Обработка результатов измерений

ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Каждое физическое исследование начинается с накопления опытных данных, на основе которых строится обобщающая теория и выводы снова проверяются на опыте.

Любое измерение физической величины проводится путем ее сравнения с другой однородной величиной, принятой за единицу. Результаты измерений выражаются в единицах СИ.

Измерение, в котором физическая величина определяется непосредственно с помощью прибора, называется прямым. Примером прямых измерений является взвешивание тела, определение размеров тела с помощью линейки или штангенциркуля.

В действительности, чаще приходится вычислять искомую величину по результатам прямых измерений, связанных с нею определенной функциональной зависимостью. Такие измерения называют косвенными. Например, для измерения универсальной газовой постоянной R необходимо провести прямые измерения температуры T и разности масс M, соответствующей разности давлений газа P, а затем, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона, получить результат косвенного измерения по формуле:

.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН

И ИХ ПОГРЕШНОСТИ

Любая опытная величина имеет точность, определяемую методом измерений и зависящую от параметров используемого измерительного инструмента.

Достоверное значение величины определяется интервалом, в пределах которого будет находиться любой результат измерения. В общем случае он задается максимальной абсолютной ошибкой измерений, а в первом приближении выражается через чувствительность измерительного инструмента. Как правило, ошибка в этом случае принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы используемого измерительного прибора. Очевидно, что применение измерительных приборов с меньшей ценой деления шкалы повышает точность измерений.

Например, в первом случае толщина теплопроводящей пластины после измерения ученической линейкой оказалась равной 14,0  0,5 мм. Это означает, что достоверный результат находится в интервале значений 13,5  14,5 мм. Во втором случае для измерения толщины той же пластины использовался штангенциркуль с ценой деления 0,1 мм, в результате чего ее толщина оказалась равной 14,20  0,05 мм и, следовательно, достоверный результат находится в интервале значений 13,1514,25 мм.

Очевидно, точное значение любой измеряемой величины есть физическая абстракция и в принципе не может быть найдена.

Следовательно, все получаемые из опытов величины ‑ приближенные.

Различаются три категории приближенных величин.

1. Математические константы: число , е ‑ основание натурального логарифма и др. Они определяются в результате вычислений с любой степенью точности.

2. Физические константы, определяемые путем очень точных, многократных измерений:  ‑ гравитационная постоянная; N_А ‑ число Авогадро; е ‑ заряд электрона и др.

3. Физические величины, результаты опытов и измерений, которые Вам предстоит выполнять в физическом практикуме.

Как правило, точность проводимых Вами измерений много ниже, чем величин первых двух категорий. Это позволяет при выполнении расчетов считать математические и физические константы практически точными и не вносящими дополнительной погрешности.

Следует отметить два основных правила записи погрешностей.

1. В учебных лабораториях погрешности обычно округляются до двух значащих цифр.

2. Последняя значащая цифра в любом приводимом результате должна быть того же порядка величины, что и погрешность.

Например, результат измерений универсальной газовой постоянной должен быть записан в виде: R = 8,25 0,50 Дж/моль^.К или R = 8,20 0,03 Дж/моль^.К.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

Промахи обнаруживают себя резким отличием одного или нескольких результатов от основного количества измерений. Такие результаты отбрасываются.

Систематические погрешности проявляются в постоянном или меняющемся по определенному закону искажении результата измерений. Они могут быть вызваны неисправностью или несовершенством измерительных приборов, но главным источником являются неконтролируемые условия опыта, те самые, которые мы априори приняли неизменными и не влияющими на эксперимент.

Например, при измерении толщины пластины микрометром на нем не была верно установлена нулевая отметка, в результате чего все полученные измерения будут иметь завышенные или заниженные значения.

Систематические погрешности повторными измерениями не обнаруживаются. Пытаться избежать их можно только тщательным анализом условий эксперимента, последовательным введением в число измеряемых тех факторов, которые в предварительных опытах считались несущественными.

Случайные погрешности всегда присутствуют в эксперименте и с равной вероятностью могут приводить как к завышению, так и к занижению результата. Они проявляются в разбросе результатов при повторных измерениях, если чувствительность измерительного инструмента одного порядка со случайным изменением условий сравнения меры и измеряемой величины в каждом отдельном опыте.

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность измерений представляет собою разность между результатом измерения  и истинным значением измеряемой величины А:  = А  . Однако, сложность ее определения в том, что совершеннейшие приборы не дают возможности получить абсолютно точный результат, т.е. найти А.

Оценить погрешность можно двумя способами.

Первый, более грубый, основан на учете погрешностей, вносимых измерительными приборами и дает возможность рассчитать максимальную приборную погрешность применяемой в эксперименте измерительной установки. Этот способ, как правило, используют для расчета погрешности по однократному измерению.

Второй, более точный, использует методы математической статистики и позволяет определить погрешность по разбросу результатов многократных измерений. При этом истинное значение А заменяется средним арифметическим результатом повторных опытов . Тогда абсолютная погрешность определяется:

.

Сама по себе абсолютная погрешность не дает представления о точности измерений, для этого используется относительная погрешность, которая по определению равна:

.

В то время как абсолютная погрешность имеет ту же размерность, что и измеряемая величина, относительная погрешность является безразмерной величиной и характеризует качество измерений независимо от значения измеряемой величины.

Расчет приборной погрешности

(расчет погрешности при однократном измерении)

При однократном измерении ошибка принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы используемого измерительного прибора.

Погрешность, вносимая приборами в результат косвенных измерений, зависит от вида функциональной зависимости , связывающей величину U, измеряемую косвенно, с величинами, измеряемыми непосредственно: a, b, c, ...

Так как абсолютные погрешности много меньше измеряемых величин, их можно считать приблизительно равными дифференциалам:

; ; ... .

Таким образом, относительная погрешность косвенно измеряемой величины U может быть представлена через дифференциал логарифма:

,

где U ‑ абсолютная погрешность косвенно измеряемой величины.

Последнее выражение позволяет сформулировать удобный метод вычисления _U для конкретных видов зависимости U=U(a, b, c, ...).

Пример.

В эксперименте по определению универсальной газовой постоянной R используется выражение:

,

где из условия эксперимента следует P = P₂  P₁, M = M₂  M₁.

Найдем формулу расчета погрешности для случая однократного измерения.

Для этого сначала подставим в расчетную формулу величины, получаемые в эксперименте посредством прямых измерений. Затем прологарифмируем и дифференцированием по переменным, которые непосредственно измеряются, найдем относительную погрешность:

.

Погрешности, имеющие отрицательные значения, могут оказаться как завышенными, так и заниженными по отношению к измеряемым величинам. Поскольку нас интересует максимальное значение приборной погрешности, т.е. тот случай, когда ошибки усугубляют, а не компенсируют друг друга, заменим знаки ““ на “+”, произведем обратную замену ,,, и получим формулу для расчета относительной ошибки:

.

Для расчета численного значения относительной ошибки необходимо подставить вместо P, M, T половину цены деления приборов, используемых для измерения этих величин, а вместо P, M, T непосредственно значения, полученные в эксперименте.