Лекция 6

Лекция 6. Аксонометрические проекции

Вопросы:

1.Общие сведения об аксонометрических проекциях.

2.Классификация аксонометрических проекций.

3.Примеры построения аксонометрических изображений .

1 Общие сведения об аксонометрических

проекциях

При составлении технических чертежей иногда возникает необходимость наряду с изображениями предметов в системе ортогональных проекций иметь более наглядные изображения. Для таких изображений применяют метод аксонометрического проецирования (аксонометрия — греческое слово, в дословном переводе оно означает измерение по осям; аксон — ось, метрео — измеряю).

Сущность метода аксонометрического проецирования: предмет вместе с осями прямоугольных координат, к которым он отнесен в пространстве, проецируется на некоторую плоскость так, что ни одна из его координатных осей не проецируется на нее в точку, а значит сам предмет спроецируется на эту плоскость проекций в трех измерениях.

На черт. 88 на некоторую плоскость проекций Р спроецирована находящаяся в пространстве система координат х, y, z. Проекции хр , yр , zр осей координат на плоскость Р называются аксонометрическими осями.

Рисунок 88

На осях координат в пространстве отложены равные отрезки е. Как видно из чертежа, их проекции ех, еy, еz на плоскость Р в общем

случае не равны отрезку е и не равны между собой. Это значит, что размеры предмета в аксонометрических проекциях по всем трем осям искажаются. Изменение линейных размеров вдоль осей характеризуется показателями (коэффициентами) искажения вдоль осей.

Показателем искажения называется отношение длины отрезка на аксонометрической оси к длине такого же отрезка на соответствующей оси прямоугольной системы координат в пространстве.

Показателем искажения вдоль оси х обозначим буквой k, по оси y

– буквой m, по оси z – буквой n, тогда: k= ех/е; m= еy/е; n= еz/е.

Величина показателей искажения и соотношение между ними зависят от расположения плоскости проекций и от направления проецирования.

В практике построения аксонометрических проекций обычно пользуются не самими коэффициентами искажения, а некоторыми величинами, пропорциональными величинам коэффициентов искажения: К:М:N = k:m:n. Эти величины называют приведенными коэффициентами искажения.

2 Классификация аксонометрических проекций

Все множество аксонометрических проекций подразделяется на две группы:

1 Прямоугольные проекции – получены при направлении проецирования, перпендикулярном аксонометрической плоскости .

2 Косоугольные проекции – получены при направлении проецирования, выбранном под острым углом к аксонометрической плоскости.

Кроме того, каждая из указанных групп делится еще и по признаку соотношения аксонометрических масштабов или показател ей (коэффициентов) искажения. Пo этому признаку аксонометрические проекции можно разделить на следующие виды:

а) Изометрические - показатели искажения по всем трем осям одинаковы (изос — одинаковый).

б) Диметрические - показатели искажения по двум осям равны между собой, а третий не равен (ди — двойной).

в) Триметрические - показатели искажения по всем трем осям не рав-

ны между собой. Это аксонометрия (большого практического применения не имеет).

2.1 Прямоугольные аксонометрические проекции

Прямоугольная изометрическая проекция

Впрямоугольной изометрии все коэффициенты равны ме жду

собой:

k = m = n , k2 + m2 + n2=2 ,

тогда это равенство можно записать в виде 3k2=2, откуда k = .

Таким образом, в изометрии показатель искажения равен ~ 0,82. Это означает, что в прямоугольной

изометрии все размеры изображаемого предмета сокращаются в 0,82 раза. Для

упрощения	построений		используют
приведенные	коэффициенты		искажения
k=m=n=1,	что	соответствует
увеличению	размеров	изображения по
сравнению с действительными в 1,22
раза (1:0,82	1,22).	Расположение осей
изометрической проекции показано на рис.
89.			Рисунок 89

Прямоугольная диметрическая проекция

В прямоугольной диметрии показатели искажения по двум осям одинаковы, т. е. k = п. Третий

показатель искажения выбираем вдвое меньше двух других, т. е. m =1/2k. Тогда равенство k2+m2+n2= 2 примет такой вид: 2k2+1/4k2=2; откуда k=0,94;

	m = 0,47.
	В целях упрощения построений
	используем	приведенные
	коэффициенты искажения: k=n=1;
	m=0,5. Увеличение в этом случае
	составляет 6% (выражается числом		Рисунок 90
	1,06=1:0,94).	Расположение осей
	диметрической	проекции показано на
	рис. 90.

