Атомная физика лабораторные работы

На экране расположенные в некотором беспорядке постулаты Бора и те физические положения классической физики, которым они противоречат. Пользователю предлагается установить взаимно-однозначное соответствие противоречащих положений.

4. Система атомных единиц

Справочно-ознакомительный раздел. В атомной физике при численных расчетах удобно пользоваться системой атомных единиц измерения физических величин. В этой системе единицами измерения заряда частиц и их массы являются заряд и масса электрона, единицей действия и момента импульса – постоянная Планка. Единицами измерения длины, скорости, частоты обращения являются соответствующие параметры первой боровской орбиты. Единицей времени – величина, обратная частоте обращения; таким образом, период обращения и частота связаны обычным соотношением T = 2 .

5.Атом водорода

5.1.Атом Бора (круговые орбиты)

Динамическая модель атома (нерелятивистская задача Кеплера) допускает движение электрона с произвольными значениями энергии. При заданной (отрицательной) энергии допускаются значения момента импульса от 0 до некоторого максимального на круговой орбите значения, определяемого энергией. Это обстоятельство, известное как случайное (орбитальное, кулоновское) вырождение по моменту импульса, не позволяет сделать однозначный вывод о величине момента импульса, опираясь исключительно на данные эксперимента в рамках формулы Бальмера.

Однозначный вывод может быть сделан только для круговых орбит, на которых энергия связана с моментом импульса соотношением

61

E me4 . 2L2

При движении по круговым орбитам для получения эмпирической формулы Бальмера необходимо положить момент импульса наn-й орбите (в порядкевозрастания энергии) равным L= n .

Выбирая «экспериментально» найденные значения энергии и задавая произвольно момент импульса, пользователь наблюдает множество эллиптических кеплеровых орбит с различным эксцентриситетом и одной и той же энергией – кулоновское вырождение.

Лишь для круговой орбиты можно однозначно указать величину момента импульса; эти орбиты отмечаются на экране красным цветом. (В дальнейшем оказалось, что и на эллиптических орбитах момент импульса принимает лишь целочисленные, в атомных единицах, значения.)

Установление правила квантования момента импульса на круговых орбитах (51) Ln Lmaxn n исключительно из данных эксперимента и является целью работы в этом разделе.

Клавиши управления расположены в нижней строке экрана. Передвигаясь по окнам

следует набирать значения этих величин и вводить их в компьютер. На экране изображаются орбиты электронов с заданной энергией и моментом импульса.

Полученные данные сохраните.

5.2. Атом Бора – Зоммерфельда

Арнольд Зоммерфельд развил теорию Нильса Бора, рассмотрев движение электрона по эллиптическим орбитам и обобщив правила квантования Бора. Зоммерфельд дал также теорию тонкой структуры спектральных линий, введя релятивистское изменение массы со скоростью. В его расчеты вошла безразмерная универсальная постоянная тонкой структуры:

62

2 c2 1 . hc 137

Установить величину момента импульса на орбите с заданной энергией, опираясь исключительно на данные эксперимента, можно, только устранив кулоновское вырождение. В рамках задачи Кеплера кулоновское вырождение устраняется учетом слабого релятивистского эффекта возрастания массы электрона при росте его скорости. Этот слабый эффект (порядка v2/c2) приводит к появлению зависимости энергии уровня от момента импульса (от эксцентриситета орбиты) и, следовательно, возникновению тонкой структуры спектральных линий.

Детальные измерения тонкой структуры спектральных линий выходят за рамки этой программы, поэтому правило квантования момента импульса для эллиптических орбит не формулируется.

Траектории релятивистского электрона в задаче Кеплера демонстрируются для произвольных значений момента импульса; при этом вычисляется классическое значение релятивистского сдвига уровня энергии.

Пользователь имеет возможность «усилить» релятивистский эффект, увеличивая постоянную тонкой структуры (уменьшая скорость света), и наблюдать вызванные этим динамические эффекты.

Клавиши управления расположены в нижней строке экрана. Передвигаясь по окнам

выбирают нужные значения параметров. После ввода параметров в левой части экрана рисуется траектория движения электрона. Здесь же приводятся: е – эксцентриситет эллипса; t – время движения электрона; r – радиус-вектор (начало координат на ядре) и φ – полярный угол.

Если неудачно подобрать масштаб, то траекторию можно не увидеть либо потому, что она очень мала, либо, наоборот, очень велика и выходит за рамки экрана.

63

Меняя постоянную тонкой структуры α (это фактически изменение скорости света, так как α = е2/hc), можно проследить за изменением траектории вследствие «усиления» релятивистского эффекта.

В правой части экрана представлен график зависимости релятивистского сдвига уровня энергии δEn, l (в единицах α2R) от момента импульса l = L/h.

Кривая обозначена красным цветом. Изменяя п и L/h, получают разные кривые. При изменении значений L/h маркер на графике устанавливается в соответствующее положение и внизу под графиком появляется значение δEn, l .

Контрольные вопросы и задания

1.Как представляется строение атома по модели Резерфорда?

