III-2
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра математического анализа
51(07) Д-436
В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина, А.А. Эбель
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Сборник задач
Часть 3
Челябинск Издательство ЮУрГУ
2005
Типовой расчет №2 Ряды
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
sin2 |
(n |
|
n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2n (n +1) |
|
|
|
|||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
2. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
2 |
+ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 n n arctg |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! arctg |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
−n2 +2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
3 n +1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln(1+n |
2 |
)(1 |
+n |
2 |
)ln ln(1 +n |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
n arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
+2) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
6. ∑ |
|
cos(3n |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
+n −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n+1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
2x +3 |
n−1 |
|
∑( n +3 − |
|
|
|||
n +1) |
|
|
. |
||
|
|||||
n=1 |
|
|
x −1 |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
2ex2 |
+cos (2x )−3 − |
|
5 |
x4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
. |
||||
( |
−x2 |
) |
+arctg |
( |
2x |
2 |
) |
+ x4 |
||||||
|
|
|||||||||||||
x→0 2ln 1 |
|
|
|
|
|
10. Вычислите десятую производную в нуле от функции y = x2e2x2 .
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x2 −2x +4) в ряд Тейлора в точке x0 =1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001:
0,5∫ arctg x dx .
0 x
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до четвертой степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′′ |
′ |
+2y |
= 0; y(0) =1; |
′ |
|
= 0 . |
|
y |
+ xy |
y (0) |
|||||
14. Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = |
x2 |
в интервале (−π; π) . |
|||||
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
15. Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n!) |
2 |
tg |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +(−1) |
n |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
∑arctg (n + |
n )sin |
. |
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +2 |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
2n +1 3n2 +5n−1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
4 |
n+1 |
|
2n + |
|
|
|
|
|
n ln n(ln ln n) |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
n sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n+3 |
sin(n |
2 |
+5) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
. |
|
6. |
∑ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
+2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n+1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
x +2 |
n+2 |
|
∑( 2n +3 − |
|
|||
2n ) |
|
. |
||
|
||||
n=1 |
|
2x −1 |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
e−x2 |
+ x sin x −e |
x4 |
|
|
|
lim |
3 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||
x→0 ln(1+ x2 ) −x arcsin x + |
2 x4 |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
10. Вычислите двенадцатую производную в нуле
cos(2x) −1 |
, |
x ≠ 0, |
|
|
x2 |
||
y = |
|
|
|
|
2, |
|
x = 0. |
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ex2 +4x−2 в ряд Тейлора в точке x0 = −2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,25 x
∫0 ex dx .
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′ |
2 |
; y(0) |
=1. |
y |
= xy + y |
14.Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = sin x .
15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Исследуйте на сходимость ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
∞ |
arctg(2n + |
1) 4 |
+cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
(n |
|
+1)sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. 2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
3n n −5 |
2n2 +4n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
n+1 |
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+n |
3 |
)(1+n |
3 |
)(ln ln(1+n |
3 |
)) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(−1) |
n |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
n arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
2cos(4n |
2 |
+3n +2) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +2 |
. |
|
6. ∑ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5n +7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
+n |
+3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n+1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
3x −1 |
|
n−2 |
||
∑( n +5 − |
|
|||||
n ) |
|
|
. |
|||
2 −x |
||||||
n=1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
sin x −x cos x − |
x3 |
+ |
x5 |
|
||
lim |
3 |
30 |
. |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
x→0 |
x ln(1+ x3 ) −arctg(x4 ) |
10. Вычислите восьмую производную в нуле
sin(3x) −3x |
, |
x ≠ 0, |
|||
|
x3 |
|
|
|
|
y = |
|
9 |
|
|
|
|
− |
, |
|
x = 0. |
|
|
|
||||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = x arctg(2x2 +4x +2) в ряд Тейлора в точке x0 = −1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
0,8
∫x2 cos x dx .
0
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до четвертой степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
y |
′′ |
= ye |
x |
+1; |
′ |
=1. |
|
|
y(0) = 2; y (0) |
14.Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = x в интервале (0; 2π) .
15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 4
Исследуйте на сходимость ряды.
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
5 +sin n |
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
10 |
n |
(n!) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
( |
3 |
n |
7 |
+1)arctg(4n |
+9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! arcsin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +n |
|
|||||
|
∞ |
|
1 |
3n +2 5n2 −2n−1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n ln n(1+ln |
2 |
ln n) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
7 |
|
|
3n −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ (−1)n 4 n tg |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n−3 |
sin(ln(e +n)) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +2 |
. |
6. ∑ |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4n −3 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
5 |
+n |
2 |
|
+ |
5 |
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,001: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n+1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2x +1 |
|
n+1 |
|
∑( 3n +1 − |
|
||||
3n ) |
|
. |
|||
2 −3x |
|||||
n=1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
1 −4x2 −cos(2x) + |
8 |
x4 |
|
|||||
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
3 |
|
. |
|||
3x3 arcsin(2x) |
+ x2 ln(1 − |
6x2 ) |
|||||||
x→0 |
|
||||||||
10. Вычислите тринадцатую производную в нуле |
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 −x |
) , x ≠ 0, |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
y = |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x = 0. |
|
||||
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y =sin(x2 +6x +7) в ряд Тейлора в точке x0 = −3.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых:
∫1 sin x dx .
0 x
13. Найдите несколько первых членов разложения в степенной ряд (до третьей степени включительно) решения данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:
′ |
= e |
y |
+ xy; y(0) |
= 0 . |
y |
|
14.Функцию f (x) = x2 в интервале (0; π) разложите в ряд синусов.
15.Разложите в ряд Фурье функцию, периодически продолженную с интервала (−1; 1), на котором она задана графиком. Постройте график
суммы этого ряда на отрезке [−3; 3].
В а р и а н т 5
Исследуйте на сходимость ряды.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) arctg ( |
|
|
n +2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
(2 +(−1) |
n |
3 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(2n +2)! tg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
. 2. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n − |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n +5) 2 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
2n+1 |
2n |
|
|
−(3n2 +5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
n |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(n |
2 |
+n +1)(1+ln |
2 |
(n |
2 |
+n +1)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(−1)n |
3 n arcsin |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n+1 |
cos(n |
3 |
+n +2) |
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
n |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 6. |
|
∑ |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8n −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
6 |
+7n −6 |
|
||||||||||||||||||
|
n=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,01: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
(n + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для этого. 8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
4x +3 |
|
n−1 |
||
∑( n − |
|
|
|||||
n −1) |
|
|
|
. |
|||
x −1 |
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
6x sin x +arctg(x4 ) −6x |
2 |
. |
||||
3 |
1 +3x2 |
−ex |
|
+ 3 x4 |
|
||
x→0 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
10. Вычислите пятнадцатую производную в нуле
|
1 |
+2x |
4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x ≠ 0, |
|
x |
|
|
|||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|