Tipovoy_energo_1_kurs_2_semestr

Типовой расчет "Исследование функции".

Задание 1. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

Пусть кривая задана уравнением y = f(x) и точка M0(x0; y0) лежит на кривой. Как известно, уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке M0 имеют вид:

yy0 = f0(x0)(x x0) уравнение касательной;

yy0 = f0(1x0)(x x0) уравнение нормали.

Замечание: Если какая-то из этих линий параллельна оси Ox, то её уравнение y = y0, а если оси Oy, то x = x0.

Задание. Дано уравнение кривой. Составить уравнения касательной и нормали в точки с абсциссой x = x0.

1. y = 4x4 x2 ; x0 = 2:

2. y = 2x2 + 3x 1; x0 = 2:
3. y = x x2; x0 = 1:
4. y = x2 + 8px 32; x0 = 4:
5. y = x + px3; x0 = 1:
6. y = p3 x2; x0 = 8:
1+px
7. y = 1 px; x0 = 4:
8. y = 8p4 x 70; x0 = 16:
2		3x + 1; x0
9. y = 2x2			= 1:
10. y = x	32x+6; x0 = 3:
		x

pp

11.y = x 3 3 x; x0 = 64:

12.y = xx33+22; x0 = 2:

13.y = 2x2 + 3; x0 = 1:

14.y = xx24+6+1; x0 = 1:

15.y = 2x + x1 ; x0 = 1:

16.

y =

2(x3

+2)

; x0 = 1:

3(x4

+1)

17.

y =

x5+1

;

x0

= 1:

4

x +1

18.

y =

x16 92

;

x0 = 1:

1 5x

19.

y = 3(p3

2p

); x0 = 1:

x

x

20.

y =

1

;

x0 = 2:

3x+2

21.

y =

x

;

x

0

=

2:

2

22.

x3

+1

y = x

3x+3;

x0 = 3:

23.

3

y =

2x

;

x0

= 1:

x2+1

24.

p3

p

y = 2(

2

x + 3

x); x0 = 1:

25.

y =

1+3x

;

x0 = 1:

3+x2

26.

y =

8

;

x0

= 2

2

4+x

27.

y =

x2 7x+8

; x

0

= 1:

x2

28.

y = x3 + 2x2 4x 3; x0 = 2:

29.

y =

1

;

x0

= 1:

1+x2

30.

p3

p

2

x

x; x0 = 1:

y = 5

2

Задание 2. Дифференциал. Применение к приближенным вычислениям.

Если функция y = f(x) в точке x имеет производную, то дифференциалом называется выражение dy = f0(x)dx. Дифференци-

ал функции имеет различные применения, в частности, к приближенному вычислению значения функции. Формула выглядит так: f(x + x) f(x) + f0(x) x:

Задание. Вычислить приближено значение функции y = f(x) при x = x0. p

1. y = p3 x; x0 = 7; 99:

2. y = 3 x3 + 7x; x0 = 1; 012:

p

3. y = x+ 5 x2 ; x0 = 0; 98: p 2

4. y = 3 x; x0 = 27; 04:

5. y = arcsinx; x0 = 0; 08: p

6. y 3 xp2 + 2x + 5; x0 = 0; 97:

7. y = p3 x; x0 = 26; 96:

8. y = x2 + x + 3; x0 = 1; 97:

9. y = xp11; x0 = 1; 021: 10. y = 3 x; x0 = 1; 01:

11. y = x21; x0 = 0; 998: p

3

12.y =

13.y = x6; x0 = 2; 01: p

14.y = 3 x; x0 = 8; 04:

15.y = x7; x0 = 1; 998: p

16.y = p3 x; x0 = 7; 49:

17.y = 4x 1; x0 = 2; 56:x2; x0 = 1; 03:

18.	1
	y =	p					; x0 = 1; 016:
			2x2+x+1
19.	y = p3
				x; x0 = 8; 06:
20.	1
	y =	p			; x0 = 4; 06:
			x

21. y = x7; x0 = 2; 002: p

22. y = p4x 3; x0 = 1; 78:

23. y = x3; x0 = 0; 98:

24. y = x5; x0 = 2; 997: p

25. y = 5 x2; x0 = 1; 03:

26. y = 2 ; x = 8; 99:

px 0

27.y = x3 4x2 + 8; x0 = 0; 2:

q

28.y = 3 11+xx; x0 = 0; 1:

29.y = x3 7x2 + 8; x0 = 5; 01:

30.y = 3x3 + x 1; x0 = 1; 01:

Задание 3. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Согласно теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на замкнутом отрезке, достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Для нахождения этих значений надо:

1)Взять производную и найти все критические точки, принадлежащие данному отрезку.

2)Присоединить к этим точкам концы отрезка.

3)Во всех этих точках вычислить значения функции.

4)Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее - эти значения и дают решения задачи.

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на

отрезке.

1.y = x2 + 16x 16; 1 x 4:

2.y = 4 x x42 ; 1 x 4:

4. y = px2

1; 0

x

6:

2x+5; 3 x 3:

3. y =

3

2(x

2)2(8

x)

2

2(x +3)

p

5. y = 2 x x; 0 x 4:

p

6.y = 1 + 3 2(x 1)2(x 7); 1 x 5: p

7.y = x 4 x + 5; 1 x 9:

8.y = 1+10xx2 ; 0 x 3:

9.y = 2x2 + 108x 59; 2 x 4:

10.y = 3 x (x+2)4 2 ; 1 x 2:

p

11. y = 3 2x2(x 3); 1 x 6:

12. y = 2 x2+7x 7; 1 x 4:

x2p2x+2

13. y = x 4 x + 2 + 8; 1 x 7:

p

14.y = 3 2(x 2)2(5 x); 1 x 5:

