ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ

Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

œКузбасский государственный технический университет

Кафедра сопротивления материалов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПЕРВОГО РОДА

И КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА

Методические указания к лабораторной работе по дисциплине œСопротивление материалов для студентов технических специальностей

Составители И. А. Паначев М. Ю. Насонов

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 8 от 31.01.2011 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 150202 Протокол № 6 от 02.03.2011 Электронная копия находится в библиотеке ГУ КузГТУ

Кемерово 2011

1

Цель работы: определение экспериментальным способом "упругих" постоянных материала – стали ВСт3

–модуля продольной упругости (модуля упругости I рода, модуля Юнга);

–коэффициента поперечной деформации (коэффициента Пуассона).

” 1. Модуль продольной упругости (модуля упругости I рода, модуль Юнга) – определение и использование

п. 1. Обозначение

Модуль продольной упругости обозначается латинской буквой – "Е".

п.2. Смысловое определение

Е– это характеристика жесткости (упругости) материала, показывающая его способность сопротивляться продольному деформированию (растяжению, сжатию) и изгибу.

п.3. Свойства Е

1.Е – это "упругая" постоянная материала, применение которой справедливо только в пределах линейных упругих деформаций материала, т. е. в пределах действия закона Гука (рис. 1).

Участок действия	В		С
закона Гука –
= Е		Е = tgα
А
упр		пласт

Рис. 1. Диаграмма растяжения стали ВСт3 А-В – участок линейной зависимости между деформациями – ε

и напряжениями – σ (участок действия закона Гука); В-С – участок нелинейной зависимости между деформациями

и напряжениями

2

2.Е связывает между собой в формуле закона Гука при растяжении (сжатии) деформации и напряжения и графически оценивается следующим образом Е = tg (см. рис. 1).

3.Материал с большим числовым значением Е является более жестким и требует больших усилий при его деформировании.

4.Большинству материалов соответствует определенное постоянное (константа) значение Е.

5.Значения Е для основных материалов приводятся в справочниках по сопротивлению материалов и справочниках машиностроителя, а в случае отсутствия данных в справочниках – определяются экспериментально.

п.4. Использование Е

Еиспользуется в сопротивлении материалов при оценке проч-

ности, жесткости и устойчивости элементов конструкций:

1) при расчете на прочность в процессе определения экспериментальным способом напряжений по измеренным деформациям

≤ [σ]; (1) 2) при расчетах на жесткость в процессе теоретического опреде-

ления деформаций

l ;

(2)

3)при расчете на устойчивость в процессе решения всех типов задач.

п.5. Численное определение

Ечисленно равен напряжению, которое могло бы возникнуть

вбрусе при его упругом растяжении на 100% (в 2 раза).

Е– характеристика условная, т. к. при его определении условно считают, что любой материал способен упруго деформируясь, увеличиваться в длину бесконечное число раз, хотя известно

– не более чем на 2% (кроме резины, каучука).

Основа 100% принята для удобства применения Е в формулах закона Гука.

Епрактически определяют при растяжении образца на долю процента и увеличением полученного напряжения в соответствующее число раз.

3

Пример 1: при растяжении образца на = 1% возникающие в образце напряжения – равны, например, 1000 МПа (10 000 кг/см2), тогда модуль упругости будет равен

Е = 100 = 100 000 МПа (1 000 000 кг/см2). Пример 2: = 0,1% = 100 МПа (1 000 кг/см2)

Е = 1000 = 100 000 МПа (1 000 000 кг/см2).

п.6. Единицы измерения Е

Еимеет размерность: [кН/см2] или [МПа].

п.7. Примеры числового значения Е

Модуль упругости Е для разных материалов равен

сталь –	2,1 104 кН/см2	= 2,1 105 МПа	= 2 100 000 кг/см2
чугун –	1,15 104 кН/см2	= 1,15 105 МПа	= 1 150 000 кг/см2
медь –	1,0 104 кН/см2	= 1,0 105 МПа	= 1 000 000 кг/см2
алюминий – 0,7 104 кН/см2		= 0,7 105 МПа	=	700 000 кг/см2
бетон –	0,15 104 кН/см2	= 0,15 105 МПа =		150 000 кг/см2
каучук –	0,00008 104 кН/см2 = 0,0008 105 МПа = 80 кг/см2.