2.В чем заключается содержание постулатов Бора?

3.Когда атом излучает свет?

4.Как определяется частота света, испускаемого атомом?

5.Какой процесс называется ионизацией атома?

6.Какая серия линий получила название серии Лаймана?

7.Чему равна энергия кванта света?

Рекомендуемая литература

Киттель Ч., Найт В., Рудерман М. Механика. Берклеевский курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1983.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

Тихоненко А.В. Компьютерный практикум по общей физике. Т. 5: Квантовая физика. Обнинск: ИАТЭ, 2004.

Попов А.М., Тихонова О.В. Лекции по атомной физике. М.:

МГУ, 2007.

Физика микромира на компьютере. Обучающие и демонстрационные программы по атомной и ядерной физике / МГУ; НИИ ядерной физики. М., 1997.

64

Лабораторная работа № 6

АТОМНЫЕ МОДЕЛИ ДЖ. ТОМСОНА И Э. РЕЗЕРФОРДА

Цель работы: моделирование экспериментов по зондированию альфа-частицами гипотетических мишеней с целью определения модели атома, адекватной реальной.

Приборы и принадлежности: компьютер с программой

«Физика микромира».

Краткая теория

Исторически существовало много моделей атома. Мы рассмотрим лишь две: капельную (модель Томсона) и ядерную (модель Резерфорда).

1. Модель атома по Дж. Томсону

По этой модели атом представляется как капля некой положительно заряженной жидкости диэлектрика, в которую погружены электроны. Вся система электрически нейтральна и в равновесии не излучает. Если электрон в такой системе вывести из положения равновесия, то он начинает колебаться и излучать электромагнитную волну. Излучение сопровождается потерей энергии, в результате чего колебания затухнут и электрон вернется в первоначальное равновесное положение.

Установим размер такой системы, излучающей в видимой области спектра. Для простоты рассмотрим одноэлектронную систему. Напряженность электрического поля Е диэлектрического шара радиусом R равна

q				r,	r R;
		3
E R					(52)
	q		,		r R,
r2

65

где q = e – заряд шара; r – расстояние от центра шара до произвольной точки.

Таким образом, внутри шара на электрон действует сила F = –kr (k = e2/R3), возвращающая его к точке равновесия r = 0, если он оказался смещенным. Частота колебаний электрона под действием этой силы хорошо известна, она равна

	k	,	(53)
	m

где m – масса электрона.

Итак,частота и длина волны излученияв атоме Томсонаравны

		e			2 c			.
			;				mR3		(54)
		mR3
					e

Для длины волны = 6000 Å, радиус шара R = 3 · 10–8 см. Полученные результаты вполне удовлетворительны с позиций простейших представлений об атоме, к тому же модель Томсона обладала важным достоинством – система была устойчивой – выведенный из положения равновесия электрон возвращался в исходное состояние. Система была готова к новым колебаниям. Для объяснения линейчатых спектров испускания атомов Томсон пытался определить расположение электронов в атоме и рассчитать частоты их колебаний около положений равновесия. Однако эти попытки не увенчались успехом. Через несколько лет в опытах великого английского физика Э. Резерфорда было доказано, что модель Томсона неверна.

2. Модель атома по Э. Резерфорду

Первые прямые эксперименты по исследованию внутренней структуры атомов были выполнены Э. Резерфордом и его сотрудниками Э. Марсденом и Х. Гейгером в 1909–1911 гг. Согласно ядерной или планетарной модели Резерфорда положительно заряженная масса атома была практически целиком сосредоточена в малом объеме. Электроны находятся вне этого объема и двигаются по орбитам вокруг центра наподобие планет вокруг Солнца. Однако двигающийся с ускорением по орбите электрон дол-

66

жен был бы из-за излучения практически мгновенно упасть на центр, в результате чего система прекращает свое существование.

Резерфорд предложил применить зондирование атома с помощью α-частиц. Масса α-частиц приблизительно в 7 300 раз больше массы электрона, а положительный заряд равен удвоенному элементарному заряду. Этими частицами Резерфорд бомбардировал атомы тяжелых элементов (золото, серебро, медь и др.). Электроны, входящие в состав атомов, вследствие малой массы не могут заметно изменить траекторию α-частицы. Рассеяние, т.е. изменение направления движения α-частиц, может вызвать только тяжелая положительно заряженная часть атома.

На пути α-частиц, вылетающих из радиоактивного источника со скоростью ~ 109 см/с, ставилась тонкая золотая фольга – мишень. Толщина мишени равнялась 1 мкм, что составляло примерно 104 атомных слоев. На некотором расстоянии от мишени находился флуоресцирующий экран, на котором регистрировались вспышки от α-частиц. Опыт показал, что подавляющее число α-частиц отклонялось на малые углы, в среднем на 2–3 .

Однако примерно одна α-частица на 104 падающих отклонялась на большой угол, в том числе были и такие, которые рассеивались назад, почти на 180 . Было также замечено, что рассеяние на малые углы (2–3 ) происходит в соответствии с законом нормального распределения случайных величин.

