G. Отсюда вытекает

Теорема 1.1 (Теорема Лагранжа) Если H – подгруппа группы

G, то |G| = [G : H]|H|, где [G : H] – число правых смежных классов по H (индекс H в G).

Замечание. Конечно, эти рассуждения верны и для левых смежных классов, т.е. подмножеств вида Ha. Теорема Лагранжа показывает, что индекс подгруппы не зависит от того, какие смежные классы мы рассматриваем.

* * *

1.1. Группа симметрий фигуры на плоскости – это множество всех движений плоскости, оставляющих фигуру на месте. Проверьте, что это действительно группа относительно композиции, и найдите группы симметрий для различных видов треугольников и параллелограммов.

1.2. Найдите число элементов группы Dn симметрий правильного n-угольника. Составьте таблицы умножения для групп D3 и D4.

8Раздел 1. Группы, подгруппы, теорема Лагранжа

1.3. а) Образуют ли группу по сложению множества N, Q, R, C? б) Пусть R – кольцо. Проверьте, что R – группа по сложению.

1.4. а) Образуют ли группу по умножению множества ненулевых (положительных, отрицательных) целых (вещественных) чисел?

б) Пусть R – кольцо с единицей,

R := {x R | y R : xy = yx = 1}.

Проверьте, что R – группа по умножению. Проверьте, что если

F – поле, то F = F \ {0}.	[i]	:=
в)* Найдите группу R для колец R = , R =
Z	Z
{a + bi | a, b Z}, R = Z[ω] := {a + bω | a, b Z} (здесь ω		–
первообразный корень степени 3 из единицы).

1.5. При каких r R, r ≥ 0 множество комплексных чисел с модулем, равным r, является группой по умножению?

1.6. Является ли группой (по сложению и по умножению) множество

а) диагональных n × n-матриц с ненулевыми элементами на диагонали;

б) треугольных n × n-матриц с ненулевыми элементами на диагонали;

в) 3×3-матриц вида

	a	b	0
	c	d	0	;
	0	0	0

г) n × n-матриц с нулевой диагональю; д) невырожденных n × n-матриц;

е) n × n-матриц с определителем, равным данному d? (Предполагается, что матричные элементы лежат в некотором поле F .)

1.7. Пусть X – произвольное множество. Докажите, что множество S(X) всех биекций X на себя образует группу относительно композиции. (Если |X| = n < ∞, то S(X) обычно обозначают через Sn и называют симметрической группой степени n; ее элементы – подстановки степени n.)

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

9

1.8. Докажите, что дробно-линейные функции вида

f(x) = axcx ++ db,

где a, b, c, d F , ad 6= bc (F – поле), образуют группу относительно композиции.

1.9. Докажите, что булеан (т.е. множество всех подмножеств) множества является группой относительно симметрической разности.

1.10. Пусть в группе G квадрат любого ее элемента равен единице. Докажите, что G абелева.

1.11.* Пусть в группе G существует, и притом ровно один, элемент a G такой, что a2 = e, a 6= e. Докажите, что ax = xa для всех x G.

1.12. Пусть x, u, v G, x = uv = vu, up = vq = e, где НОД(p, q) = 1. Докажите, что u = xα, v = xβ для некоторых взаимно простых

α, β.

1.13. Пусть u1v1 = v1u1 = u2v2 = v2u2, up1 = up2 = v1q = v2q = e, где НОД(p, q) = 1. Докажите, что u1 = u2, v1 = v2.

1.14. Проверьте, что если K < H, H < G, то K < G.

1.15. Проверьте, что: а) Z < Q < R < C; б) Q < R < C ;

в) множество T := {z C | |z| = 1} является подгруппой в C . г) множество An всех четных подстановок степени n является подгруппой в Sn. (Группа An называется знакопеременной

группой степени n.)

1.16. Пусть F – поле, n N, GL(n, F ) – группа невырожденных n × n-матриц с элементами из F .

а) Пусть SL(n, F ) := {A GL(n, F ) | detA = 1}. Проверьте, что SL(n, F ) < GL(n, F ).

б) Проверьте, что диагональные матрицы с ненулевыми диагональными элементами образуют подгруппу в GL(n, F ).

10	Раздел 1. Группы, подгруппы, теорема Лагранжа
	в) Проверьте, что верхнетреугольные матрицы с ненулевыми
диагональными элементами образуют подгруппу в GL(n, F ).
	г) Проверьте, что матрицы вида		,
	−b	a
	a	b

где a, b R, a2 + b2 = 1, образуют подгруппу в GL(2, R).

1.17. Покажите, что пересечение любого множества подгрупп является подгруппой.

1.18. Пусть H < G, g G. Проверьте, что gHg−1 < G.

1.19. Докажите, что если H, K, H K < G, то либо H < K, либо

K < H.

1.20. Пусть H, K < G. Докажите, что HK < G тогда и только тогда, когда HK = KH.

1.21. Пусть H, K < G. Докажите, что |HK| = |H||K|/|H ∩ K|.

1.22. Докажите, что централизатор CG(g) := {x G | xg = gx} элемента g G является подгруппой в G.

1.23. Докажите, что центр C(G) := {x G | g G : xg = gx} является подгруппой в G.

1.24. Докажите, что нормализатор

NG(H) := {x G | xHx−1 = H}

подгруппы H < G является подгруппой в G.

1.25. Пусть H < G, g G. Чему равен NG(gHg−1)?

1.26. Найдите все подгруппы в а) S3, б) D4.

1.27. Докажите, что в Z все подгруппы имеют вид nZ.

1.28. Докажите, что конечная подполугруппа в группе является подгруппой.

1.29. Найдите смежные классы: а) Z по 3Z; б) Z по nZ;

Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков

11

в) R по Z;

г) C по R;

д) C по R ; е) Sn по Sn−1.

1.30. Пусть K < H < G. Докажите, что [G : K] = [G : H]·[H : K].

1.31. Пусть H, K < G. Докажите, что [K : H ∩ K] ≤ [G : H].

1.32. Пусть H, K < G. Докажите, что

[G : H ∩ K] ≤ [G : H] · [G : K].

1.33. Пусть H, K < G, [G : H] = 2, K 6 H. Докажите, что

[K : H ∩ K] = 2.

1.34. Пусть H, K < G, |G| нечетно, [G : H] = 3, K 6 H. Докажите, что [K : H ∩ K] = 3.

1.35. Пусть a1, . . . , an – представители правых смежных классов группы G по подгруппе H. Докажите, что a−1 1, . . . , a−n 1 – представители левых смежных классов G по H.

1.36. Докажите, что подмножество M группы G тогда и только тогда является левым смежным классом по некоторой подгруппе, когда оно является правым смежным классом по некоторой (другой) подгруппе.

1.37. Докажите, что непустое подмножество M группы G тогда и только тогда является смежным классом по некоторой подгруппе, когда aM−1M = M для некоторого a G.