2.5 Метод парабол

Рассмотренный метод секущих можно интерпретировать как метод, в котором на каждой итерации исходная функция аппроксимируется линейной функцией (секущей), построенной по двум точкам, принадлежащим f(x). Развивая далее идеи аппроксимации, можно для построения итерационных формул использовать информацию о функции в нескольких точках, предшествующих точке В методе парабол по трем последовательным приближениям

строится многочлен второй степени (парабола), приближающий исходную функцию. Иначе этот метод называют МЕТОДОМ МЮЛЛЕРА или методом КВАДРАТИЧНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ. За новое приближение берется обычно ближайший к корень соответствующего квадратного уравнения. Геометрическая интерпретация метода парабол дана на рис.5.

В качестве выбирается тот из корней квадратного уравнения, для которого величинанаименьшая. Доказывается, что погрешность метода определяется соотношением

где p = 1,839.

Рисунок 5. Графическая интерпретация метода парабол

Это означает, что, несмотря на привлечение дополнительной информации о функции, метод парабол имеет порядок сходимости, лишь немного превышающий порядок сходимости метода секущих. Вместе с тем возникают задачи решения квадратного уравнения, выбора одного из двух корней многочлена и, самое важное, определение области гарантированной сходимости метода. Если три приближения для построения многочлена выбраны далеко от корня и содержат погрешности, то возможно самое неожиданное поведение решения.

Отметим, что метод парабол успешно применяется для отыскания корней многочленов, в том числе комплексных; при этом метод обладает тем замечательным свойством, что начальное приближение может быть действительным. Метод парабол является трехшаговым методом.

3. Объекты исследования, оборудование, материалы и наглядные пособия

Объектом исследования данной лабораторной работы являются нелинейное алгебраическое уравнение и методы ее численного решения.

Для выполнения работы необходимы ПК и соответствующее программное обеспечение:

- MS WINDOWS;

- Delphi (любая другая оболочка языка высокого уровня);

- MS Office (для оформления отчета).

4. Задание на работу (рабочее задание)

Разработать ПО решения нелинейного уравнения f(x)=0 одним из численных методов:

1. методом половинного деления,

2. методом простой итерации,

3. методом Ньютона,

4. модифицированным методом Ньютона,

5. методом секущих,

6. методом парабол с заданной точностью.

Варианты заданий:

№	Задание	№	Задание
1.	Метод 5	2.	Метод 1
3.	Метод 6	4.	Метод 2
5.	Метод 4	6.	Метод 5
7.	Метод 6	8.	Метод 1
9.	Метод 3	10.	Метод 2
11.	Метод 4	12.	Метод 5
13.	Метод 1	14.	Метод 3
15.	Метод 2	16.	Метод 4
17.	Метод 6	18.	Метод 5
19.	Метод 1	20.	Метод 3
21.	Метод 2	22.	Метод 4
23.	Метод 5	24.	Метод 6
25.	Метод 1	26.	Метод 2
27.	Метод 3	28.	Метод 4
29.	Метод 6	30.	Метод 5