Из имеющихся в списке данных можно сделать вывод о соотношении жесткостей материалов (жесткость материала пропорционально зависит от модуля упругости). Например, сталь в 2 раза жестче меди, поэтому при рассмотрении однотипных образцов, выполненных из стали и меди, для их растяжения на одинаковую длину в границах упругих деформаций, к стальному образцу необходимо прикладывать нагрузку в два раза большую при сравнении с медным.

” 2. Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) –

определение и использование

п. 1. Обозначение

Коэффициент Пуассона обозначается греческой буквой " " (мю).

п.2. Смысловое определение

– упругая механическая характеристика материала, характеризующая способность материала деформироваться в попереч-

4

ном направлении при продольном приложении нагрузки, так как при растяжении образца наряду с его продольным удлинением имеет место еще и его поперечное сужение (рис. 2).

Р

y

Р

y

x

z

l/2

b/2

b/2

l/2

l0

b1

l1

B0

Рис. 2. Продольное и поперечное деформирование образца при растяжении

Из рис. 2 следует, что абсолютные деформации образца

равны:
l = l1 – l0 ,	b = b1 – b0 ,	(3)

где l и b – абсолютное удлинение и абсолютное сужение об-

l0 и l1	разца (абсолютные деформации);
	– начальная и конечная длина образца;
b0 и b1	– начальная и конечная ширина образца.
Если принять, что l1 l0		= l, а b1 b0 = b,	то относитель-
ные деформации образца будут равны:
	= l / l	' = b / b,	(4)
где и '	– относительная продольная и относительная попе-
	речная деформации образца (относительное удли-
	нение и относительное сужение).

численно равен отношению относительного сужения образца к его относительному удлинению при его продольном деформировании, т. е. отношению между относительными поперечной и продольной деформациями. Это отношение выражается

формулой

b

l

b

l

.

(5)

b

l

l b

5

п. 3. Свойства

1. Каждому материалу соответствует определенное постоянное значение (константа) .

2. Для большинства материалов численное значение приводится в справочниках по сопротивлению материалов и справочниках машиностроителя, в ином случае определяется экспериментально.

п. 4. Использование

Используется в сопротивлении материалов как коэффициент в формуле обобщенного закона Гука (2) и связывает между собой модули упругости первого и второго рода, что будет рассмотрено далее.

п.5. Единицы измерения

– безразмерная величина (б/в).

п.6. Пределы изменения

Обобщенно для известных исследованных изотропных (имеющих одинаковые упругие свойства по всем направлениям) материалов интервал изменения коэффициента Пуассона= 0 0,5.

п.7. Примеры числового значения

Коэффициент Пуассона – для различных видов материа-

лов равен
резина –	0,47
медь –	0,31 0,34
сталь –	0,27 0,31
алюминий –	0,26 0,36
чугун –	0,23 0,27
бетон –	0,16 0,18

пробковое дерево – 0.

”3. Описание испытательного оборудования

Влабораторной работе для растяжения образца используется разрывная машина Р-5 (рис. 3).

6

1

Рис. 3. Схема разрывной машины Р-5: 1 – рукоять; 2 – гайку; 3 – винт;

4 и 5 – нижний и верхний захваты; 6 – образец; 7 – система рычагов; 8 – маятник;

9 –силоизмеритель; 10 – тензометры

Установка в ходе эксперимента работает нижеследующим образом. Вращение рукояти /1/ передается через редуктор на гайку /2/, которая вызывает вертикальное перемещение винта /3/. Это приводит к растяжению образца /6/, закрепленного в захватах /4/ и /5/. Усилие в образце создается системой рычагов /7/ и маятником /8/. Величина усилия фиксируется по шкале силоизмерителя /9/. Для определения абсолютных продольных и поперечных деформаций используются тензометры рычажного типа (тензометр Гуггенбергера) /10/.

