Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (НИУ)
Филиал ФГБОУ ВПО «ЮУрГУ» (НИУ) в г. Сатке
Кафедра гуманитарных и социально-экономических наук
Дисциплина Математические методы и модели в экономике
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
7 Вариант
Студентка Зыкова Н.Л.
Группа СтЭЗ – 387
Преподаватель Шайкина В.Н.
Сатка 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЗАДАЧА 1…………...……….................................................................. |
3 |
ЗАДАЧА 5………………………………………………………..……... |
10 |
ЗАДАЧА 6………………………………………………………………. |
13 |
ЗАДАЧА 9………………………………………………………………. |
17 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………..………... |
19 |
ЗАДАЧА 1
Дана матрица планирования производства изделий А, В.
Постройте оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий
максимальную стоимость продукции.
-
Решите задачу графическим методом, в MS Excel.
-
Решите задачу симплексным методом.
-
Запишите двойственную задачу, найдите ее решение.
-
Определите ценность ресурсов.
-
Оцените стоимость, если ресурсы сырья каждого вида увеличились на 50 кг.
-
Определите целесообразность включения в план нового изделия С, если нормы расхода сырья 3, 5, 4 кг, а стоимость одного изделия 80 руб.
Таблица 1 Матрица планирования производства
Вид сырья |
Затраты сырья вида i на изготовление единицы продукции j |
Запасы сырья Pi |
|
A |
B |
|
|
1 |
2 |
7 |
560 |
2 |
3 |
3 |
300 |
3 |
5 |
1 |
339 |
Стоимость, руб. |
62 |
42 |
|
Решение
Составим систему неравенств:
2х1 + 7х2 560
3х1 + 3х2 300
5х1 + х2 339
х1 0, х2 0
z = 62х1 + 42х2 функция прибыли.
-
Заменим знаки неравенств на знаки равенств.
2х1 + 7х2 = 560 7х2 = 560 2х1 х2 = 80 х1
3х1 + 3х2 = 300 3х2 = 300 3х1 х2 = 100 х1
5х1 + х2 = 339 х2 = 339 5х1 х2 = 339 5х1
х2 = 80 х1
х1 |
70 |
0 |
х2 |
60 |
80 |
х2 = 100 х1
х1 |
70 |
80 |
х2 |
30 |
20 |
х2 = 339 5х1
х1 |
50 |
60 |
х2 |
89 |
39 |
Многоугольник ОАВСД – область решения неравенств. Построим вектор 62; 42. Опорная прямая при выходе из многоугольника ОАВСД пройдет через точку С. Найдем ее координаты:
5х1 + х2 = 339 5х1 + х2 = 339
3х1 + 3х2 = 300 : 3 х1 + х2 = 100
4х1 = 239
х1 = 59,75
х2 = 100 х1 = 100 59,75 = 40,25
С (59,75; 40,25).
В точке С функция максимизируется, поэтому максимальная прибыль:
zmax = 62 59,75 + 42 40,25 = 5395 руб.
-
Симплексный метод.
Запишем задачу в каноническом виде, введя дополнительные переменные х3, х4, х5.
2х1 + 7х2 + х3 = 560
3х1 + 3х2 + х4 = 300
5х1 + х2 + х5 = 339
х1 0, х2 0, х3 0, х4 0, х5 0
Функцию z представим в неявном виде: z 62х1 42х2 = 0.
Составим симплекс таблицу.
Таблица 2 Симплекс таблица
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
b |
|
х3 |
2 |
7 |
1 |
0 |
0 |
560 |
= 280 |
х4 |
3 |
3 |
0 |
1 |
0 |
300 |
= 100 |
х5 |
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
339 |
= 67,8 |
z |
-62 |
-42 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
ведущая строка
ведущий столбец
Составим новые таблицы.
