Описание лабораторной установки

Внешний вид лабораторной установки представлен на рис. 1. Маятник Обербека состоит из двух стержней 1 длиной и массой, закрепленных на валу 2 так, что ось вращения проходит через центр тяжести системы. На концах стержней укреплены четыре одинаковых груза 3 массойна расстоянииот оси вращения. На валу 2 имеются два барабана 4 радиусамии, на которые наматывается шнур 5. Шнур перекинут через ролик 7. К сво­бодному концу шнура прикрепляется гиря 6 массой. Вал 2 свободно вращается благодаря подшипникам, закрепленным в раме установки.

Рис. 1

Вращая маятник Обербека, наматывают шнур 5 на барабан 4. При этом гиря 6 поднимается на некоторую высоту . Если осво­бодить систему, то гиря под действием силы тяжести будет опус­кать­ся вниз. Сила натяжения нити передается барабану и создает вра­щающий момент, под действием которого маятник начинает вращаться. Время падения гири определяется по секун­домеру, вы­со­та падения – линейкой, размеры деталей маятника – штанген­цир­ку­лем.

Методика эксперимента

В ходе эксперимента проверяется основной закон динамики вра­щательного движения путем сравнения расчетного и экспери­мен­тально полученного значений момента инерции маятника Обербека.

Расчетное значение момента инерции маятника получают как сумму моментов инерции всех его деталей:

, (12)

где – момент инерции груза;

–момент инерции стержня.

Пренебрегая размерами груза по сравнению с радиусом вращения и используя формулу (6), найдем момент инерции груза относительно оси вращения:

, (13)

где – масса груза;

–расстояние от центра груза до оси вращения.

Из рис. 1 видно, что расстояние от центра груза до оси вра­щения

, (14)

где – длина стержня;

–длина груза.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести, определяется формулой (4):

, (15)

где – масса стержня.

Подставляя выражения (13) и (15) в уравнение (12), получим, что расчетное значение момента инерции маятника Обербека можно вычислить по формуле

. (16)

Для получения экспериментального значения момента инерции маятника Обербека рассмотрим действие сил, вызывающих его вращение. На маятник действуют сила тяжести, сила реакции опор подшипников и сила натяжения нити. Кроме того, со стороны подшипников на вращающуюся ось действуют силы трения. Сила тяжести и сила реакции опор, проходя через ось вращения, вращающих моментов не создают. Сила натяжения нити Fпере­дается ободу барабана и создает вращающий моментМ. Силы трения создают тормозящий момент , препятствующий вра­ще­нию маятника (рис. 2а).

Под действием постоянных вращающего и тормозящего момен­тов маятник Обербека будет вращаться равноускоренно с угловым ускорением . Основной закон динамики его вращательного движения, согласно уравнению (11), запишется в виде

. (17)

Вращающий момент связан с силой натяжения нити и радиусом барабана соотношением

. (18)

Для нахождения силы натяжения нити решим задачу динамики поступательно движущейся гири. На нее действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нитиF, направленная вертикально вверх (рис. 2б). В соответствии со вторым законом Ньютона имеем

mg +F =ma.(19)

а б

Рис. 2

Проецируя уравнение (19) на ось Y, получим:

, (20)

где – ускорение свободного падения.

Ускорение гири можно определить из формулы пути рав­но­ускоренного падения без начальной скорости: , откуда

. (21)

Из уравнений (20) и (21) получим, что сила натяжения нити

, (22)

а вращающий момент

. (23)

Как известно, угловое ускорение связано с линейным ускорениепростым соотношением

(24)

и, используя уравнение (21), для него получим:

. (25)

Таким образом, измерив высоту и время падения гири, можно по формулам (23) и (25) вычислить вращающий момент и угловое ускорение для каждой серии опытов.

Используя разные гири и барабаны, можно изменять вращаю­щий момент. Момент инерции маятника – величина постоянная. Тормозящий момент от условий эксперимента зависит слабо, и его, в первом приближении, также можно считать постоянным. Это обстоятельство позволяет установить функциональную зависимость вращающего момента от углового ускорения маятника Обербека. Представим ее в виде линейной функции

. (26)

Константы, входящие в формулу (26), определим, воспользо­вавшись методом наименьших квадратов и экспериментальными данными:

, (27)

, (28)

где

, (29)

здесь _iи– экспериментальные значения углового ускорения и вращающего момента, полученные вi-й серии опытов;

–число серий опытов (в табл. 2а =4).

Сравнивая уравнения (17) и (26), видим, что константа имеет смысл момента инерции, а константа – смысл тормозящего мо­мен­та. Поэтому можно положить, что

, (30)

. (31)

Близость величины к расчетному значению момента инерцииподтверждает справедливость основного закона динамики вра­ща­тельного движения. Что же касается величины тормозящего мо­мен­та, то для обеспечения высокой точности результатов эксперимента должно выполняться неравенство. Соотношение этих двух величин позволяет, с одной стороны, ограничить снизу диапазон масс гирей, а, с другой стороны, оценить техническое состояние экспериментальной установки.