10)Упрощение вида ответа при символьных вычислениях и разница в результате при записи в виде степени числа (1/n) и корняn-ой степени из этого числа приn-нечётном.

Все дело в существовании одного очень тонкого отличия в MathCAD между записью кубического корня в виде непосредственного математического оператора и как степени.Разница эта заключается в том, что оператор рассматривает подкоренное выражение как действительное число, а степень – как комплексное.При этом, если операция проводится над действительным отрицательным числом, то в первом случае ответ будет также действительным отрицательным числом, а во втором – комплексным выражением.При возведении и того, и другого ответа в куб будет получено, в рамках рабочей точности, исходное число.Аналогичная ситуация существует и для корней других нечетных степеней Таким образом запись в видепри n-нечетном позволяет получить значения корня в виде действительного числа.

11)Понятие оптимизации при проектировании.

Оптимизация есть процедура поиска и нахождения такой комбинации значений параметров устройства определенной структуры, при которой характеристики объекта имеют наилучшие значения согласно выбранному критерию.Инженерное проектирование устройства, превосходящего по своим параметрам другие устройства данного класса, и есть процесс оптимизации.Оптимизация в сочетании с перебором определенного числа структур проектируемого объекта перерастает в процедуру синтеза.

12)Понятие функции цели, меры расхождения между требуемой и реальной характеристиками.

Несмотря на все разнообразие критериев их можно свести к единой математической записи – функции цели, которая в концентрированной форме отражает смысл решаемой задачи по оптимизации устройства – в наилучшем приближении его характеристик к требуемым согласно определенным признакам.Все действия в такой программе оптимизации в конечном итоге направлены на получение экстремального значения функции цели – максимального или минимального, в зависимости от поставленной задачи.Поскольку, как правило, качество устройства определяют несколько критериев (например, в приводимом выше примере с фильтром – максимум в одной полосе, минимум – в другой), то целевая функция является суммой определенного числа членов и по своему виду является взвешенно-аддитивно цифровой, отражающей требование минимального отличия желаемых (иногда идеальных) характеристик от реально получаемых. Составим в обобщенном виде функцию цели.При исследовании в частотной области для целевой функции, определяемой K критериями, запишем: где Фk – частная целевая функция для k-й характеристики;

ψkT – функция, определяющая требуемую k-ю частотную характеристику;

ψkP – функция, определяющая реально полученную k-ю частотную характеристику, зависящую от параметров устройства;

Vk – весовой множитель для k-й характеристики.

Мерой расхождения между требуемой и реальной характеристиками могут являться или минимум суммы квадратов уклонений, или минимаксный критерий. При них функция цели примет вид: .

13)Методы поиска экстремума функции цели.

Сами методы поиска целевой функции, т.е. определение xопт , классифицируется по нескольким признакам:

•по виду искомого минимума – локальные и глобальные;

•по характерной черте метода – с использованием только значений, принимаемых целевой функцией Fц (x) (методы прямого поиска), или как значений Fц (x), так и ее первых и вторых производных (градиентные методы);

•по способу перехода от одной точки к другой на каждом шаге поиска – детерминированные и случайные;

•в зависимости от характерного признака целевой функции, в связи, с чем различают выпуклое, вогнутое, квадратичное программирование.

Обобщенная структурная схема программы поиска как локального, так и глобального минимума приведена на рис.6.52, в которую включены в виде отдельных модулей все основные процессы поиска.В задачах оптимального проектирования методы локального поиска на основе производных (градиентные методы) обычно не используются, поскольку выражение для производных в аналитическом виде для исследуемых функций получить не удается, а их численное определение с помощью разностных схем может приводить к ощутимой ошибке в окрестности экстремума. Поэтому предпочтение отдается прямым методам поиска, основанным на вычислении только самой целевой функции.

Погрупповой метод последовательного поиска. Пусть число переменных параметров есть N и каждый из параметров xn изменяется с шагом ∆ xn в пределах от xn.мин до xn.макс и принимает M дискретных значений. Тогда при последовательном переборе всех комбинаций множества параметров xn общее число рассчитываемых вариантов составит Q=MN. Это число может быть столь большим (например, при M=10 и N=6 значение Q=106), что даже расчет на быстродействующей ЭВМ может оказаться недопустимо длительным. Поголовный перебор всех вариантов можно исключить, если параметры разбить на группы, включающие только взаимозависимые xn . Далее производится перебор всех xn только внутри группы с определением набора параметров, соответствующих минимуму целевой функции. Последовательно переходя от одной группы параметров к другой, определяют вектор xопт, включающий все параметры xn. Так, например, в приведенном примере из 6-ти параметров при возможности их разбиения на две группы по 3 параметра общее число рассчитываемых вариантов составит Q=2*103=2000, т.е. почти на три порядка меньше, чем в первом варианте. Однако, воспользоваться таким простым и надежным способом поиска глобального минимума можно только при сильной зависимости параметров внутри одной группы и слабой – между разными.

Покоординатный метод. Здесь сначала дискретно изменяется только параметр x1 при постоянных значениях всех остальных параметров xn до тех пор, пока целевая функция не станет минимальной. Полученное значение x1 фиксируется и в новом цикле начинается изменение параметра x2 при неизменных значениях остальных параметров и т.д., вплоть до изменения параметра xn. Подобная процедура повторяется несколько раз, в результате чего определяется вектор xопт. Как и в предыдущем случае, такой простой алгоритм успешно действует только при слабой зависимости между собой всех параметров xn.

Метод слепого поиска. При данном методе производится случайный перебор значений варьируемых параметров xn до тех пор, пока значение целевой функции не станет приемлемо малым. При этом в программе должно производиться моделирование случайных величин по одному из известных способов. При «слепом» поиске процесс обучения в системе отсутствует, так как каждый шаг обособлен от другого. «Слепой» поиск с большим шагом изменения варьируемых параметров можно совместить с одним из локальных методов поиска с меньшим шагом, что помогает приблизиться к минимуму целевой функции.

Метод оврагов. Этот метод пригоден для так называемых хорошо организованных функций, при которых переменные параметры x1,x2, …, xn можно разбить на две группы: сильно и слабо влияющие на целевую функцию Fц. Параметры 1-й группы меняются с относительно большим шагом, 2-й – c малым. После большого шага в рамках 1-й группы параметров производится локальный поиск с малым шагом в рамках 2-й группы параметров. Такая итерационная процедура позволяет относительно быстро продвигаться по так называемому «оврагу» к глобальному минимумy функции цели.

Метод Розенброкаили вращающихся координат. Здесь используется специальная итерационная процедура, связанная с вращением направлений поиска по отношению к предыдущему шагу, в результате чего продвижение к минимуму функции цели, как и в предыдущем случае, происходит по «оврагу». Для целенаправленного поиска на каждом последующем шаге используется информация, полученная на предыдущем, что позволяет сравнительно быстро найти локальный минимум целевой функции. Меняя исходную точку поиска или совместив метод Розенброка со «слепым» или иным способом, можно с высокой степенью вероятности найти глобальный минимум функции цели.