Рисунок 91

Рисунок 92

2.2 Косоугольные проекции

Фронтальная изометрическая проекция

На рис. 91 дано положение аксонометрических осей для фронтальной изометрии.

Согласно ГОСТ 2.317-69, допускается применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 30° и 60°. Коэффициенты искажения являются точными и равны:

k = m = n=1.

Горизонтальная изометрическая проекция

На рис. 92 дано положение аксонометрических осей для фронтальной изометрии. Согласно ГОСТ 2.317-69, допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 45° и 60° при сохранении угла между осями x и y 90°. Коэффициенты искажения являются точными и равны: к=m= n= 1.

Фронтальная диметрическая проекция

Положение осей такое же, как для фронтальной изометрии (рис.91) . Также допускается применение фронтальной диметрии с углом наклона оси y 30° и 60°.

Коэффициенты искажения являются точными и равны: k = n=1. m=0.5

Все три вида стандартных косоугольных проекций получены при расположении одной из координатных плоскостей (горизонтальной или фронтальной) параллельно плоскости аксонометрии. Поэтому все фигуры, расположенные в этих плоскостях или им параллельных, проецируются на плоскость чертежа без искажения.

3 Примеры построения аксонометрических изображений

Как в прямоугольных (ортогональных проекциях), так и в аксонометрических одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве. Помимо аксонометрической проекции точки необходимо иметь еще одну проекцию, называемую вторичной. Вторичная проекция точки – это аксонометрия одной из ее прямоугольных проекций (чаще горизонтальной).

Приемы построения аксонометрических изображений не зависят от вида аксонометрических проекций. Для всех проекций приемы построений одинаковы. Аксонометрическое изображение обычно строят на основе прямоугольных проекций предмета.

3.1 Аксонометрия точки

Построение аксонометрии точки по заданным ее ортогональным проекциям (рис. 93,а) начинаем с определения ее вторичной проекции (рис. 93,б). Для этого на аксонометрической оси х от начала координат откладываем величину координат Х точки А – ХA ; по оси y– отрезок YA (для диметрии YA×0.5 , т.к. показатель искажения по этой оси m=0.5).

В пересечении линий связи, проведенных параллельно осям из концов отмеренных отрезков, получают точку А1- вторичную проекцию точки А.

Аксонометрия точки А будет находиться на расстоянии Z A от вторичной проекции точки А.

а

б

Рисунок 93

3.2 Аксонометрия отрезка прямой (рис. 94)

Находим вторичные проекции точек А, В. Для этого откладываем вдоль осей х и у соответствующие координаты точек А и В. Затем отмечают на прямых, проведенных из вторичных проекций параллельно оси z, высоты точек А и В (Z A и ZB).Соединяем полученные точки – получаем аксонометрию отрезка.

Рисунок 94

3.3 Аксонометрия плоской фигуры

На рис. 95 показано построение изометрической проекции треугольника АВС. Находим вторичные проекции точек А, В, С. Для этого откладываем вдоль осей х и у соответствующие координаты точек А, В и С. Затем отмечаем на прямых, проведенных из вторичных проекций параллельно оси z, высоты точек А, В и С. Полученные точки соединяем линиями – получаем аксонометрию отрезка.

Рисунок 95

Если плоская фигура лежит в плоскости проекций, то аксонометрия такой фигуры совпадает с ее проекцией .

3.4 Аксонометрия окружностей, расположенных в плоскостях проекций

Окружности в аксонометрии изображаются в виде эллипсов. Для упрощения построений построение эллипсов заменяется построением овалов, очерченных дугами окружностей.

Прямоугольная изометрия окружности

	На рис. 96 в		прямоугольной
	изометрии изображен куб, в грани
	которого	вписаны		окружности.
	Грани	куба в	прямоугольной
	изометрии будут ромбами, а
	окружности – эллипсами. Длина
	большой оси эллипса равна 1.22d,
	где d - диаметр окружности. Малая
	ось составляет 0.7 d.
	На	рис.	97	показано
	построение овала, лежащего в
	плоскости, параллельной π1. Из
	точки пересечения осей О проводят
	вспомогательную			окружность	Рисунок 96
	диаметром d, равным действитель-

ной величине диаметра изображаемой окружности, и находят точки n пересечения этой окружности с аксонометрическими осями х и у.