15.y = 4+4xx2 ; 4 x 2:

16.y = x22 + x8 + 8; 4 x 1:

p

17. y = 3 2x2(x 6); 2 x 4:

18.		2x(2x+3)			2		x 1:
	y =	x2+4x+52		;
19.	y = 2		x +3			;	5 x 1:
			x2+2x+5

p

20.y = 3 2(x 1)2(x 4); 0 x 4:

21.y = xp2 + x161 13; 2 x 5:

22.y = 2 x 1 x + 2; 1 x 5:

23.y = x22 + 2x + x8 2 + 5; 2 x 1:

24.y = 8x + x2 4 15; 0; 5 x 2:

p

25.y = 3 2(x + 2)2(x 4); 4 x 2: p

26.y = x + x; 0 x 4:

p

27.y = (1 x2)(1 + 2x2); 1 x 1

28.y = 14x4 32x3 32x2 + 2; 2 x 4:

29.y = 2x3 + 3x2 12x + 1; 1 x 5:

30.y = xx+11; 0 x 4:

Задание 4. Текстовые задачи на наибольшее и наименьшее значения.

Указания к некоторым задачам:

а) к задачам вариантов 4, 5, 5. Масса капли в момент времени t

может быть записана так: m(t) = m0 kt, где m0 - начальная масса. б) к задачам 7, 8, 9, 10.

Уравнение искомой прямой удобно взять в виде уравнения прямой "в отрезках"xa + yb = 1:

в) к задачам 17, 18, 19.

Для решения задачи применяется закон Ома. Напряжение в любой момент времени t согласно условию задачи можно записать так:

U(t) = 0 + kt, где k - коэффициент пропорциональности. Сопротивление в любой момент времени запишем так: R(t) = r0 + k1t, где R0

- начальное сопротивление, k1 - указанный коэффициент пропорциональности.

г) к задачам 23, 24, 25.

Сила света в некоторой точке, удаленной от источника света обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, т.е. rk2 , где r - расстояние от источника света.

Задание. Решить следующие задачи на наибольшее и наименьшее значения.

1.Число 150 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:4, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

2.Число 204 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:7, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

3.Число 300 разложить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:9, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

4.Две капли с начальными массами 5 и 6 начинают падать под действием силы тяжести, равномерно испаряясь с коэффициентом пропорциональности k = 13. В какой момент времени общая кинетическая энергия этих капель будет наибольшей?

5.Две капли с начальными массами 2 и 5 начинают падать под действием силы тяжести, равномерно испаряясь с коэффициентом пропорциональности k = 13. В какой момент времени общая кинетическая энергия этих капель будет наибольшей?

6.Две капли с начальными массами 3 и 7 начинают падать под действием силы тяжести, равномерно испаряясь с коэффициентом пропорциональности k = 13. В какой момент времени общая кинетическая энергия этих капель будет наибольшей?

7.Через точку P (1; 4) провести прямую так чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.

8.Через точку P (1; 9) провести прямую так чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была

наибольшей.

9.Через точку P (6; 1; 5) провести прямую так чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.

10.Через точку P (0; 5; 2) провести прямую так чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.

11.По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся два машины со скоростями 30 км/ч и 40 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим?

12.По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся два машины со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 20 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим?

13.По взаимно перпендикулярным улицам к перекрестку движутся два машины со скоростями 30 км/ч и 50 км/ч. В некоторый момент времени они находились на расстоянии 10 км от перекрестка. Через какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим?

14.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы 36 см3, причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность

ящика была наименьшей?

15.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?

16.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы 288 см3, причем стороны основания относились бы как 1:3. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?

17.Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально нулю, равно мерно возрастает; одновременно в цепь вводится сопротивление, пропорциональное квадрату времени с коэффициентом пропорциональности 1 Ом/мин. Первоначальное сопротивление цепи равно 4 Ом. В какой момент времени ток в цепи наибольший?

18.Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально нулю, равно мерно возрастает; одновременно в цепь вводится сопротивление, пропорциональное квадрату времени с коэффициентом пропорциональности 2 Ом/мин. Первоначальное сопротивление цепи равно 2 Ом. В какой момент времени ток в цепи наибольший?

19.Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально нулю, равно мерно возрастает; одновременно в цепь вводится сопротивление, пропорциональное квадрату времени с коэффициентом пропорциональности 9 Ом/мин. Первоначальное сопротивление цепи равно 1 Ом. В какой момент времени ток в цепи наибольший?

20.Точки A и B с абсциссами 1 и -1 расположены на параболе

y= x2. Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний которой до точек A и B была бы наименьшей.

21.Точки A и B с абсциссами 2 и -2 расположены на параболе

y= 12x2. Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний которой до точек A и B была бы наименьшей.

22.Точки A и B с абсциссами 3 и -3 расположены на параболе

y= 13x2. Найти на этой параболе точку, сумма квадратов расстояний которой до точек A и B была бы наименьшей.

23.В концах отрезка длины 2 находятся два источника света силы 1 и 8. На каком расстоянии от первого источника находится наименее освещенная точка отрезка?

24.В концах отрезка длины 3 находятся два источника света силы 1 и 27. На каком расстоянии от первого источника находится наименее освещенная точка отрезка?

25.В концах отрезка длины 1 находятся два источника света силы 8 и 27. На каком расстоянии от первого источника находится наименее освещенная точка отрезка?

26.Какой из цилиндров с данным объемом 6 имеет наименьшую полную поверхность?

27.Какой из цилиндров с данным объемом 7 имеет наименьшую полную поверхность?

28.Какой из цилиндров с данным объемом 8 имеет наименьшую полную поверхность?

29.Какой из цилиндров с данным объемом 9 имеет наименьшую полную поверхность?