Таблица 3 Симплекс таблица 2
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
b |
|
х3 |
0 |
1 |
0 |
- |
424,4 |
||
х4 |
0 |
0 |
1 |
- |
96,6 |
ведущая строка |
|
х1 |
1 |
0 |
0 |
67,8 |
|||
z |
0 |
- |
0 |
0 |
4203,6 |
|
ведущий столбец
Таблица 4 Симплекс таблица 3
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
b |
х3 |
0 |
0 |
1 |
- |
158,75 |
|
х2 |
0 |
1 |
0 |
- |
40,25 |
|
х1 |
1 |
0 |
0 |
- |
59,75 |
|
z |
0 |
0 |
0 |
5395 |
В последней строке таблицы все числа неотрицательные. Следовательно, примем к оптимальному решению, которому будет базисное решение: х1 = 59,75; х2 = 40,25; х3 = 158,75; переменные х4, х5 являются свободными и равны 0: х4 = 0; х5 = 0.
Прибыль составит: z = 5395 руб.
-
Двойственная задача.
z = 560у1 + 300у2 + 339у3 max.
2у1 + 3у2 + 5у3 62
7у1 + 3у2 + у3 42
у1 0, у2 0, у3 0
Решением исходной задачи является план:
(2 59,75 + 7 40,25 560) =0 -158,75 = 0
(3 59,75 + 3 40,25 300) =0 0=0
(5 59,75 + 40,25 339) =0 0=0
Получим .
(2 0+ 3+ 5 62) 59,75 = 0
(7 0+ 3+ 42) 40,25 = 0
3+ 5 62 = 0
3+ 42 = 0
4 20 = 0
4 = 20
= 5
3+ 5 5 62 = 0
3+ 25 62 = 0
3= 37
= .
Значение целевой функции на найденных ценах:
560 0 + 300 + 339 5 = 0 + 3700 +1695 = 5395 руб.
-
Решений двойственной задачи показало, что сырье первого вида использовано не полностью и его оценка у1 = 0. Сырье 2-го и 3-го вида использованы полностью и имеют положительные оценки: у2 =; у3 = 5.
Таким образом, двойственные оценки определяют дефицитность используемого сырья. Величина двойственной оценки показывает, насколько вырастает максимальное значение целевой функции z прямой задачи при увеличении количества сырья соответствующего вида на 1 кг.
Увеличение сырья 2-го вида на 1 кг приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план, при котором общая прибыль от реализации увеличится на руб. При этом увеличение z может быть достигнуто при увеличении продукции В на единиц и сокращении продукции А на единицы. Вследствие этого остатки используемого сырья 3-го вида сократятся на кг.
Увеличение на 1 кг сырья 3-го вида позволяет найти такой план, при котором общая прибыль от выпуска изделий возрастает на 5 руб. Это будет достигнуто за счет увеличения изделия А на единицы и сокращения изделия В на 0,25, причем остатки используемого сырья 3-го вида увеличатся на кг.
При увеличении на 1 кг сырья 1-го вида значение функции z не изменится. Это означает, что сырье 1-го вида недефицитно.
-
При увеличении на 50 кг сырья, стоимость готовой продукции составит:
2х1 + 7х2 610
3х1 + 3х2 350
5х1 + х2 389
х1 0, х2 0
Т.к. у2 0, у3 0, то сырье 2-го и 3-го вида используются полностью, поэтому второе и третье условия выполняются как равенство:
3х1 + 3х2 = 350 3х1 + 3х2 = 350
5х1 + х2 = 389 3 15х1 + 3х2 = 1167
-12х1 = -817
х1 = .
х2 = 389 5х1 = 389 5 =.
Получим новый оптимальный план: х1 = единиц; х2 = единиц.
При этом остатки сырья х4 = х5 = 0,
х3 = 610 2 7 ед.
-
Для определения целесообразности включения в план нового изделия с ценой 80 руб., если нормы затрат сырья 3, 5, 4 кг, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации изделия:
80 руб.
Следовательно, выпускать изделие С не выгодно, т.к. оно поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие С реализовалось по цене равной или большей руб., то его производство было бы выгодно.