ЛЕКЦИЯ~2
.DOCЛекция 2
На примере уравнения мы видели, что все его решения могут быть заданы формулой . Семейство решений, определяемых этой формулой, называют общим решением данного дифференциального уравнения. Если задана точка , через которую должна проходить интегральная кривая уравнения, то этого можно добиться выбором постоянной . Выделенное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию – частное решение.
Определение. Функция , зависящая от аргумента х и произвольной постоянной С, называется общим решением дифференциального уравнения (2) в области D, в которой выполнены условия теоремы Коши, если
-
для произвольного функция есть решение уравнения (2);
-
для существует единственное значение такое, что .
Всякое решение, получающееся из общего при конкретном значении постоянной C, называется частным решением.
Замечание. Если общее решение удается найти в виде , не разрешенном относительно у, то его называют общим интегралом дифференциального уравнения.
Точки, в которых нарушаются условия теоремы Коши – особые точки. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой и в ней может нарушаться единственность решения. Если кривая целиком состоит из особых точек и является интегральной кривой дифференциального уравнения (2), то это особое решение. Для отыскания особого решения нужно найти кривую, в каждой точке которой нарушаются условия теоремы Коши и проверить, будет ли эта кривая решением уравнения (2).
Пример. Правая часть уравнения – непрерывная функция в , тогда как ее производная терпит разрыв при . Но – решение уравнения. Значит это особое решение.
Заметим, что особое решение не может быть получено из общего ни при каких значения постоянной С.
Методы интегрирования некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка.
-
Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
.
Разделив обе части этого уравнения на и умножив на , получим уравнение с разделенными переменными
. (1)
Считая у функцией от х и интегрируя по переменной х обе части последнего равенства, получим общий интеграл дифференциального уравнения (1):
. (2)
Отметим, что если , то – решение уравнения (1), которое не дается формулой (2).
Пример. Вернемся к задаче 1 из лекции 1. Разделяя переменные, получим
.
Так как по смыслу задачи , то. Найдем k и С из условий задачи.
.
Итак .
-
Однородное уравнение.
Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно может быть представлено в виде
. (3)
Например, уравнение
является однородным. Однородным всегда является уравнение вида , где и – однородные многочлены одинаковой степени однородности:
. Здесь k – степень однородности. Например
.
Однородное уравнение (3) приводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены .
Получили общий интеграл дифференциального уравнения (3). Если из последнего соотношения удается выразить , то – общее решение этого уравнения.
Пример. Найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку.
Очевидно, что зеркало должно иметь форму поверхности вращения, ось которой параллельна направлению падающих лучей. Примем эту ось за ось ОХ и найдем уравнение кривой , вращением которой образуется искомая поверхность. Начало координат поместим в точку О, в которой собираются отраженные лучи. Пусть КМ и МО – падающий и отраженный лучи. Проведем касательную МТ и нормаль МN к искомой кривой в точке М. Легко видеть, что МТО=ТМО (и оба равны 900 –), то есть треугольник ТОМ равнобедренный. Поэтому |OM| = |OT|. Но |OM| = . Для нахождения ОТ составим уравнение касательной:
.
Значит . Получаем:
.
Последнее уравнение целесообразно привести к виду . Полагая , получим . Разделяя переменные, получим .
. Возвращаясь теперь к исходным переменным, окончательно имеем:
Таким образом, искомая кривая – парабола, а зеркало – параболоид вращения.
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Уравнения вида
Приводятся к однородному уравнению подстановкой , где и находятся из системы уравнений
.
Если определитель указанной системы равен нулю, то уравнение может быть сразу приведено к уравнению с разделяющимися переменными заменой
Пример. Найти общий интеграл уравнения
Переписав уравнение в виде
,
найдем и и выполним замену переменных:
Положим Тогда последовательно получим
-
Линейные уравнения
Линейным называется уравнение вида
(4)
где и – заданные непрерывные функции. Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух непрерывно дифференцируемых функций
(5)
Такой метод решения линейного уравнения был предложен Бернулли. Имеем
(6)
В качестве функции возьмем какое-либо решение уравнения
.
Положим С=0 и подставим найденное v в (6):
.
Итак:Нетрудно проверить, что найдено общее решение уравнения (4).
Пример. Вернемся к задаче 2 из лекции 1 и решим ее в случае, когда - число.
В этом случае для определения скорости получаем задачу Коши:
(7)
Уравнение в (7), очевидно, линейное. Его решение будем искать в виде произведения двух функций . Применяя изложенную выше схему рассуждений, последовательно получим:
Пусть – путь, пройденный телом за время t. Тогда
. Причем , поскольку