Отклонение α-частиц от первоначального направления полёта происходит не в результате большого числа малых отклонений, претерпеваемых частицей при полёте сквозь множество атомов фольги, а в результате однократного столкновения частицы с одним ядром атома (рис. 28).

Теперь следовало, опираясь на ту или иную модель, объяснить полученные результаты. При этом нужно было учесть, что мишень состоит из большого числа атомных слоев, и выяснить, что же ответственно за тот угол рассеяния, под которым регистрируется α-частица: однократное или многократное рассеяние.

Теоретическое исследование этого процесса было проведено Резерфордом. Остановимся на основных положениях и выводах этого исследования.

67

Рис. 28. Рассеяние α-частицы в атоме Томсона (a) и в атоме Резерфорда (б)

Рассеяние можно представить следующим образом: рассеивающий центр, например, тяжелая частица с зарядом +Z2e, помещается на горизонтальную ось. Параллельно этой оси слева направо движется рассеиваемая α-частица (заряд ее Z1e = +2е). Изза большой массы рассеивающая частица предполагается неподвижной. Взаимодействие между зарядами принимается кулоновским. Траектория движения α-частицы в этом случае описывается гиперболой. Расстояние b между асимптотой гиперболы и осью слева от рассеивающего центра называется прицельным параметром, а внешний угол θ между асимптотами – углом рассеяния. Прицельный параметр в рассматриваемом случае однозначно связан с углом рассеяния

Z Z		2	e2
b	1			ctg				,	(55)
	2E					2

где Е – энергия α-частицы.

Минимальное расстояние при сближении α-частицы с рассеивающей частицей равно

		Z Z	e2
r		1 2		1 cos			.	(56)
min		2E				2

В эксперименте по рассеянию оперируют с величиной, называемой дифференциальным сечением рассеяния dσ. Ее смысл можно уяснить, если ответить на вопрос – сколько α-частиц, рассеянных на мишени, попало в единицу времени в детектор, нахо-

68

дящийся под углом Θ в элементе телесного угла dΩ. Число таких частиц будет равно

dA = jndσ,

(57)

где j – плотность потока α-частиц до мишени; n – число рассеивающих частиц мишени; dσ – коэффициент, зависящий от угла рассеяния, имеющий размерность площади и характеризующий вероятность рассеяния под тем или иным углом в парном взаимодействии. Более удобно пользоваться дифференциальным сечением

I( )	d	,	(58)
	d

относящимся к единичному телесному углу.

Резерфорд теоретически вывел формулу для этой величины в рассматриваемом случае, показав, что

	bdbd	Z Z		e2			1
Iрез( )			1 2								,	(59)
	d		4E				4
					sin
									2

где d = sin d d ( – азимутальный угол). Используя формулу (58), можно определить из эксперимента Iэ(Θ) и сравнить с полученной теоретически Iрез(Θ) в (59). Это сравнение имеет смысл при условии, что роль многократных столкновений в формировании угла Θ пренебрежимо мала и фактически Θ = θ. Таким образом, необходимо понять, какова роль многократных столкновений при движении α-частиц в мишени.

3. Случай многократных столкновений

Если α-частица пролетела вдали от центра атома, на расстоянии b ≈ 10–8 см, то независимо от того, какой это будет атом (Томсона или Резерфорда), угол отклонения (однократное столкновение) будет мал, по порядку величины θ ≈ 10–2 градуса. Поскольку расстояние между атомами вещества мишени ~ 10–8 см, то это означает, что практически на каждом атоме, встречающем-

69

ся α-частице вдоль траектории движения, будет происходить рассеяние.

Таким образом, многократные столкновения в мишени существуют, и число их в рассматриваемом случае примерно совпадает с числом атомных слоев. Хотя столкновение α-частицы в каждом столкновении (однократное столкновение) составляет 10–2 градуса, можно ожидать, что в результате N-кратных (N большое число) столкновений конечный угол Θ будет произвольным, в том числе может быть и угол Θ = 180 . Поскольку разброс по углам α-частиц, проходящих мишень, представляет совокупность большого числа независимых случайных процессов, то распределение по углам описывается законом нормального (гауссова) распределения:

		1					2
W( )									,	(60)
				exp
						2
		2

где 2 – средний квадрат угла отклонения в многократных

столкновениях, он пропорционален числу столкновений N. Если

2 – средний квадрат угла отклонения в однократных столкно-

вениях, то

2

N 2 .

(61)

Как показывает эксперимент, многократные столкновения дают заметный вклад при рассеянии на малые углы ~ 2–3 .

4.Случай однократных столкновений

Вслучае модели Резерфорда однократные столкновения в ми-

шени могут играть существенную роль в рассеянии. Если α-частица приблизится к ядру на расстояние ≤ 10–11 см, то угол рассеяния θ,

например для ядра золота, будет больше 20o (для многократных столкновений средний угол рассеяния ~ 2–3 ). Картину рассеяния можно представить такой: α-частица большую часть пути в мишени двигается почти прямолинейно, словно скользя по атомам,

70