Тензометр выполняет такую же функцию, что и линейка, штангенциркуль, микрометр, показывая абсолютные деформации (Δl или b) участка образца, находящегося между опорами тензометра (рис. 4).

		7
а.		б.	6
		5
		4
		7	8
P	P	Р	P
		1	3
		2	l
		l

Рис. 4. Рычажный тензометр (тензометр Гуггенбергера): а – общий вид; б – упрощенная схема;

lбт – база тензометра; lбт – изменение базы тензометра; 1 – образец; 2 – винт; 3 – крепежная струбцина;

Цена4 – измерительнаяодного малого шкала;деления5 шкалы– указательнаятензометрастрелка;– Стенз равна 0,0016 – шарнир;мм (0,00017 – неподвижнаясм/дел.). опора; 8 – подвижная опора

Тензометр может измерять деформации только того участка, на котором он расположен, т. е. участка, называемого "базой тензометра", но не может измерять абсолютные деформации всего образца, если конечно длина образца не равна базе тензометра.

В связи с тем, что измерения в эксперименте будут производиться тензометрами с размерами (базами) значительно меньшими размеров испытываемого образца, то длина и ширина измеряемого участка образца будет ограничиваться базами продольных и поперечных тензометров.

E и – это характеристики материала, а не образца, поэтому E и , полученные при измерении деформаций участка образца, будут такими же, как и при измерении деформаций всего образца.

п. 3. Расположение тензометров и измерительных участков на образце

В лабораторной работе для повышения точности получаемых результатов значения E и будут определяться по двум уча-

8

сткам испытываемого образца, расположенных на его противоположных гранях (рис. 5).

P

1

I участок

3

2

II участок

4

P

Рис. 5. Схема расположения исследуемых участков образца и тензометров на образце

1, 2 – продольные тензометры 3, 4 – поперечные тензометры; (пунктиром показаны тензометры на невидимой грани образца)

Такое расположение тензометров обусловлено тем, что в процессе растяжения образца линии действия растягивающих сил Р не всегда совпадают с продольной осью образца, т. е. имеет место эксцентриситет (смещение линии действия сил Р от продольной оси). Средние показания тензометров, взятые с двух участков образца, дадут истинную картину.

п. 4. Замечания

1.Приложение к образцу дополнительной нагрузки, равной ступени нагружения, должно давать каждый раз одну и ту же величину приращения его длины. Это связано с тем, что растяжение образца в данной лабораторной работе ведется только в пределах упругих свойств материала, в границах действия закона Гука, представляющего собой линейную зависимость между нагрузкой и деформацией. Данное положение позволяет проводить эксперимент многократно, используя в качестве основы постоянную дополнительную нагрузку, равную ступени нагружения – Р, при равномерном увеличении общей нагрузки. Для приведения экспериментальной установки в рабочее

9

состояние используется предварительная ступень нагруже-

ния – Р0.

2. Fобр – площадь сечения испытательного образца определяется в соответствии с рис. 6.

у

h = 0,3 см

х

а = 8 см

Рис. 6. Сечение испытываемого образца
Площадь сечения образца прямоугольной формы равна
Fобр = a h.	(9)

” 3. Рабочие формулы для определения модуля продольной упругости – Е и коэффициента Пуассона –

В лабораторной работе искомые характеристики определяются с учетом ступенчатого способа приращения силы и равенство размеров испытываемых участков базам продольных и поперечных тензометров:

1) Е определяется из формулы (3) – закон Гука (II вид) –

l N l ;

		E F
				(7)
	E	N l		P lбт	,
		l F		lбт Fобр
где P	– приращение силы, прикладываемой к образцу (ступень
lбт	нагружения);
	– база продольного тензометра;

lбт – изменение базы продольного тензометра; Fобр – площадь сечения образца.