Из точек О1, О2 пересечения вспомогательной окружности с осью z, как

из центров радиусом R = О1n= О2n , проводят две дуги nDn и пСп окружности, принадлежащие овалу.

	Из центра О радиусом ОС,
	равным половине малой оси овала,
	засекают на большой оси овала	АВ
	точки О3 и О4. Из этих точек
	радиусом r = О31 = О32 = О43	=
	О44 проводят две дуги. Точки 1, 2, 3
	и 4 сопряжений дуг радиусов R и r
	находят, соединяя точки О1 и О2 с
	точками О3 и О4 и продолжая		Рисунок 97
	прямые до пересечения с дугами
	пСп и nDn.
	Аналогичным образом строят овалы,		расположенные в
	плоскостях, параллельных плоскостям π2,		и π3, (рисунок 98).

Построение овалов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям π2 и π3, начинают с проведения горизонтальной АВ и вертикальной СD осей овала:

-АВ оси x для овала, лежащего в плоскости, параллельной плоскостям π3;

-АВ оси y для овала, лежащего в плоскости, параллельной

плоскостям π2; Дальнейшие построения овалов аналогичны построениям овала,

лежащего в плоскости, параллельной π1.

Рисунок 98

Прямоугольная диметрия окружности (рис. 99)

На рис. 99 в прямоугольной изометрии изображен куб с ребром α, в грани которого вписаны окружности. Две грани куба изобразятся в виде равных параллелограммов со сторонами 0,94d и 0,47 d, третья грань — в виде ромба со сторонами, равными 0,94d. Две окружности, вписанные в грани куба, проецируются в виде одинаковых эллипсов, третий эллипс по форме близок к окружности.

Направление больших				осей
эллипсов (как и в изометрии)
перпендикулярно		к	соот-
ветствующим аксонометрическим
осям, малые оси параллельны
аксонометрическим осям.
Размер	большой		оси	всех
трех эллипсов равен			d,	т. е.
диаметру окружности,			размеры
малых осей	двух	одинаковых
эллипсов равны d/3		размер малой
оси эллипса, близкого по форме к
окружности,	равен			0,9d.
Практически	при	приведенных
показателях искажения			(1 и	0,5)	Рисунок 99
большие оси всех трех эллипсов

равны 1,06 d, малые оси двух эллипсов равны 0,35 d, малая ось третьего эллипса равна 0,94 d.

Построение эллипсов			в диметрии иногда заменяется более
простым построением овалов (рис. 100)
На рисунке 100		приведены примеры построения диметрических
проекций,	где	эллипсы заменены		овалами,	построенными
упрощенным	способом.		Рассмотрим	пример	построения

диметрической проекции окружности, расположенной параллельно плоскости π2 (рисунок 100, а).

Через точку О проводим оси, параллельные осям х и z. Из центра О радиусом, равным радиусу данной окружности, проводим вспомогательную окружность, которая пересекается с осями в точках 1, 2, 3, 4. Из точек 1 и 3 (по направлению стрелок) проводим горизонтальные линии до пересечения с осями АВ и CD овала и получаем точки О1, О2 , О3, О4. Приняв за центры точки О1, О4, радиусом R проводим дуги 1 2 и 3 4. Приняв за центры точки О 2, О3, проводим радиусом R1 замыкающие овал дуги.

Разберем упрощенное построение диметрической проекции окружности, лежащей в плоскости π1 (рисунок 100, в).

Через намеченную точку О проводим прямые, параллельные осям х и y, а также большую ось овала АВ перпендикулярно малой оси CD. Из центра О радиусом, равным радиусу данной окружности, проводим вспомогательную окружность и получаем точки п и п 1

На прямой, параллельной оси z, вправо и влево от центра о

откладываем отрезки, равные диаметру вспомогательной окружности, и получаем точки О1 и О2. Приняв эти точки за центры, проводим радиусом R = О1п1 дуги овалов. Соединяя точки О2 прямыми с концами дуги n1n2, на линии большой оси АВ овала получим точки О4 и О3. Приняв их за центры, проводим радиусом R1 замыкающие овал дуги.

Рисунок 100

3.5 Аксонометрия геометрического тела

Аксонометрия шестигранной призмы (рис.101)

В основании прямой призмы лежит правильный шестиугольник