Задания к экзамену по математике 2 семестр

Задания к экзамену по математике 2 семестр

I. Функции нескольких переменных

1.	Найти частные производные первого и второго порядков:
	1.	= arctg
	2. = ln2( 2 + 2)
	3. = 3 2 + 3 − 4 3 4 + 8
2.	Экстремумы функции нескольких переменных
	1.	Исследовать на экстремум функцию = 3 + 3 − 3
	2.	Найти экстремум функции = 2 − 2 при условии = 2 − 6.
	3.	Найти экстремумы функции = + 2 при условии 2 + 2 = 5
	4.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции = 2 + 2 − + + в области,
	ограниченной линиями = 0, = 0, + = −3
3.	Найти градиент функции z xy				2	2x в точке С(–1;1)
4.	Найти частную производную функции z x3 sin y по переменной y в точке М(1;0)
II. Интегралы:
1.	Вычислить неопределенные интегралы:

1.

2.
3.
4.
5.
6.

3					3		x	2		2x
							x				dx
		3 2xdx
			dx
9x				2	1
							dx
x		2		4x 13
(1					3x)				4	dx
e	2 x 7					dx

			tg		3	x
							dx
	7.		cos	2		x
		(3x 1) cos( x 4)dx
	8.
		ln(x 5)dx
	9.

xdx

10. e3 x 2 1

2. Вычислить определенные интегралы:

	8
1. ∫
	3	√1 +
	/2
2. ∫ cos
	0
	3
3. ∫
	1	√1 + ln
3. Вычислить несобственный интеграл
arctgxdx
	1 x2
0
4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y x 2									6x 8,	y x 2	4x .

	III. Дифференциальные уравнения:
	1.	Проверить, является ли функция y ln x решением дифференциального уравнения
			x	4
	2.	При каком k функция y			является решением дифференциального уравнения y
			4
	3.	Проверить, является ли решением дифференциального уравнения				xy		y 0 при

xy(2k y( 1)

y

ln x 1.
3)x	3	?
2 функция

у 2х .
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения cos ydy						dx		.
							x 2
5.	Чему равен порядок дифференциального уравнения	2 y		у		7х		4	?

6.Решить дифференциальные уравнения 1 порядка

1.′ sin − cos = 0

2.2 √1 − 2 = ′ + 2 ′

3.′ cos − sin = 2

		4.	′ − tg =			1
						cos3
		5. ′ ln − = 3 2 ln2
	7.	Решить дифференциальное уравнение высших порядков:
		1.	′′′ − ′ = 0, (0) = 3, ′(0) = −1, ′′(0) = 1
		2.	′′ − 10 ′ + 25 = 3sin
		3.	′′ + 4 = 2
		4. ′′ + 3 ′ + 2 = 4 + 1
		5.	′′′ =	1	+ 5
										5
	8.	Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения						y
	9.	Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y 5

10. По виду правой части написать частное решение дифференциального уравнения	y

y

6 y 0 .

6 y 0 .

х

2

.

IV. Ряды

				1		n
	1.	Найти сумму числового ряда				?
		n 1		2
	2.	Найти частичную сумму первых пяти членов числового ряда: 10; 11; 12;…
																6n 2
	3.	Проверить выполнение необходимого признака сходимости для ряда																.
																2n 1
															n 1
																						3		n
	4.	При помощи признака Даламбера исследовать на сходимость знакоположительный ряд
																					n	2	2
																				n 1
							( 1)	n
	5.	Исследовать на абсолютную сходимость ряд								.
							3n	2
						n 1
	6.	Найти область сходимости степенного ряда (x 2)							x 2 2					x 2 3	...		x 2 n		...
								3						5			2n 1
												x
	7.	Найти чему равен радиус сходимости степенного ряда												?
											n	5
										n 1

8. Радиус сходимости степенного ряда a0 x n равен 9. Написать его интервал сходимости.

n 1

.